Zadaci za vjezbu - FUNKCIJA

(kvadratna, eksponencijalna i logaritamska)

Ana Katalenic

1. Nacrtajte graf kvadratne funkcije f(x) = 2x2 − 4x + 1. Odredite joj nultocke, tjeme, teintervale rasta i pada.

2. Transformacijama parabole y = x2 nacrtajte grafove funkcija:

(a) f(x) = 2x2;

(b) f(x) = −1

2x2;

(c) f(x) = x2 − 1;

(d) f(x) = −x2 + 2;

(e) f(x) = 2x2 − 4;

(f) f(x) = (x− 3)2 + 5;

(g) f(x) =1

2(x + 2)2 − 1;

(h) f(x) = −x2 + 2x + 1.

3. Odredite polinom drugog stupnja f(x) = ax2 + c ako je f(1) = −3, f(−2) = 3. Nacrtajtegraf kvadratne funkcije transformacijama parabole y = x2. Odredite ekstremne vrijednostifunkcije, nultocke, te intervale rasta i pada funkcije.

4. Odredite polinom drugog stupnja f(x) = ax2 + bx + c, nacrtajte njegov graf te odreditenultocke, tjeme i intervale rasta i pada ako je:

(a) f(0) = −1, f(1) =1

2i f(2) = 3,

(b) f(1) = −2, f(2) = −2 i f(4) = 4.

5. Odredite polinom drugog stupnja f(x) = ax2 + bx+ c ako su poznate tri tocke njegovog grafaA(−1, 2), B(−2, 9) i C(−3, 22).

6. Prikazite graficki funkcije f(x) = −2

3x2 + 4x− 6 i g(x) = x2 − 9

2x− 5

2i odredite:

(a) nultocke funkcija,

(b) ekstremne vrijednosti funkcija,

(c) intervale rasta i pada funkcija.

(d) slike funkcija,

1

(e) argumente x ∈ R za koje funkcije poprimaju negativne odnosno nenegativne vrijednosti.

7. Za koje vrijednosti c ∈ R funkcija f(x) =1

2x2 + x + c postize minimum 4? Nacrtajte graf te

funkcije i odredite njene nultocke.

8. U skupu kvadratnih funkcija f(x) = −mx2 + (m−n)x−n, m,n ∈ R, odredite one koje imajumaksimum −3 za x = −1.

9. Za koje vrijednosti parametra m ∈ R funkcija f(x) = 2mx2 − x + 2 ima

(a) realne razlicite nultocke,

(b) jedinstvenu nultocku - kojem skupu brojeva pripada? Odredite nultocku!

10. Za koje vrijednosti m ∈ R funkcija f(x) = mx2 −mx + m− 3 poprima pozitivne vrijednostina cijelom podrucju definicije?

11. Za koje vrijednosti s ∈ R funkcija f(x) = sx2−x−1 poprima negativne vrijednosti na cijelompodrucju definicije?

12. Za dane kvadratne jednadzbe izracunajte diskriminatntu i opisite prirodu rjesenja jednadzbi.Odredite rjesenja danih jednadzbi u skupu realnih brojeva, ako je:

(a) x2 + 6x + 4 = 0,

(b) 9k2 + 11k + 4 = 0,

(c) 4r2 + 4r + 1 = 0,

(d) 9x2 + 5 = 0,

(e) 5t− 4t2 = 2,

(f) 3y2 = 4y.

13. Za koje vrijednosti m ∈ R jednadzba mx2 + 2(m− 1)x + m + 3 = 0 ima realna rjesenja.

14. Za koje vrijednosti p ∈ R jednadzba (p− 2)x2 − 2px + p− 2 = 0 nema realnih rjesenja.

15. Za koje vrijednosti n ∈ R jednadzba (x + n)2 = x + 2n ima jedinstveno rjesenje. Odredite torjesenje.

16. Ne rjesavajuci kvadratnu jednadzbu 3x2 − x− 2 = 0, odredite za njena rjesenja x1, x2

(a) x21 + x22,

(b)1

x1+

1

x2,

(c)x1x2

+x2x1

,

(d) x−21 + x−22 ,

(e) x31 + x32,

(f) x−31 + x−32 ,

2

(g) x41 + x42,

(h) x−41 + x−42 ,

(i) (x1 − x2)2.

17. Odredite broj p ∈ R tako da jedno rjesenje jednadzbe 4x2 − 15x + 4p3 = 0 bude kvadratdrugoga.

18. Jedno rjesenje kvadratne jednadzbe x2 + mx + 6 = 0 je x1 = 2. Koje je drugo rjesenje i kojaje vrijednost parametra m?

19. Za koje vrijednosti k ∈ R je zbroj kvadrata rjesenja jednadzbe (k − 1)x2 − 2kx − k − 4 = 0jednak kvadratu umnoska rjesenja?

20. Opseg pravokutnika iznosi 70 cm, a povrsina mu je 66 cm2. Kolike su duljine stranica togpravokutnika?

21. Zbroj kateta pravokutnog trokuta iznosi 12 cm. Koji pravokutni trokut s tim svojstvima imanajvecu povrsinu?

22. Odredite za koje realne brojeve x vrijedi izraz (x− 3)(x + 3) ≤ (x− 2)2 − (x + 2)2.

23. Odredite sve x ∈ R koji zadovoljavaju nejednadzbe:

(a)4x− x2

x2 − x− 2≤ 0;

(b)3x2 − x + 2

x2 − 2x + 3≥ 2.

24. Rijesite nejednadzbe i sustave nejednadzbi:

(a) 2x2 − 7x− 15 ≥ 0,

(b) −x2 + 6x < 9,

(c)14− 11x + 9x2

5x2 − 4x + 5< 2,

(d)

{x + 3 ≤ 0

x2 − x− 2 < 0

(e)

{2x2 − 3x− 2 > 0

2x2 − 11x + 15 > 0

25. Nacrtajte graf funkcije f(x) = 3|x+1| − 3.

26. Nacrtajte grafove funkcija log2 x i log 12x.

27. Rijesite jednadzbe:

(a) 92x+5 = 27 · 3x−1,(b) 2 · 5x = 5 · (7 + 3 · 5x−2),(c) 271−x + 3 · 9−1.5x = 30,

(d) log2(x + 6)− log2 x = log2 6− 1,

(e) log2(5 + 2x) + log2(2x− 1) = 2 log2(4x− 2)− 2.

3