Post on 06-Feb-2018
Lagrange–MultiplikatorenSatz
Seien:
G ⊂ Rn offen, f ∈ C1(G,R), g ∈ C1(G,Rm), m < n
g(x) := (g1(x) , . . . , gm(x))T ∈ Rm
x0 ∈ {x ∈ G | g(x) = 0} lokale Extremstelle von f bzgl. NB. g(x) = 0
rg g′(x0) = m, Regularitatsbedingung.
=⇒ ∃ λ ∈ Rm, λ := (λ1, . . . , λm)T : f ′(x0) + λT g′(x0) = 0,
i.e., grad f(x0) +m∑i=1
λi grad gi(x0) = 0.
Beweis: Nach Voraussetzung ist:
rg g′(x0) = rg
∂g1(x0)∂x1
· · · ∂g1(x0)∂xm
∂g1(x0)∂xm+1
· · · ∂g1(x0)∂xn
......
......
......
∂gm(x0)∂x1
· · · ∂gm(x0)∂xm
∂gm(x0)∂xm+1
· · · ∂gm(x0)∂xn
= m.
OBdA sei ∣∣∣∣∂gi(x0)
∂xj
∣∣∣∣1≤i≤m1≤j≤m
6= 0,
(andernfalls wird entsprechend nummeriert). Wir fuhren zur Abkurzung neue Vektoren ein:
u := (x1, . . . , xm) ∈ Rm, t := (xm+1, . . . , xn) ∈ Rn−m, u = (u, t)
u0 = (x01, . . . , x
0m), t0 = (x0
m+1, . . . , xmn ), =⇒ x0 = (u0, t0).
f(x) = f(u, t) & g(x) = g(u, t)
Da g(x0) = 0 =⇒ g(u0, t0) = 0.
1
Wegen
det gu(u0, t0) =
∣∣∣∣∂gi(x0)
∂xj
∣∣∣∣1≤i≤m1≤j≤m
6= 0 =⇒ ∃ (gu(u0, t0))−1
sind fur die Funktion g(u, t) in einer kleinen Umgebung von t0 ∈ Rn−m die Voraussetzungendes Satzes uber implizite Funktionen erfullt, i.e., die Gleichung
g(u, t) = 0 ist lokal stetig diffbar nach u auflosbar, i.e.,
∃ B(t0, r) ⊂ Rn−m (r > 0) ∃ u : B(t0, r)→ Rm, u 7→ u(t), u stetig diffbar :
u(t0) = u0 & g(u(t), t) = 0 ∀ t ∈ B(t0, r).
Die Funktion
ϕ : B(t0, r)→ Rn, t 7→ ϕ(t) := f(u(t), t)
ist wegen der Voraussetzungen an f und der Eigenschaften von u stetig diffbar und dieKettenregel ergibt
ϕ′(t) = fu(u(t), t) u′(t) + ft(u(t), t).
Da g(u(t), t) = 0 ∀ t ∈ B(t0, r) & x0 = (u(t0), t0) lokale Extremstelle von f bzgl.g(x) = 0 =⇒ t0 ist lokale Extremstelle von ϕ ohne Nebenbedingungen, muss geltenϕ(t0) = 0 , i.e.,
(∗) fu(u(t0), t0) u′(t0) + fu(u(t0), t0) = 0
Differenziert man g(u(t), t) = 0 nach t , so folgt
gu(u(t), t) u′(t) + gt(u(t), t) = 0, t ∈ B(t0, r),
und daher
u′(t0) = −(gu(u
0, t0))−1
gt(u0, t0),
was in (∗) substituiert wird. =⇒
(∗∗) − fu(u0, t0)(gu(u
0, t0))−1
gt(u0, t0) + ft(u(t0), t0) = 0.
Wir definieren
λT = (λ1, . . . , λm) := −fu(u(t0), t0)(gu(u
0, t0))−1
.
Multipliziert man letztere Gleichung von rechts mit der Matrix gu(u0, t0) , so folgt
fu(u0, t0) + λT gu(u
0, t0) = 0
Substituiert man andererseits λ in (∗∗) , so hat man
ft(u0, t0) + λT gt(u
0, t0) = 0,
und die beiden letzten Gleichungen bedeuten
f ′(x0) + λT g′(x0) = 0,
was zu zeigen war. #
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