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Estimativas e erros em medidas diretas (I)
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Física Geral - Laboratório (2015/2)
Física Geral - 2015/2 - Aula 1
Parâmetros de correlação
2
i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)
�
xy
=1N
NX
i=1
�x
i
�y
i
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x
N
� x) (yN
� y)N
�
xy
= xy � xy
Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:
�xy
= �yx
e que não importa a ordem das variáveis:
Resumo da última aula
Física Geral - 2015/2 - Aula 1
Parâmetros de correlação
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ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão
r =�
xy
�x
�y
�1 � r 1
Correlação linear, perfeita e positiva: r = 1
Correlação linear, perfeita e negativa: r = �1
Resumo da última aula
Física Geral - 2015/2 - Aula 1
Parâmetros de correlaçãoAtividade de Aula
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ALTURA (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190
IDAD
E (a
nos)
16
18
20
22
24
26
h_idadeAlturaEntries 26Mean x 169.2Mean y 19.62Std Dev x 8.789Std Dev y 1.756
h_idadeAlturaEntries 26Mean x 169.2Mean y 19.62Std Dev x 8.789Std Dev y 1.756
Diagrama de Dispersao: Idade Vs. Altura
covariancia Idade Vs. Altura: 1.5503 coeficiente de correlacao, Idade Vs. Altura: 0.100456
Física Geral - 2015/2 - Aula 1
Parâmetros de correlaçãoAtividade de Aula
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covariancia Idade Vs. Massa: 8.56213 coeficiente de correlacao, Idade Vs. Massa: 0.268052
MASSA (Kg)50 60 70 80 90 100 110
IDAD
E (a
nos)
16
18
20
22
24
26
h_idadeMassaEntries 26Mean x 69.96Mean y 19.62Std Dev x 18.19Std Dev y 1.756
h_idadeMassaEntries 26Mean x 69.96Mean y 19.62Std Dev x 18.19Std Dev y 1.756
Diagrama de Dispersao: Idade Vs. Massa
Física Geral - 2015/2 - Aula 1
Parâmetros de correlaçãoAtividade de Aula
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covariancia Massa Vs. Altura: 122.778 coeficiente de correlacao, Massa Vs. Altura: 0.767841
ALTURA (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190
MAS
SA (K
g)
50
60
70
80
90
100
110
h_massaAlturaEntries 26Mean x 169.2Mean y 69.96Std Dev x 8.789Std Dev y 18.19
h_massaAlturaEntries 26Mean x 169.2Mean y 69.96Std Dev x 8.789Std Dev y 18.19
Diagrama de Dispersao: Massa Vs. Altura
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Experimentos: medidas diretas
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Experimento de medidas diretas de uma grandeza:
Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza
Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc.
Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida
No processo de medição de uma grandeza, há inevitavelmente incertezas
Imperfeições instrumentais, limitações observacionais, condições ambientais, etc.
Hipóteses, modelos teóricos
Natureza possivelmente aleatória do fenômeno
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Valor esperado de uma grandeza
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Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente
É claro que não podemos repetir uma medição infinitamente..
Dessa forma, fazemos uma estimativa para o valor esperado, a partir de um conjunto finito de medidas da grandeza
Chamamos esse conjunto finito de uma amostra de todos os possíveis valores para as medidas, ou população
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Resultado de uma medição
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estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x± ✏
x
(unidade)
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Estimativa do valor esperado
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A partir de medições de uma grandeza, com instrumentos bem calibrados e procedimentos apropriados, e para um grande número de medidas diretas, a média da distribuição de frequência dos dados tende ao valor esperado da grandeza
A distribuição de frequência dos dados é chamada de distribuição amostral
Ou seja, a melhor estimativa para o valor esperado de uma grandeza, x, a partir de uma amostra {xi} de dados, é a média
(Podemos pensar no limite para um número grande de medidas, ou seja, N → ∞)
x! µ
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Estimativa do valor esperado
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Física Geral - 2015/2- Aula 3
Incertezas aleatórias e sistemáticas
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Incertezas aleatórias: devido a flutuações inevitáveis no processo de medição, que provocam a dispersão das medidas em torno da média
Incertezas sistemáticas: desvios em geral regulares, devido a imperfeições instrumentais, observacionais, ou do modelo teórico
As incertezas aleatórias estão associadas à precisão do experimento, enquanto as incertezas sistemáticas, com a sua exatidão
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Medições: precisão e exatidão
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preciso
exato
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Erro da média
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Física Geral - 2015/2- Aula 3
Erro da média
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Distribuição das médias de 100 “experimentos”, cada um com 100 medidas
Note que o “erro da média” é menor que o “erro da medida”
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Estimativa do erro da medida e da média
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s
x
=
vuutNX
i=1
(xi
� x)2
N � 1=
rN
N � 1�
x
Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como:
Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas.
O erro da média pode ser aproximado por:
desvio padrão
“desvio padrão experimental” ou “amostral”
O desvio padrão experimental (sx) será comumente representado igualmente por σx
�x
=s
xpN
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Estimativa do erro da medida e da média
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N !1) sx
⇡ �x
�x
⇡ �xpN
Para um número grande de medidas:
Quanto maior o número de medidas em um experimento, menor o erro estimado “da média”
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas
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estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x
Note que aqui estamos estimando o que definimos antes como incertezas aleatórias. Incertezas aleatórias podem ser reduzidas por repetição (maior número N de medidas).
Incertezas sistemáticas, no entanto, não podem em geral ser reduzidas por mera repetição. Elas dependem do entendimento do instrumento e das técnicas de medição. A partir de um número suficientemente grande de medidas, elas passam a ser dominantes.
�x
=s
xpN
Física Geral - 2015/2- Aula 319
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x �x
=s
xpN
Exemplo:
x = 10, 08± 0, 07(unid.)x = 10, 0835
�
x
= 0, 072Número de algarismos significativos determinado pelo valor do erro
Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas
Física Geral - 2015/ - Aula 320
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x �x
=s
xpN
Como determinar o número de algarismos significativos do valor esperado
1. Determinar o erro: 2. Determinar o erro com um algarismo significativo: 3. Determinar a estimativa do valor esperado com o mesmo número de casas decimais que o erro associado ao valor esperado: 10,08
�x
= 0, 07�x
= 0, 072
x = 10, 0835�
x
= 0, 072
Exemplo:
Física Geral - 2015/ - Aula 321
Arredondamento
Exemplo de arredondamento para 2 casas decimais
• caso 1: 4,8251 ⇒ 4,83 • caso 2: 4,8249 ⇒ 4,82 • caso 3: 4,815 ⇒ 4,81 (número ímpar, não há incrementação)
• caso 4: 4,825 ⇒ 4,83 (número par, há incrementação)
Física Geral - 2015/2- Aula 3
Primeira Prática: Medida com Resistores
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Física Geral - 2015/2- Aula 3
Primeira Prática: Medida com Resistores
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• Trazer os resultados da primeira prática em 28/09/2015 impreterivelmente;
• Enviar dados, até 21/09/2015 impreterivelmente, para:
labfisicageraluerj@gmail.com
Física Geral - 2014/1 - Aula 224
d1/2 d3 d2 d1
Multímetro digitalDisplay digital de “3 1/2” dígitos:
Número de “contagens”: 0 - 1999
Funções: Medição de tensão contínua (DC - V)Medição de tensão alternada (AC - V)Medição de corrente contínua (DC - A)Medição de resistência (Ω)Possivelmente: Teste de continuidade, testes de diodos e transistores,...
Física Geral - 2014/1 - Aula 225
Conectores para pontas de prova
Função de medida de resistência (a posição pode variar de multímetro para multímetro)
Multímetro digital
Função de medida de tensão contínua
Física Geral - 2014/1 - Aula 2
Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha
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0 0 2
DC600 V200 V20 V2 V200 mV
Resolução: 1 V
(Variação do dígito menos significativo)
Física Geral - 2014/1 - Aula 227
0 1 6
DC600 V200 V20 V2 V200 mV
▪
Resolução: 0,1 V = 100 mV
Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha
Física Geral - 2014/1 - Aula 228
1 5 7
DC600 V200 V20 V2 V200 mV
▪
Resolução: 0,01 V = 10 mV
Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha
Física Geral - 2014/1 - Aula 229
1 5 7 1
DC600 V200 V20 V2 V200 mV
▪
Resolução: 0,001 V = 1 mV
Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha
Física Geral - 2014/1 - Aula 230
1
DC600 V200 V20 V2 V200 mV
▪
Resolução: 0,1 mV = 100 μV
Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilhaMostrador com dígito “1” à esquerda: valor acima do máximo da escala
Física Geral - 2014/1 - Aula 231
Como ler o código de cores de um resistorCor Código
Preto 0
Castanho 1
Vermelho 2
Laranja 3
Amarelo 4
Verde 5
Azul 6
Violeta 7
Cinza 8
Branco 9
Castanho ± 1%
Vermelho ± 2%
Dourado ± 5%
Prata ± 10%Precisão