Post on 01-Sep-2019
La méthode de Newton-Raphson appliquée à la résolution de systèmes d’équations linéaires ou du second degré
La mLa mLa mLa mééééthode de Newton thode de Newton thode de Newton thode de Newton –––– RaphsonRaphsonRaphsonRaphson
� Algorithme utilisé pour résoudre des systèmes d’équations non linéaires, qui consiste à construire, à partir de valeurs approchées de la solution, une suite convergente vers une solution.
� Dans le plan, les itérés successifs sont donnés par :
−=+ )(')(
1
0
k
kkk xf
xfxx
fixéx
GGGGéééénnnnééééralisation de la mralisation de la mralisation de la mralisation de la mééééthode thode thode thode au cas multidimensionnel:au cas multidimensionnel:au cas multidimensionnel:au cas multidimensionnel:
� Considérant un vecteur X IRⁿ, une fonction
F : IRⁿ→IRⁿ continuement dérivable, on cherche àrésoudre le système F(X)=0.
� Les itérés successifs obtenus par la méthode de Newton-Raphson sont donnés par :
[ ]
−= −+
1
1
0
)(')( kkkk XFXFXX
fixéX
∈
Convergence de lConvergence de lConvergence de lConvergence de l’’’’algorithmealgorithmealgorithmealgorithme
� La méthode de Newton-Raphson multidimensionnelle a une convergence quadratique locale, comme sa version unidimensionnelle.
Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Distance entre 2 pointsDistance entre 2 pointsDistance entre 2 pointsDistance entre 2 points
On cherche à placer un point Xi (xi,yi) à une distance d d’un point A(xa,ya). On veut donc :
Pour des raisons de commodité évidentes, on résoudra ici l’équation
dyyxx aiai =−+− 22 )()(
0)()( 222 =−−+− dyyxx aiai
Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Distance dDistance dDistance dDistance d’’’’un point un point un point un point àààà une droiteune droiteune droiteune droite
On cherche à placer un point Xi (xi,yi) à une distance d d’une droite D d’équation cartésienne ax+by+c=0. On veut donc :
Et on résoudra :
²² ba
cbyaxd ii
+++
=
0²²²
²²²
2²²
2²
²²²
²²2
²²²
² =−+
++
++
++
++
++
dba
cy
ba
bcx
ba
acy
ba
byx
ba
abx
ba
aiiiiii
Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Point appartenant Point appartenant Point appartenant Point appartenant àààà un cercleun cercleun cercleun cercle
On cherche à placer un point Xi (xi,yi) sur un cercle C de centre A(xa,ya) et de rayon r. On veut donc :
Et on résoudraryyxx aiai =−+− 22 )()(
0)()( 222 =−−+− ryyxx aiai
Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Point appartenant Point appartenant Point appartenant Point appartenant àààà une droiteune droiteune droiteune droite
On cherche à placer un point Xi (xi,yi) sur une droite D d’équation cartésienne ax+by+c=0. On veut donc :
0=++ cbyax ii
Les contraintes gLes contraintes gLes contraintes gLes contraintes gééééomomomoméééétriques:triques:triques:triques:Point milieu dPoint milieu dPoint milieu dPoint milieu d’’’’un segmentun segmentun segmentun segment
On cherche à placer un point Xi (xi,yi) au milieu du segment reliant A(xa,ya) et B(xb,yb). On a alors deux équations à résoudre :
Et2
bai
xxx
+=
2ba
i
yyy
+=
Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème:me:me:me:dimensionsdimensionsdimensionsdimensions
� Saisie du nombre de pointsnombre de pointsnombre de pointsnombre de points n à placer dans le plan.
� Saisie du nombre k de contraintesnombre k de contraintesnombre k de contraintesnombre k de contraintes à rentrer. Si il est inconnu, on considérera que k vaut 2n, qui est le nombre de contraintes maximal.
Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème:me:me:me:
CrCrCrCrééééation du vecteur des inconnuesation du vecteur des inconnuesation du vecteur des inconnuesation du vecteur des inconnues
� X IRn
X=
∈
n
n
y
x
y
x
y
x
M
2
2
1
1
Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème: me: me: me: CrCrCrCrééééation de la matrice des coefficientsation de la matrice des coefficientsation de la matrice des coefficientsation de la matrice des coefficients
� Matrice à 3 dimensions A, composée de k matrices carrées Ak, de taille 2n+1
� Chacune contiendra les coefficients coefficients coefficients coefficients (initialement nuls) d’une équation, obtenus par interprétation d’une contrainte saisie par l’utilisateur
++++
+
+
k
nn
k
n
k
n
k
n
kk
k
n
kk
aaa
aaa
aaa
12,122,121,12
12,22,21,2
12,12,11,1
L
MMM
L
L
▪Les ai,i sont les coefficients des termes xi²
▪ Les ai,j sont les coefficients des termes xixj.
▪Les ai,2n+1 sont les coefficients des termes xi.
▪ a2n+1,2n+1 est le terme constant
Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème: me: me: me: CrCrCrCrééééation du vecteur F(X)ation du vecteur F(X)ation du vecteur F(X)ation du vecteur F(X)
� F IRn, qui contiendra l’évaluation en X de la fonctionfonctionfonctionfonction IRⁿ→IRⁿ que l’on cherchera à annuler :
F=
� Chaque coordonnée est calculée par la formule :
∈
)(
)(
)(
2
2
1
Xf
Xf
Xf
n
M
12,12
2
1
12,
2
1
2
)( ++
=
+
= =
++= ∑∑∑ nn
n
i
iniji
n
i
n
ij
ijk axaxxaXf
Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème: me: me: me: CrCrCrCrééééation de la matrice jacobienne Fation de la matrice jacobienne Fation de la matrice jacobienne Fation de la matrice jacobienne F’’’’(X)(X)(X)(X)
� F1 matrice carrée de taille 2n
� Chaque terme est calculé par la formule :
n
nnn
n
n
x
Xdf
x
Xdf
x
Xdf
x
Xdf
x
Xdf
x
Xdf
x
Xdf
x
Xdf
x
Xdf
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
)()()(
)()()(
)()()(
L
M
L
L
=1F
12,
2
1
2)( +
≠=
++= ∑ nl
n
lii
ililll
l
k axaxaXdx
df
Mise en place du problMise en place du problMise en place du problMise en place du problèèèème:me:me:me:
saisie de valeurs initialessaisie de valeurs initialessaisie de valeurs initialessaisie de valeurs initiales
� La saisie de valeurs approchées de la solution est recommandée pour la convergence de l’algorithme
� Les valeurs sont assignées dans X.
Saisie des contraintesSaisie des contraintesSaisie des contraintesSaisie des contraintes
� A chaque ième contrainte ajoutée, on attribue aux termes de Ai correspondants leurs valeurs dans l’équation obtenue.
Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Distance Distance Distance Distance àààà un pointun pointun pointun point
� 1ère possibilité:� Fixer la distance d entre 2 points Xi1 et Xi2 à placer.
� Equation :
� Coefficients
1
2
2
1
122,122
112,122
122,112
112,112
=−=−=
=
−−
−−
−−
−−
ii
ii
ii
ii
a
a
a
a
0²2²²2² 2
22221212122122112112 =−+−++− −−−− dxxxxxxxx iiiiiiii
²
1
2
2
1
12,12
22,22
12,22
22,12
12,12
da
a
a
a
a
nn
ii
ii
ii
ii
−==
−=−=
=
++
Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Distance Distance Distance Distance àààà un pointun pointun pointun point
� 2ème possibilité� Fixer la distance d entre un point Xi1 à placer et un nouveau point
B(abs,ord) à définir.
� Equation :
� Coefficients :
0².2²².2² 2
1212112112 =−+−++− −− dordxordxabsxabsx iiii
²²²
2
1
2
1
12,12
12,12
12,12
12,112
112,112
dordabsa
orda
a
absa
a
nn
ni
ii
ni
ii
−+=−=
=−=
=
++
+
+−
−−
Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Saisie des contraintes:Distance Distance Distance Distance àààà une droiteune droiteune droiteune droite
� Saisie de la distance d et des coefficients de l’équation cartésienne de la droite ax+by+c=0� Equation :
� Coefficients :
0²²²
²²²
2²²
2²
²²²
²²2
²²²
²212221212 =−
++
++
++
++
++
+ −−− dba
cx
ba
bcx
ba
acx
ba
bxx
ba
abx
ba
aiiiiii
²²2
²²2
²²²
12,2
2,12
12,12
ba
aba
ba
aba
ba
aa
ii
ii
ii
+=
+=
+=
−
−
−−
²²²²
2²²
2²²
²
12,12
2,2
2,12
2,2
dcaba
bca
ba
aca
ba
ba
nn
ni
ni
ii
−=+
=
+=
+=
++
−
Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Appartenance Appartenance Appartenance Appartenance àààà un cercleun cercleun cercleun cercle
� Saisie des coordonnées (abs,ord) du centre et du rayon r du cercle sur lequel placer le point Xi.� Equation :
� Coefficients :
0²².2²².2² 221212 =−+−++− −− rordxordxabsxabsx iiii
²²²
2
1
2
1
12,12
12,2
2,2
12,12
12,12
rordabsa
orda
a
absa
a
nn
ni
ii
ni
ii
−+=−=
=−=
=
++
+
+−
−−
Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Appartenance Appartenance Appartenance Appartenance àààà une droiteune droiteune droiteune droite
� Saisie des coefficients (a,b,c) de l’équation cartésienne de la droite � Equation :
� Coefficients :
012112 =++− cbxax ii
ca
ba
aa
nn
ni
ni
===
++
+
+−
12,12
12,12
12,112
Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Point milieu dPoint milieu dPoint milieu dPoint milieu d’’’’un segmentun segmentun segmentun segment
� 1ère possibilité� Placer le point Xi au milieu du segment reliant deux autres points Xi1
et Xi2 à placer.
� Equations:
puis
� Coefficients
puis
2121
1
12,122
12,112
12,12
=
=
−=
+−
+−
+−
ni
ni
ni
a
a
a
02 12
122112 =−+−
−−i
ii xxx 0
2 22212 =−+
iii x
xx
2121
1
12,22
12,12
12,2
=
=
−=
+
+
+
ni
ni
ni
a
a
a
Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Point milieu dPoint milieu dPoint milieu dPoint milieu d’’’’un segmentun segmentun segmentun segment
� 2ème possibilité:
� Placer le point Xi au milieu du segment reliant un autre point Xi1 à placer et un nouveau point B(abs,ord) à définir.
� Equations :
puis
� Coefficients :
puis
2
21
1
12,12
12,112
12,12
absa
a
a
nn
ni
ni
−=
−=
=
++
+−
+−
02 12
112 =−+−
−i
i xabsx 0
2 22 =−+
ii x
ordx
2
21
1
12,12
12,12
12,2
orda
a
a
nn
ni
ni
−=
−=
=
++
+
+
Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Saisie des contraintes: Point milieu dPoint milieu dPoint milieu dPoint milieu d’’’’un segmentun segmentun segmentun segment
� 3ème possibilité� Placer son point Xi au milieu de 2 nouveaux points B1(abs1,ord1) et B2(abs2,ord2) à définir.
� Equations
puis
� Coefficients
puis
221
1
12,12
12,12
absabsa
a
nn
ni
+−=
=
++
+−
02
2112 =+
−ixabsabs
02
212 =+
ixordord
221
1
12,12
12,2
ordorda
a
nn
ni
+−=
=
++
+
Calcul du nouvel itéré :Formule
� Une fois que l’utilisateur a fini de saisir ses contraintes, on a rempli nos matrices F et F1.
� On peut calculer le premier itéré:
On a pour cela besoin d’inverser F1.
[ ] 1
0001 )(')( −−= XFXFXX
Calcul du nouvel itéré :Pseudo-inverse
� Permet de pallier aux problèmes de systèmes sous-contraints, ou non libres.
� Décomposition en valeurs singulières
� La matrice unitaire V contient un ensemble de vecteurs de base orthonormés pour M, dits « d'entrée » ou « d'analyse »
� La matrice unitaire U contient un ensemble de vecteurs de base orthonormés pour M, dits « de sortie »
� La matrice diagonale D contient les valeurs singulières de la matrice M.
� La pseudo inverse est alors donnée par :
VUDF t=1
UVDF t11 −+ =
SolutionSolutionSolutionSolution
� Réitération du procédé tant que la condition d’arrêt (norme de F nulle) n’est pas satisfaite : on recalcule F et F1 avec les nouvelles valeurs de X, on inverse F1, on calcule le nouvel itéré.
� En fin de programme, on affiche les coordonnées trouvées pour résoudre le problème de contraintes géométriques posé.
Exemple 1Exemple 1Exemple 1Exemple 1
� A à distance 2 de la droite y=x
� B sur le cercle de centre A et de rayon 3
� distance entre B et C=2
Exemple 2Exemple 2Exemple 2Exemple 2
� A sur le cercle de centre (0,0) de rayon 1
� A sur la droite d'équation y=x+1
� distance entre A et B=2
� B milieu de [C;D]
� C sur la droite d'équation y=x
� D sur la droite d'équation y=-x
� distance entre C et E=3
� distance entre E et P(0,4)=1
Exemple 3Exemple 3Exemple 3Exemple 3
� A sur la droite d'équation x-y-1=0
� B milieu du segment [(0,0),(1,1)]
� C appartient au cercle de rayon 2 et de centre point 2
� D milieu du segment [B;C]
� A a une distance de 1.5 de D