Post on 26-Jul-2015
Sistem LinierSistem Linier
Kuliah ke-4Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Dwi PranantoProdi. Teknik ElektroUniversitas Panca Marga Probolinggo
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
I. Tanggapan sistem LTI terhadap eksponensial kompleks
✔ Tanggapan sistem LTI terhadap masukan sinyal eksponensial kompleks adalah sinyal eksponensial kompleks yang sama, dengan perubahan amplitudo
Fungsi Eigen
Nilai Eigen Waktukontinu
Waktudiskrit
Sistem LTIWaktu-kontinu
Sistem LTIWaktu-diskrit
Waktukontinu
Waktudiskrit
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Bukti:
Sistem LTIWaktu-kontinu
Sistem LTIWaktu-diskrit
Adalah konstanta kompleks yang mempunyai harga tergantung pada s
Adalah konstanta kompleks yang mempunyai harga tergantung pada z
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Bentuk kombinasi linier
Sistem LTIWaktu-kontinu
Sistem LTIWaktu-diskrit
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
II.Representasi deret Fourier pada sinyal periodik waktukontinu
✔ Kombinasi linier dari sinyal eksponensial kompleks yang dihubungkan secara harmonik
dimana adalah koefisienkoefisien deret Fourier
dan
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
● Penentuan koefisienkoefisien deret Fourier
1.Kalikan kedua sisi representasi deret Fourier dengan
2.Integrasikan kedua sisi dengan interval 0 s/d T
3.Keluarkan jumlahan dan koefisien deret Fourier dari integral
4.Ubah integral eksponensial di sisi kanan dengan hubungan Euler
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
5.Selesaikan integral nomor 4➔ Untuk
➔ Untuk
Pandang integral sebagai luasan di bawah kurva
Sehingga
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
5.Nomor 3 dapat dituliskan kembali sebagai
Sehingga
atau
koefisienkoefisien deret Fourier sepanjang periode T
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Representasi deret Fourier sinyal periodik waktudiskrit
Persamaan sintesis
Persamaan analitis
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Contoh:
Tentukan koefisienkoefisien deret Fouriernya!
Gelombang bujur sangkar periodik
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
● Untuk Solusi
dengan
● Untuk
dengan
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Grafik fungsi koefisien deret Fourier terhadap k
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
III.Sifatsifat deret Fourier waktukontinu
1.linieritas
Pasangan sinyal periodik dan koefisien deret Fourier
Dua sinyal periodik
Jika adalah kombinasi linier dari kedua sinyal,
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
III.Sifatsifat deret Fourier waktukontinu
2.Pergeseran waktu
Jika ,
Ambil
sehingga✔ Nilai koefisien deret Fourier
tidak bergantung pada pergeseran waktu
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
III.Sifatsifat deret Fourier waktukontinu
3.Waktubalikan
Jika , persamaan sintesis
Ambil
Sehingga, jika
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
III.Sifatsifat deret Fourier waktukontinu
4.Penskalaan waktu
Jika periodik dengan periode dan frekuensi , Periodik dengan periode dan frekuensi .
✔ Koefisien deret Fourier tidak berubah, representasi deret Fourier berubah karena perubahan frekuensi dasar
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
III.Sifatsifat deret Fourier waktukontinu
4.Perkalian
Jika
Hasil kali
5.Konjugasi
konsekuensinya
jika
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
IV.Representasi deret Fourier pada sinyal periodik waktudiskrit
k yang bervariasi pada daerah N bilangan bulat
Deret Fourier waktudiskrit
Persamaan sintesis
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
V.Penentuan koefisienkoefisien deret FourierUntuk menentukan koefisienkoefisien deret Fourier, kalikan kedua sisi deret Fourier dengan dan jumlahkan terhadap sukusuku N
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
V.Penentuan koefisienkoefisien deret FourierSehingga jika dituliskan
Koefisienkoefisien deret Fourier dapat dicari dengan
✔ Harga berulang secara periodik dengan periode
Contoh:
Persamaan analitis
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Contoh soal:Gelombang bujur sangkar periodik waktudiskrit
Tentukan koefisienkoefisien deret Fourier sinyal tersebut!
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
solusi
Gunakan rumus jumlahan terbatas untuk menyelesaikan
Ambil , sehingga
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Dan
Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik
Grafik fungsi koefisien deret Fourier terhadap k
Perhatikan keterulangan yang terlihat.
ReferensiReferensi
[1] A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. H. Nawab, Sinyal dan Sistem
jilid 1, (Penerbit Erlangga, Jakarta, 2000)
[2] Plot grafik dibuat dengan bantuan program iPython dan
Inkscape
Referensi pemrograman Python:
(1) Python Scientific Lecture Notes, http://scipylectures.github.io/index.html
(2) The Python Tutorial, https://docs.python.org/2/tutorial/index.html
(3) Matplotlib, http://matplotlib.org/index.html