Post on 12-Jul-2015
Квадратни уравненияобобщение
Съдържание:
Квадратно уравнение – определение, класификация
Решаване на квадратно уравнение Теорема на Виет. Приложения Разлагане на квадратния тричлен на
множители Тест – проверка на знанията
Определение за квадратно уравнение:
Уравнение от вида ах2+bx+c=0, където а,b и с са реални числа и а≠0, х - неизвестна величина се нарича квадратно уравнение.
Числата а,b,c се наричат коефициенти на уравнението. Числото а – първи (старши, главен) коефициент, b – втори коефициент, с – свободен член.
Класификация
Квадратни уравнения
непълни
пълниaх2 + bx + c = 0
приведениx2 + px + q = 0
b = 0;ax2 + c = 0
c = 0; ax2 + bx = 0
b = 0; c = 0;ax2 = 0
Непълни квадратни уравнения:
( )
−=
==+=+=≠
a
bx
x
baxx
bxax
cb
0
0
,0
0;02
( )
−=
==+=+
3
4
0
043
,043 2
x
x
xx
xx
2
2
0; 0
0,
0,
0,
b c
axс
сx
ас
ако то няма корениа
с cако то x
а a
= ≠+ =
=−
− <
− > =± −
3
3
0155
4
082
2
2
2
2
±=
==−
−==+
x
x
x
x
x
0
,0
0
;0
2
==
==
x
ax
c
b
0
07 2
==
x
x
- няма корени
Алгоритъм за решаване на квадратно уравнение
а
вх
2
−= а
Dвх
22,1
±−=
ах²+bх+с=0
Определяме коефициентите а,b,c
Aко D<0, то
Изчисляваме дискриминантата D = b2 – 4ac
Ако D=0, то
2 корeна
Ако D>0, то
1 коренУравнението няма реални
корени
а
Dвх
22,1
±−=а
вх
2
−=
Примери за решаване на квадратно уравнение по формула
Пример 1: 3х2 + 11х + 6 = 0 а = 3; b = 11; с = 6;
D = b2 – 4ac D = 112 – 4.3.6 = 49 > 0
→ уравнението има 2 корена
3
2
6
711
;36
7116
711
3.2
4911
2
1
2,1
−=+−=
−=−−=
±−=±−=
х
х
х
Примери за решаване на квадратно уравнение по формула
Пример 2 : 9х² - 6х + 1 = 0 а = 9; в = -11; с = 1
D = (-6)² - 4.9.1 = 36 – 36 = 0
D = 0 → уравнението има 1 корен.
Х=
Пример 3: -2х² + 3х – 5 = 0 а = -2; в = 3; с = -5.
D = 3² - 4.(-2).5 = 9 – 40 = -31 < 0
→ уравнението няма реални корени.
3
1
18
6
9.2
)6( ==−−
Ако x1 и x2 са корени
на x2 + px + q = 0, то
x1+x2=-p, x1x2=q.
Други съотношения между корените и коефициентите на приведеното квадратно уравнение x2 + px + q=0:
Ако x1 и x2 са корени
на ax 2 + bx +c = 0, то
x1+x2= - , x1x2=a
bа
с
( ) qpxxxx
xxxxxxxx
22
222
212
21
212221
21
22
21
−=−+=
=−++=+
Теорема на Виет
Приложение формулите на Виет
, xx
, xx
, x x
–
ac – bD
x – x
24
14
122
10096196
4
02414
21
21
21
2
2
=⋅=+
===
===+
,значи корените имат различни знаци
,значи по-големия по модул корен е отрицателен
Намираме корените :
10
49101432
0103
21
2
−=⋅=⋅⋅=
=+
xx
)(--D
x – x
321 −=+ xx
2;5 21 =−= xx
Разлагане на квадратния тричлен на множители
аx2 + bx + c =
a( x - x1 )( x – x2 )при D > 0
a( x – x1 )2
при D = 0Неразложим
при D < 0
Примери за разлагане на квадратен тричлен
х2 + 5х – 6 = 1.(х – (-6))(х – 1) = (х + 6)(х – 1)При D > 0 и х1 = -6; х2 = 1;
4х2 – 4х + 1 = 4(х - ½)2 = (2х – 1)2
При D = 0 и x1=½
x2 + 2x + 9 → неразложимПри D < 0
Тест – проверка на знанията
Ключ с верните отговори на теста
Вариант 1
1 – Г
2 – Г
3 – Г
4 – Б
5 – В
6 – Г
7 – В
Вариант 2
1 – В
2 – Б
3 – В
4 – Б
5 – Б
6 – Г
7 – Б
Квадратни уравненияобобщение
Изготвил :
Мариянка Балъкова –
учител по математика; В.Търново