Post on 05-Aug-2020
Universita di Roma “La Sapienza”
C.d.L. Magistrale in
Finanza e Assicurazioni
Analisi delle Serie Storiche -Unita 4
Vincenzo Candila vincenzo.candila@uniroma1.it
Programma dell’Unita 4
Riferimenti bibliografici
Il modello AR(1)
Il modello AR(2)
Il modello AR(p)
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 2
Riferimenti bibliografici
Nota:Gli argomenti trattati nell’Unita 4 possono essere approfonditiutilizzando le stesse fonti dell’Unita 3.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Riferimenti bibliografici 3
Il modello AR(1): AutoRegressivo di primo ordine (i)
I Nel modello AR(1) si suppone che il valore corrente dellavariabile aleatoria Xt dipenda dal passato recente di Xt,ovvero Xt−1, e da una componente accidentale.
I La miglior interpretabilita di tali processi deriva dall’analogiacon i modelli di regressione lineare che ne ha consentito unaloro maggiore diffusione rispetto ai modelli a media mobile.
I Formalmente:
Xt = ϕXt−1 + εt;
εt ∼ WN(0, σ2);
(Xt = δ + ϕXt−1 + εt).
I Per definizione, il modello AR(1) e sempre invertibile.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 4
Il modello AR(1): AutoRegressivo di primo ordine (ii)
I Intuitivamente, se |ϕ| ≥ 1, allora il processo esploderebbe.
I Ovvero, si accumulerebbero gli effetti di εt, che nonsvanirebbero nel corso del tempo.
I Quindi, |ϕ| ≥ 1, il processo AR(1) non e stazionario.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 5
Il modello AR(1): AutoRegressivo di primo ordine (iii)
0 50 100 150 200
−4
02
46
AR(1), ϕ=0.9X
(t)
0 50 100 150 200
040
000
1000
00
AR(1), ϕ=1.05
X(t)
Figura: Andamento di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.9 (toppanel), ϕ = 1.05 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 6
Il modello AR(1): stazionarieta - Dimostrazione 1
I In maniera piu rigorosa, si puo valutare la stazionarieta dell’AR(1)procedendo con sostituzioni ricorsive:
Xt = ϕXt−1 + εt;
= ϕ (ϕXt−2 + εt−1) + εt = ϕ2Xt−2 + ϕεt−1 + εt;
ϕ2 (ϕXt−3 + εt−2) + ϕεt−1 + εt =
ϕ3Xt−3 + ϕ2εt−2 + ϕεt−1 + εt;
...
= ϕkXt−k +
k−1∑i=0
ϕiεt−i,
con ϕ0 = 1.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 7
Il modello AR(1): stazionarieta - Dimostrazione 1
I Vediamo cosa succede quando k →∞.
I Se e solo se |ϕ| < 1, allora quando k →∞, ϕk dell’ultimaequazione va a zero.
I Quindi:
Xt =∞∑i=0
ϕiεt−i = εt + ϕεt−1 + ϕ2εt−2 + · · ·
= MA(∞).
I Assumendo sempre che |ϕ| < 1, MA(∞) e stazionario.
I Quindi, se e solo se |ϕ| < 1, l’AR(1) e stazionario.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 7
Il modello AR(1): stazionarieta - Dimostrazione 2
I Utilizzando l’operatore B, si arriva alla stessarappresentazione MA(∞):
Xt = ϕXt−1 + εt;
Xt − ϕXt−1 = εt;
Xt − ϕBXt = εt;
(1− ϕB)Xt = εt;
Xt = (1− ϕB)−1εt.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 8
Il modello AR(1): stazionarieta - Dimostrazione 2
I Ricordando sempre che 11−a rappresenta la convergenza della
serie geometrica∑∞
j=0 aj se e solo se |a| < 1, assumendo che
|ϕ| < 1 comporta che:
Xt =
∞∑j=0
ϕjBj
εt;
Xt =
∞∑j=0
ϕjεt−j ,
ovvero, un MA(∞).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 8
Il modello AR(1): momenti (i)
I Dato che Xt =∑∞
j=0 ϕjεt−j , assumendo che |ϕ| < 1, si ha:
1. Per quanto riguarda la media:
E(Xt) = E
∞∑j=0
ϕjεt−j
=
∞∑j=0
ϕj
E(εt−j) = 0.
2. Per quanto riguarda la varianza:
V ar(Xt) = γ(0) = E
∞∑
j=0
ϕjεt−j
2 ;
=
∞∑j=0
ϕ2jE[ε2t−j
];
=σ2
1− ϕ2.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 9
Il modello AR(1): momenti (ii)
I Sia sempre Xt =∑∞
j=0 ϕjεt−j e |ϕ| < 1.
I Si noti che (1− ϕ2)−1 rappresenta la convergenza dellasomma
∑∞j=0 ϕ
2j . La somma si puo esplicitare come:
1 per j = 0;
1 + ϕ2 per j = 1;
1 + ϕ2 + ϕ4 per j = 2;
...
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 10
Il modello AR(1): momenti (iii)
I Per quanto riguarda le autocovarianze al lag h, cioe Cov(Xt, Xt−h) = γ(h):
γ(h) = E [(Xt ·Xt−h)] ;
= E[(εt + ϕεt−1 + ϕ2εt−2 + · · ·+ ϕhεt−h + ϕh+1εt−h−1 + ϕh+2εt−h−2 + · · ·
)·(
εt−h + ϕεt−h−1 + ϕ2εt−h−2 + · · ·)]
;
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 11
Il modello AR(1): momenti (iii)
I Per quanto riguarda le autocovarianze al lag h, cioe Cov(Xt, Xt−h) = γ(h):
γ(h) = E [(Xt ·Xt−h)]
= E[(εt + ϕεt−1 + ϕ2εt−2 + · · ·+ ϕhεt−h + ϕh+1εt−h−1 + ϕh+2εt−h−2 + · · ·
)·(
εt−h + ϕεt−h−1 + ϕ2εt−h−2 + · · ·)]
;
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 11
Il modello AR(1): momenti (iii)
I Per quanto riguarda le autocovarianze al lag h, cioe Cov(Xt, Xt−h) = γ(h):
γ(h) = E [(Xt ·Xt−h)]
= E[(εt + ϕεt−1 + ϕ2εt−2 + · · ·+ ϕhεt−h + ϕh+1εt−h−1 + ϕh+2εt−h−2 + · · ·
)·(
εt−h + ϕεt−h−1 + ϕ2εt−h−2 + · · ·)]
;
=(ϕh + ϕh+2 + ϕh+4 + · · ·
)σ2;
= ϕh(1 + ϕ2 + ϕ4 + · · ·
)σ2;
= ϕh 1
1− ϕ2σ2;
= ϕhγ(0).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 11
Il modello AR(1): autocorrelazioni
I Si e visto che Cov(Xt, Xt−h) = γ(h) = ϕhγ(0).
I Le autocorrelazioni quindi:
Corr(Xt, Xt−h) = ρ(h) =ϕhγ(0)
γ(0)= ϕh.
I Se ϕ > 0, le autocorrelazioni decadono a zeroesponenzialmente.
I Se ϕ < 0, le autocorrelazioni decadono a zeroesponenzialmente, ma con oscillazioni negative e positive.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 12
Il modello AR(1): γ(h) e ρ(h) ricorsive
I Dato che γ(h) = ϕhγ(0), allora:
γ(1) = ϕγ(0);
γ(2) = ϕ2γ(0) = ϕ [ϕγ(0)] = ϕγ(1);
γ(3) = ϕ3γ(0) = ϕ[ϕ2γ(0)
]= ϕγ(2);
...
γ(h) = ϕγ(h− 1).
I In maniera analoga, si ha che
ρ(h) = ϕρ(h− 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 13
Il modello AR(1): funzione risposta ad impulso
I La funzione risposta ad impulso e pari a
∂Xt+j
∂εt= ϕj .
I Ovvero, la funzione di autocorrelazione al tempo t+ j rappresentala risposta allo shock avuto j periodi fa.
I Assumendo |ϕ| < 1, maggiore sara la distanza temporale tra iltempo di valutazione dello shock (ad esempio, t+ j) e il tempodello shock (t), minore sara l’effetto dello stesso.
I L’effetto dello shock sara dipendente anche da ϕ: maggiore e ϕ,maggiore e il livello di correlazione con il passato e maggiore el’effetto dello shock nel tempo.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 14
Il modello AR(1): ACF
0 5 10 15 20
0.0
0.4
0.8
Lag
AC
FAR(1), ϕ=0.9
0 5 10 15 20
−0.
50.
5
Lag
AC
F
AR(1), ϕ=−0.9
Figura: ACF di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.9 (top panel),ϕ = −0.9 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 15
Il modello AR(1): ACF
0 5 10 15 20−0.
20.
20.
61.
0
Lag
AC
FAR(1), ϕ=0.6
0 5 10 15 20
−0.
50.
51.
0
Lag
AC
F
AR(1), ϕ=−0.6
Figura: ACF di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.6 (top panel),ϕ = −0.6 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 15
Il modello AR(1): ACF
0 5 10 15 20−0.
20.
20.
61.
0
Lag
AC
FAR(1), ϕ=0.3
0 5 10 15 20
−0.
20.
40.
8
Lag
AC
F
AR(1), ϕ=−0.3
Figura: ACF di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.3 (top panel),ϕ = −0.3 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 15
Il modello AR(1): PACF (i)
I Per quanto riguarda le PACF per h = 1, si ha che, perdefinizione:
φ11 = ρ(1) = ϕ.
I Per h = 2, dato che ρ(2) = ϕρ(1), si ha:
φ22 =
∣∣∣∣∣∣∣1 ρ(1)
ρ(1) ρ(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 ρ(1)
ρ(1) 1
∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣1 ϕ
ρ(1) ϕρ(1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 ρ(1)
ρ(1) 1
∣∣∣∣∣∣∣= 0.
I E cosı, per ogni h ≥ 2, φhh = 0.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 16
Il modello AR(1): PACF (ii)
I D’altronde, dato Xt ∼ AR(1), se si volesse calcolare φ22, adesempio, si dovrebbe poter scrivere la regressione:
Xt = φ21Xt−1 + φ22Xt−2.
I Tuttavia, essendo il processo un AR(1) (solo del primoordine), non puo che essere φ22 = 0.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 17
Il modello AR(1): PACF (iii)
5 10 15 20
0.0
0.4
0.8
Lag
Par
tial A
CF
AR(1), ϕ=0.9
5 10 15 20
−0.
8−
0.4
0.0
Lag
Par
tial A
CF
AR(1), ϕ=−0.9
Figura: PACF di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.9 (top panel),ϕ = −0.9 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 18
Il modello AR(1): PACF (iii)
5 10 15 20
0.0
0.4
Lag
Par
tial A
CF
AR(1), ϕ=0.6
5 10 15 20−0.
6−
0.2
Lag
Par
tial A
CF
AR(1), ϕ=−0.6
Figura: PACF di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.6 (top panel),ϕ = −0.6 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 18
Il modello AR(1): PACF (iii)
5 10 15 20
−0.
10.
10.
3
Lag
Par
tial A
CF
AR(1), ϕ=0.3
5 10 15 20−0.
200.
000.
15
Lag
Par
tial A
CF
AR(1), ϕ=−0.3
Figura: PACF di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.3 (top panel),ϕ = −0.3 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 18
Il modello AR(1) con radice unitaria (i)
I Se ϕ = 1, allora il modello AR(1) presenta una radice unitaria.
I Il modello quindi diventa:
Xt = Xt−1 + εt, con εt ∼WN(0, σ2),
ovvero un Random Walk.
I Effettuando una differenza prima, si otterrebbe:
∇Xt = εt,
cioe un processo stazionario.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 19
Il modello AR(1) con radice unitaria (ii)
I In questo caso si dice che il processo Xt e integrato del primoordine e si indica con Xt ∼ I(1).
I Vale a dire che il processo Xt deve essere differenziato unavolta per essere reso stazionario.
I Nel Random Walk, contrariamente all’AR(1) stazionario, unoshock ha effetto permanente:
∂Xt+h
∂εt= 1, ∀h > 0.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 20
Il modello AR(1): Ricapitolazione
I Il processo AR(1) e invertibile per definizione.
I E’ stazionario se e solo se |ϕ| < 1.
I Le autocorrelazioni globali al lag h sono pari a ϕh.Assumendo che |ϕ| < 1, le ACF decadono esponenzialmente azero, tanto piu lentamente quanto piu grande e ϕ.
I Le autocorrelazioni parziali sono uguali a zero per h ≥ 2,diverse da zero per h = 1.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 21
Il modello AR(2)
I Nel modello AR(2) si suppone che il valore corrente dellavariabile aleatoria Xt dipenda non solo da Xt−1, ma anche daXt−2, e da una componente accidentale.
I Formalmente:
Xt = ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + εt;
εt ∼ WN(0, σ2);
(Xt = δ + ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + εt).
I Per definizione, il modello AR(2) e sempre invertibile.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 22
Il modello AR(2): rappresentazioni grafiche
0 50 100 150 200
−6
−2
24
AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=0.3X
(t)
0 50 100 150 200
−4
02
4
AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=0.3
X(t)
Figura: Andamento di due serie storiche AR(2) con ϕ1 = 0.6 eϕ2 = 0.3 (top panel), ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = 0.3 (bottom panel) eεt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 23
Il modello AR(2): rappresentazioni grafiche
0 50 100 150 200
−2
01
23
AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=−0.3X
(t)
0 50 100 150 200
−3
−1
13
AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=−0.3
X(t)
Figura: Andamento di due serie storiche AR(2) con ϕ1 = −0.6 eϕ2 = −0.3 (top panel), ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = −0.3 (bottom panel) eεt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 23
Il modello AR(2): stazionarieta
I Il modello AR(2) puo anche essere scritto come:(1− ϕ1B − ϕ2B
2)Xt = εt.
I La condizione di stazionarieta equivale a richiedere che le (2)radici in B dell’equazione
(1− ϕ1B − ϕ2B
2)
= Φ(B) = 0siano fuori dal cerchio di raggio unitario.
I Questo implica che ϕ1 e ϕ2 devono giacere all’interno dellaregione triangolare:
ϕ1 + ϕ2 < 1;
ϕ2 − ϕ1 < 1;
−1 < ϕ2 < 1.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 24
Il modello AR(2): Regione triangolare
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 25
Il modello AR(2): Momenti (i)
I Si assuma che le due radici dell’equazione caratteristica sianofuori dal cerchio unitario.
I Si puo dimostrare che il modello AR(2) ammette unarappresentazione MA(∞) del tipo:
Xt =
∞∑i=1
∞∑j=1
ψi1ψj2εt−i−j ,
dove ψ−11 e ψ−12 sono le soluzioni dell’equazione caratteristicaΦ(B) = 0.
I Quindi la media e:E(Xt) = 0.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 26
Il modello AR(2): Momenti (ii)
I Per quanto riguarda la varianza:
V ar(Xt) = γ(0) = E [XtXt] ;
= E [(ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + εt)Xt] ;
= ϕ1E [Xt−1Xt] + ϕ2E [Xt−2Xt] + E [εtXt] ;
= ϕ1γ(1) + ϕ2γ(2) + σ2.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 27
Il modello AR(2): Momenti (iii)
I Per quanto riguarda l’autocovarianza Cov(Xt, Xt−h):
γ(h) = E [XtXt−h] ;
= E [(ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + εt)Xt−h] ;
= ϕ1E [Xt−1Xt−h] + ϕ2E [Xt−2Xt−h] + E [εtXt−h] ;
= ϕ1γ(h− 1) + ϕ2γ(h− 2).
I Per quanto riguarda l’autocorrelazione Corr(Xt, Xt−h):
ρ(h) = ϕ1ρ(h− 1) + ϕ2ρ(h− 2),
che al variare di h determinano un sistema di equazioni linearidi Yule-Walker.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 28
Il modello AR(2): Momenti (iv)
I In particolare, si ha:
γ(0) =σ2(1− ϕ2)[
(1− ϕ2)2 − ϕ21
](1 + ϕ2)
.
I Per h = 1 e h = 2, si ha:
ρ(1) =ϕ1
1− ϕ2;
ρ(2) =ϕ21 + ϕ2 − ϕ2
2
1− ϕ2.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 29
Il modello AR(2): ACF
I Si puo dimostrare che la funzione di autocorrelazione decadein modo esponenziale se le radici del polinomio caratteristicosono reali e decade a zero in modo sinusoidale se le radicisono complesse.
I Contrariamente al modello MA, l’ACF di un AR(2) non ha unchiaro punto di troncamento.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 30
Il modello AR(2): PACF
I Per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione parziale apartire dall’equazione di autocorrelazione globale si puodimostrare che:
φ11 = ρ(1);
φ22 = ϕ2;
φhh = 0 per h ≥ 3.
I Quindi, la PACF di un processo AR(2) si annulla dopo ilsecondo lag.
I In altre parole, si ha un punto di troncamento per k = 2.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 31
Il modello AR(2): ACF e PACF
0 5 10 15 20
0.0
0.4
0.8
Lag
AC
FAR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=0.3
0 5 10 15 20
−0.
50.
5
Lag
AC
F
AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=0.3
Figura: ACF di un modello AR(2) con ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = 0.3 (toppanel), ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = 0.3 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 32
Il modello AR(2): ACF e PACF
0 5 10 15 20−0.
40.
20.
8
Lag
AC
FAR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=−0.3
0 5 10 15 20
0.0
0.4
0.8
Lag
AC
F
AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=−0.3
Figura: ACF di un modello AR(2) con ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = −0.3 (toppanel), ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = −0.3 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 32
Il modello AR(2): ACF e PACF
5 10 15 20
0.0
0.4
0.8
Lag
Par
tial A
CF
AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=0.3
5 10 15 20
−0.
8−
0.4
0.0
Lag
Par
tial A
CF
AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=0.3
Figura: PACF di un modello AR(2) con ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = 0.3 (toppanel), ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = 0.3 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 32
Il modello AR(2): ACF e PACF
5 10 15 20
−0.
4−
0.1
0.1
Lag
Par
tial A
CF
AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=−0.3
5 10 15 20−0.
40.
00.
4
Lag
Par
tial A
CF
AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=−0.3
Figura: PACF di un modello AR(2) con ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = −0.3(top panel), ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = −0.3 (bottom panel) eεt ∼WN(0, 1).
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 32
Il modello AR(2): Ricapitolazione
I Il processo AR(2) e invertibile per definizione.
I E’ stazionario se e solo se le due radici in B dell’equazionecaratteristica sono fuori dal cerchio unitario.
I Le autocorrelazioni globali decadono in maniera esponenzialeo sinusoidale a zero.
I Le autocorrelazioni parziali sono uguali a zero per h ≥ 3.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(2) 33
Il modello AR(p)
I Nel modello AR(p) si suppone che il valore corrente dellavariabile aleatoria Xt dipenda da fino a p lag di Xt, e da unacomponente accidentale.
I Formalmente:
Xt = ϕ1Xt−1 + · · ·+ ϕpXt−p + εt;
εt ∼ WN(0, σ2);
(Xt = δ + ϕ1Xt−1 + · · ·+ ϕpXt−p + εt).
I Per definizione, il modello AR(p) e sempre invertibile.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(p) 34
Il modello AR(p): stazionarieta
I Il modello AR(p) puo anche essere scritto come:
(1− ϕ1B − ϕ2B2 − · · · − ϕpBp)Xt = εt.
I La condizione di stazionarieta richiede che le p radici in Bdell’equazione (1− ϕ1B − ϕ2B
2 − · · · − ϕpBp) = Φ(B) = 0siano fuori dal cerchio unitario.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(p) 35
Il modello AR(p): momenti
I Similarmente a quanto visto con l’AR(2), si ha che:
1. E(Xt) = 0.2. Le autocovarianze sono pari a:
γ(h) = ϕ1γ(h− 1) + ϕ2γ(h− 2) + · · ·+ ϕpγ(h− p).
Per cui le autocorrelazioni sono:
ρ(h) = ϕ1ρ(h− 1) + ϕ2ρ(h− 2) + · · ·+ ϕpρ(h− p).
3. Le PACF sono uguali a zero per h > p.
Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(p) 36