La riabilitazione del sistema dei numeri

La Linea dei Numeri

• Per contare è necessario:Apprendere i nomi dei numeri

primitivi che combinati tra loro e con l’uso dei miscellanei permettono la costruzione degli altri numeri

Saper disporli nella sequenza corretta

• Contare richiede abilità di :

memoria a lungo (per richiamare il nome dei numeri attraverso le informazioni lessicali)

a breve termine (per controllare il corretto progredire della sequenza)

abilità attentive (per controllare la correttezza della sequenza di conteggio)

• Il conteggio regressivo non è un compito automatico

• Richiede uno sforzo attentivo maggiore e un tempo di esecuzione più elevato

• I bambini con discalculia evolutiva evidenziano difficoltà più grosse dei loro coetanei in questa abilità di base

Errori frequenti quando occorre passare da una decina all’altra

Derivano dalla complessità sintattica in quanto vi deve essere il recupero di un’etichetta lessicale primitiva e l’interruzione della sequenza di conteggio decina-unità precedente.

Tipologia degli errori

• Errori di decinaOmissione …52,51,(50),49…Sostituzione …51,(50),40,49…Anticipazione …51,50,40,49…Perseverazione …50,59,58• Errori in altri numeriOmissione …48,47,(46),45…Sostituzione …77,66,75,74…Inversione della sequenza …

86,85,84,85,86…Perseverazione …

39,38,37,39,35...

• Le attività del training riabilitativo per rendere efficiente il conteggio e le capacità di operare sulla linea dei numeri devono esser differenziate a seconda dell’età

Esercizi per il consolidamento della linea dei numeri

bambini prescolari e del 1° ciclo

Esercizi per l’efficienza della linea dei numeri

bambini secondo ciclo e oltre

Esercizi per il

consolidamento della linea dei numeri

La figura nascosta

• Si tratta di unire i puntini numerati per disegnare una figura

• Proponibile con diversi gradi di difficoltà:

Per bambini piccoli un percorso breve in sequenza diretta

Per i più grandi si possono produrre figure più complesse

Immaginare la retta dei numeri

• Dehaene (2000): la nostra mente immagina i numeri su una retta che si espande all’infinito. I numeri ci trasmettono infatti una percezione di estensione nello spazio rappresentata dalla retta numerica mentale che si direziona da sinistra a destra

• Dopo aver lavorato su materiale concreto (come la traccia del serpente o il disegno della linea dei numeri), chiedere per esempio al bambino di immaginare un lungo serpentone fatto di numeri

• Bambino: “ha la coda piccola, ci entra solo il numero 1; la bocca invece è grandissima è 100.”

• Riabilitatore:”…e il 2 dove sta?”• B:”…vicino alla coda.”• R:”…e il 70?” • B:..sta nella pancia”

Lo scopo delle sollecitazioni è quello di

aiutare i bambini a “vedere” i

numeri, allenandoli a camminare su

e giù per la retta numerica

Bersaglio

• Si propone in questo esercizio un conteggio alternato tra il bambino e il riabilitatore

• Il bersaglio è un numero prestabilito che deve essere raggiunto avanzando di uno,due,tre numeri assegnando la vittoria a chi lo raggiunge per primo.

• Il bambino deve quindi prestare attenzione ai numeri usati dall’altro cercando di prevedere la mossa più opportuna

Bersaglio

• R: “il bersaglio è il numero 15; comincio io e dico 1”

• B:”2,3”• R:”4,5,6”• B:”7”• R:”8,9”• B:”10,11”• R:”12”• B:”13,14,15…..ho vinto”

Esercizi per l’efficienza della linea dei numeri

Contare in avanti e all’indietro

• È l’attività che allena la sequenza di conteggio

• Può essere effettuata secondo modalità che rendono più difficile o semplificano il compito

• Si può contare da 1 a 100 e viceversa per 1, per 5 o per 10 o per qualunque altro intervallo

• È possibile rendere più difficile il compito partendo da numeri diversi da uno, a volte da numeri elevati

• Si può fornire un aiuto diversificato a seconda delle necessità del bambino come mantenere un elemento stabile nel conteggio rendendolo anche visibile durante l’esecuzione (7700 visibile il 7 poiché non cambia nell’esecuzione)

• Si può contare un elemento per uno e in caso di errore il riabilitatore può dire gli ultimi due numeri pronunciati correttamente nella sequenza in modo da fornire una informazione utile per proseguire il conteggio

Il contatore

• Si può allenare il bambino a contare avanti e indietro enunciando isolatamente le cifre che compongono il numero, senza raggrupparle secondo le regole sintattiche di produzione

Settantatre, settantadue,settantuno

Sette-tre, sette-due, sette-uno

Lingua Cinese

• Questo compito identifica i numeri primitivi, consente una maggiore concentrazione sulle singole unità, alleggerisce il carico di memoria e le difficoltà relative ai numeri fonologicamente complessi

• Obbliga a enunciare lo zero quando esso è previsto nel numero

• Si può inizialmente utilizzare un contatore come un datario o un conta km da bicicletta per verificare il movimento delle cifre

Identificazione degli errori di conteggio

• La procedura di conteggio viene eseguita dal riabilitatore, il quale deve inserire nella sequenza alcuni errori

• Scopo dell’attività è l’identificazione dell’errore compiuto da parte del bambino che deve poi enunciare il numero correttamente

• Questo compito incrementa l’attenzione e il controllo sulla procedura

• I numeri possono esser presentati per intero o segmentati in singole cifre

Esercizi per la

transcodifica numerica

Identificazione della struttura sintattica del numero

• Consente di superare gli errori di lessicalizzazione, che fanno sì che un numero sia scritto in codice arabico così come viene udito in codice alfabetico

• Numero dettato come “426” viene scritto “400206”, riportando tutti gli elementi lessicali presenti nella stringa orale senza rappresentare le regole sintattiche specifiche del codice arabico

Si possono preparare dei cartoncini di diverso formato che evidenziano la struttura lessicale dei numeri da produrre, che saranno poi assemblati per costruire il numero corretto

Es. Numero”587”

500 80 7

580 7

Riconoscimento di numeri del medesimo ordine di grandezza

• Il bambino deve individuare su una matrice un numero pronunciato ad alta voce dal riabilitatore, questo impone non solo di identificare le cifre che lo compongono ma anche effettuare una corretta mappatura sintattica

Le matriciPiù semplici costituite da pochi elementi,di

ordine di grandezza non elevato e con le prime cifre differenti

180 362 665 541 908

Più complesse costituite da molti numeri e con un’alternanza di cifre iniziali simili o

uguali45101 45751 45230 45125 45853

Con numeri non troppo lunghi si può chiedere al bambino di ripetere il numero prima di avviare la

ricerca e leggerlo una volta individuato

Riconoscimento di numeri di ordine di grandezza differente• Il lavoro è in questo caso centrato

sulla mappatura sintattica del numero

• Il bambino non deve solamente mantenere in memoria la parola numero per il tempo necessario all’individuazione sulla lista ma deve decidere anche a quale ordine di grandezza fa riferimento il numero enunciato

• Per lavorare maggiormente sulla componente sintattica,evitando riconoscimenti basati sull’identificazione della solo prima cifra, bisogna ridurre il numero delle cifre così da produrre stimoli molto simili per quanto riguarda gli aspetti lessicali ma sintatticamente diversi

• Anche l’allineamento sulla matrice può semplificare o rendere più difficile l’esercizio

• La richiesta è trovare sulla lista i numeri enunciati volta per volta dal riabilitatore

numeri con allineamento a destra e marcatore sintattico

46 6.500 4 40650 60460 4.500400 6 65 600

Numeri con allineamento a sinistra senza marcatore sintattico

46 65004 40650 60460 4500400 665 600

Aumentando numero e complessità degli stimoli proposti il compito risulta più difficile

5400 540 50404504 5000 550000 50440 5004054 544 500450400 50004 54445040 5404 5400054040 50 54444

• I ragazzi e i bambini gradiscono come attività anche l’inversione dei ruoli

• Questo lo farà diventare un compito di lettura di numeri, attività comunque pertinente allo scopo di migliorare le abilità di transcodifica

Esercizi di lettura dei numeri

• La lettura del codice arabo di numeri di diversa complessità costituisce una delle prime abilità da promuovere per l’importanza che riveste nella scuola e nella vita quotidiana

• Le variabili da considerare sono: L’ordine di grandezza del numero La complessità (presenza o meno dello

zero e/o cifre ripetute, alternate o fonologicamente simili)

La presenza o meno dei segni relativi agli elementi miscellanei

• Il miscellaneo cento non prevede l’uso del punto e pertanto non consente tale facilitazione. Sono quindi i numeri da utilizzare per gli esercizi riabilitatativi

• Si propone di leggere in verticale la prima colonna, poi in orizzontale entrambi i numeri,poi di nuovo in verticale i numeri entrambi le colonne

In questo caso nella seconda colonna i numeri relativi alla decina non cambiano,occorre solo aggiungere le centinaia

62 36219 21948 54855 55581 18119 41927 32774 674

Alla prima cifra che sintatticamente prima si riferiva alle decine si deve assegnare l’elemento miscellaneo

relativo alle centinaia

62 62419 19640 40755 55292 92018 18174 74627 278

Una volta appresa la lettura dei numeri

compresi entro la centinaia si potrà utilizzare il marcatore sintattico per

leggere i numeri più grandi favorendo nel bambino

l’apprezzamento del punto come elemento utile a scomporre il

numero in unità più semplici e già conosciute come le unità, le decine e

le centinaia

Scrittura di numeri con la semplificazione della componente

sintattica

• Scrivere un numero, specialmente con molte cifre, comporta difficoltà notevoli in bambini con disturbi specifici d’apprendimento

• Le difficoltà possono derivare: dalla complessità sintattica della

struttura del numero dalla sua lunghezza che rende

difficoltoso trattenere gli elementi lessicali

È possibile fornire una griglia in cui inserire le cifre necessarie alla scrittura di un numero così da semplificare l’identificazione della struttura sintattica di quel numero, poiché questa viene fornita dalla griglia stessa

Numeri da dettare: 548;

975;

692;

490;

112

Questi esercizi consentono una corretta mappatura sintattica dei numeri quando devono essere inseriti elementi che ne rendono difficoltosa la transcodifica come il numero 0

• Numeri da dettare: 4420;2800;3024;8060;5004

Si può proporre l’esercizio presentando numeri di diversa grandezza, in cui sta al bambino individuare la griglia corretta

Numeri da dettare: 251;5847;3685; 24; 31;874

Con numeri di elevato ordine di grandezza si può introdurre all’interno della griglia l’indicatore relativo alle migliaia, facilitando l’analisi sintattica dello stimolo

Numero 24837

È possibile utilizzare griglie in cui vengono raggruppate le cifre che precedono o seguono l’elemento miscellaneo

m. c.

24 8 37m. c.

Una volta che il bambino ha compreso la struttura del numero e l’importanza del marcatore sintattico, gli esercizi di struttura assistita da griglie può essere organizzato in questo modo:

26 471

5807 63356 251384

26 471

5 807 63 356 251 384

Scrittura di numeri con semplificazione della componente sintattica e lessicale

• Queste griglie forniscono l’informazione relativa agli elementi lessicali del numero da produrre, così da semplificarne l’analisi sintattica.

• Per semplificare le componenti lessicali è possibile disporre all’interno delle griglie una o più delle cifre enunciate dal riabilitatore

4837

34856

8

4 8

Transcodifica arabico/alfabetico e viceversa

1) scrivere la forma alfabetica di un numero

537 Cinquecentotrentasette123451200164557

2) Scrivere le cifre partendo dalla forma alfabetica

Cinquecentotrentasette 537

DodiciTremilaquattrocentocinquantunoDuemilaunoSeicentoquarantacinqueCinquantasette

3) Leggereformato i numeri, indipendentemente dal di presentazione

Diciotto 635Ottocentonovanta

574 840 771

Duecentotrentuno Novecentodue 485

Quattrocentocinquantadue Cinquecento 68

4) Abbinare i numeri uguali, presentati in codici diversi

400 Sessantuno

13 Quattrocento

61 Trecentonove

309 Tredici

La codifica semanticadei numeri

Triplette

Questo esercizio impegna a decidere quale tra tre numeri presentati in una lista è il più grande o il più piccolo

182715

Le inserzioni•Il bambino deve identificare la posizione di un numero in rapporto ad altri, in questo caso collocando in uno degli spazi lasciati liberi tra altri numeri in una riga.

•78 81 83 85

•82

Quale dei due• L’attività consiste nel proporre due

numeri e chiedere al bambino di identificare quale numero fra altri è compreso fra questi

• Si può proporre in forma scritta o orale, forma che però impegna le abilità di memoria fonologica

35 ? 79

80 31 50 100

Le pagine del libro

È un semplice esercizio in cui si utilizza un libro del quale occorre trovare prima una pagina data e poi altre indicate dal riabilitatore. Per individuare le pagine il bambino deve orientarsi all’indietro, verso sinistra o in avanti verso destra.

Attività con le carte• In questo caso i bambini sono sollecitati sia a

produrre numeri, che a controllarne l’ordine di grandezza.

• Ciascun giocatore pesca due, tre, quattro carte da un mazzo e deve cercare di ordinarle in modo da ottenere il numero più alto possibile

3 5

La riabilitazione del

sistema del calcolo

Il calcolo mentale

Nei bambini discalculici una delle difficoltà più evidenti riguarda il recupero dei fatti aritmetici, cioè il richiamo di un’operazione direttamente dalla memoria a lungo termine

• Il problema risiede anche nella difficoltà a raggiungere elevati livelli di automatizzazione, è quindi indispensabile individuare strade alternative che permettano di ottenere il risultato con il minimo dispendio di risorse cognitive

• Bisogna fornire al bambino strategie di compenso che siano efficaci, al fine di elevare il grado di efficienza del calcolo mentale, piuttosto che cercare di creare un magazzino completo di informazioni

Reiterazione della tabellina

• Solo pochi bambini discalculici hanno beneficio dal training tradizionale con ripetizione diretta o richiamando l’operazione

• Bisogna sì proporre questa attività ma per un tempo limitato e senza particolare accanimento, fino ad aver verificato la capacità, o più spesso l’impossibilità, di mantenere e di stabilizzare i fatti aritmetici

Costruzione di associazioni linguistiche e visive

• La creazione di associazioni arbitrarie tra informazioni da memorizzare può rendere il compito più semplice

• Può esser utile imparare le moltiplicazioni registrandole nella memoria uditiva come una filastrocca

Strategie integrate per

l’aumento dell’efficienza

nel calcolo

Obiettivo è rendere il più efficiente possibile il calcolo mentale, in particolare tabelline e

moltiplicazioni entro la decina

Uso delle dita

Si dovrebbe rassicurare sempre il bambino nell’uso delle dita per fare calcoli

Seguire l’anatomiaFare progressi in aritmetica coincide con la

capacità di immagazzinare in memoria una gran quantità di informazioni, questo per il bambino discalculico può risultare insormontabile

Bisogna incoraggiare il bambino a trovare strategie personali efficaci o suggerendogliene alcune

• La modalità iniziale è che gli addendi vengono ricontati partendo da uno

• Viene poi sostituita dal conteggio a partire dalla cardinalità del primo addendo indipendentemente dalla sua grandezza

• Strategia del “min”, il conteggio a partire dall’addendo maggiore, qualunque sia la posizione all’interno della somma

• Queste strategie più rapide non sempre sono conosciute dai bambini discalculici, necessitando quindi di un esplicito incoraggiamento ad utilizzarla

Riduzione del numero di informazioni da memorizzare

• La tavola pitagorica viene solitamente studiata per intero e le informazioni contenute sono 72 (escludendo le numerazioni per uno e i multipli di 10)

• Queste possono esser ridotte a metà se ogni moltiplicazione viene considerata una volta sola, indipendentemente dall’ordine dei fattori

• Se 36 risultati sono ancora troppi da memorizzare si può limitare l’apprendimento solo ad alcuni fatti aritmetici più semplici, che possono costruire degli elementi pivot a partire dai quali il bambino può costruire i calcoli successivi

• Tabellina del 5 è quella preferita dai bambini anche gravemente discalculici in quanto l’alternanza regolare di 0 e 5 nelle unità è un fattore fortemente facilitante

Calcolo pivot:5x resto da

da eseguire aggiungere (+)

6x8 8=40 +8=48

7x9 9=45 +9+9=63

8x7 7=35+7+7+7=56

Nel caso del moltiplicatore minore di 5 con tabella viene segnato il resto da togliere

Calcolo pivot:5x resto da

da eseguire aggiungere (+)

4x8 8=40-8=32

3x9 9=45 -9-9=27

2x6 6=30 -6-6-6=12

Uso della tavola pitagorica e delle tavole additive e sottrattive

• Rappresentano la forma più semplice di supporto esterno al calcolo

• Una stessa tabella può essere utilizzata contemporaneamente come tavola additiva e sottrattiva a seconda di come vengono letti gli incroci tra i numeri

Esecuzione a mente di calcoli complessi

• La risoluzione non è automatica ma richiede la scomposizione in tappe successive

• Calcolo può esser suddiviso in una serie di addizioni e sottrazioni più semplici o commutando l’ordine degli addendi si può rendere il conteggio più agevole

• Queste semplificazioni non sempre son alla portata dei b.discalculici per i quali il richiamo di una sequenza di operazioni è talvolta più un impaccio che un aiuto

Scomposizione in decine di tutte le componenti dell’operazione

• Somme come “27+14” possono esser risolte trattando separatamente le decine-facilmente addizionabili- e le unità.

• [(20+10)+7+4]• Risolta la somma delle decine, il bambino può

limitarsi ad aggiungere gli elementi mancanti contando

• Per le sottrazioni vale lo stesso principio”37-16”

• [(30-10)+(7-6)]• Operazione che però risulta complessa per la

presenza simultanea dei due operatori

Scomposizione in decine di una sola componente

È possibile scomporre un solo addendo o il sottraendo in decine e unità

[(27+10)+4][(37-10)-6]Queste strategie possono esser

precedute da esercizi di conteggio progressivo e regressivo per decine così da allenare il bambino a eseguire rapidamente la prima parte del calcolo per poi proseguire con le unità

Arrotondamento • È una procedura che può esser

applicata nel caso delle sottrazioni con il prestito es. 48-19

• Gli adulti normalmente risolvono questo tipo di calcoli arrotondando il sottraendo alla decina superiore per “resitituire” poi le unità tolte in eccesso

• [(48-20)+1]• [(48+20)-1] se fosse stata

un’addizione

Il calcolo scritto

• I bambini con discalculia evolutiva spesso mostrano le loro difficoltà e commettono una gamma di errori che coinvolgono aspetti grafo-percettivi e aspetti esecutivi

• Difficoltà di fronte allo 0, sottrarre il prestito dalle centinaia quando le decine son rappresentate dallo 0 o chi sottrae in ogni caso dalla cifra più a sinistra

• La causa risiede nella lunga sequenza di regole specifiche per ogni algoritmo che determinano un sovraccarico della memoria

• Bisogna far focalizzare l’attenzione del bambino sul senso delle operazioni che sta effettuando affinchè raggiunga una buona capacità di controllo dei risultati

Tipologie di errore nel calcolo scritto

• Mancanza di ordine sul foglio

• Scrittura confusa

• Poco spazio a disposizione per indicare prestiti e riporti

• Se l’operazione da compiere fa parte di un’altra attività

• Selezione algoritmo

• Conoscenza procedure di calcolo

• Esecuzione del calcolo

• Difficoltà richiamare procedure

• Difficoltà monitoraggio procedure

Selezione dell’algoritmo• Il bambino applica in questo caso una

procedura non pertinente al segno algebrico

458- 251= 709• È sufficiente richiamare l’attenzione

sull’operatore• Gli errori possono dipendere da difficoltà

attentive o dallo stato di ansia e preoccupazione di fronte a un compito in cui non si sentono abili

Conoscenza delle procedure di calcolo

• Sono errori di ordine procedurale che riguardano anche la componente spazio-temporale delle operazioni

• Possono avvenire errori nei singoli passaggi, nelle regole relative al prestito e al riporto, errori di incolonnamento, errori direzionali in cui non si è in grado di stabilire se il calcolo inizia da dx o da sx e/o dall’alto oppure dal basso

•Procedura dell’addizione applicata parzialmente tralasciando riporto nel sommare le centinaia2354+1879=4133•Numeri incolonnatidisordinatamente,senza considerareil valore posizionale delle cifre756 +1978=9538

•Sottrazione iniziata dal basso, aggirando la regola del prestito 82- 57= 35•Moltiplicazione con risultati parziali non incolonnati correttamente 37x 56= 222 185 407

Difficoltà nella conoscenza e nel richiamo di procedure

• Conoscere una procedura e saperla applicare significa saper incolonnare, sapere che il calcolo va iniziato a destra, saper segnare i prestiti e i riporti, conoscere cosa prevede di volta in volta lo specifico algoritmo che si sta utilizzando

• L’uso di un algoritmo non ben appreso o non ben ricordato determina la presenza di bugs cioè di errori sistematici causati dall’applicazione scorretta di alcune sub-procedure mentre altre sono corrette

Difficoltà nel monitoraggio delle procedure

• Il problema è una incapacità a monitorare l’errore

• Il bambino non è in grado di decidere quando l’operazione è conclusa e gli rimane più difficile cogliere la precisione o l’adeguatezza del risultato

Strumenti Compensativi

• Sono strumenti tecnologici che consentono al ragazzo di compensare le

carenze funzionali determinate dal disturbo

Svolgendo la parte “automatica” della consegna, permettono al ragazzo di concentrare l’attenzione sui compiti cognitivi più

complessi

Paragonabili ad una sorta di “protesi”

Non incidono sul contenuto cognitivo, ma possono avere importanti ripercussioni sulla velocità e/o la correttezza

dell’esecuzione della consegna

Moreno Marazzi moreno.mar@libero.it

Misure Dispensative

• Insieme di provvedimenti che hanno come finalità il creare “pari opportunità”

tra gli alunniIncidono sulla quantità e non sulla qualità delle informazioni

Vengono introdotte modifiche all’iter didattico con l’intento di promuovere e sviluppare le capacità del soggetto

Considerati i tempi e il dispendio di energie è importante anche attuare una selezione degli argomenti nelle singole discipline

Moreno Marazzi moreno.mar@libero.it

Strumenti compensativi

• Tavola Pitagorica

• Calcolatrice

Moreno Marazzi moreno.mar@libero.it

La calcolatrice come … “ un meraviglioso strumento per

esplorare la matematica” (Dehaene 2000)

il calcolo a mente come l’esercizio delle procedure va sospeso a vantaggio della

calcolatrice quando, dopo un certo “allenamento” esse non vengono acquisite

(Biancardi, Mariani, Pieretti. 2003)

Moreno Marazzi moreno.mar@libero.it

Molto importante sottolineare che “è necessario promuovere l’utilizzo della

calcolatrice una volta che il bambino ha ben appreso le componenti concettuali

e procedurali di una determinata operazione” (Fazio 1999)

Inoltre “se un bambino sa usare la calcolatrice ma non è in grado di immettere i dati corretti o di leggere il risultato, la cosa serve davvero a

poco” (Biancardi, Mariani, Pieretti 2003).

Moreno Marazzi moreno.mar@libero.it

Indicazioni

• Privileggiare l’accuratezza rispetto alla velocità di esecuzione

• Permettere tempi di esecuzione più lunghi

• Privileggiare le componenti concettuali e strategiche

Moreno Marazzi moreno.mar@libero.it

FINE

Dr. Moreno Marazzi (Psicologo)

Moreno Marazzi moreno.mar@libero.it