Post on 04-Feb-2018
KOSET SUATU GRUPdan
TEORI LAGRANGE
FMIPA-UNS
• Definisi 2.7.1
Bila G grup dan H subgrup dari G, untuk setiap dua unsur a, b dalam G, a dikatakan konkruen dengan b modulo H, ditulis a b (mod H), jika ab-1 H
• Lemma 2.7.2
Bila G suatu grup dan H subgrup dari G. Relasi a b (mod H) untuk setiap a,b unsur dalam G merupakan relasi ekivalensi
Pengertian Koset
• Definisi 2.7.3
Bila H subgrup dalam grup G, a suatu unsur sebarang dalam G, maka himpunan
Ha = { ha/ h H }
disebut Koset kanan dari H dalam G
Koset kiri dinyatakan dengan aH = { ah / h H} yaitu unsur h dikalikan dari kiri dengan a
Contoh
• Grup Z , dengan subgrup H = 4 Z.
Unsur 1 Z tapi 1 4 Z, sehingga dapat dibentuk koset kanan 4 Z + 1.
Dalam hal ini digunakan operasi '+' pada kosetnya, karena Z adl grup terhadap +
Koset-koset lainnya dalam Z: 4Z + 2, 4Z + 3, 4Z
Contoh
• Dalam grup Z6,
Jika H = { 0, 3 } subgrup dari Z6 maka koset dari H dalam Z6 adalah
H + 1 = {1, 4}
H + 2 = {2, 5}
Pada grup yang komutatif koset kanan sama dengan koset kiri, sehingga pada grup komutatif dinamakan koset saja.
• Lemma 2. 7.4
Bila G grup dan H subgrup didalamnya. Koset kanan Ha untuk semua a G adalah sama dengan himpunan { x G / a x . ( mod H ) }
Setiap relasi ekivalensi dalam suatu himpunan akan membentuk partisi yang berupa klas-klas ekivalen.
Karena klas-klas ekivalen merupakan partisi berarti saling lepas,
sehingga koset-koset tersebut hanya mempunyai 2 kemungkinan:
harus saling lepas atau berimpit sepenuhnya.
• Lemma 2.7.5
Bila G suatu grup dan H subgrup di dalam G, maka dua koset yang terbentuk Ha, Hb untuk sebarang a,b G adalah berkorespondensi satu-satu.
Teori Lagrange
• Teorema 2.7.6 ( Teori Lagrange )
Apabila G suatu grup berhingga dan H suatu subgrup dari G, maka orde dari H membagi habis orde dari G atau H/ G
Kebalikan dari teori Lagrange ini tidak berlaku, artinya bila bilangan m membagi habis orde dari grup G, tidak selalu ada subgrup H dari G yang berorde m.
Indeks dari H dalam G
• Definisi 2.7.7
Bila G suatu grup dan H subgrup dari G. Banyaknya koset kanan dari H yang berbeda dalam grup G disebut indeks dari H dalam G dan dinotasikan dengan iG(H).
• Contoh:Dalam Grup Z6, dengan subgrup H = { 0, 3 } berarti H = 2 sedang Z6 = 6, maka iG (H) = 6 / 2 = 3 dan Koset-kosetnya adalah: H, H+1 dan H+2
• Lemma 2.7.8
Misalkan G suatu grup dan a G dengan orde m, maka himpunan
H = { e, a1, a2, . . . ,am-1 }
merupakan subgrup dari G dan H = m = (a)
• Akibat 1
Apabila G grup berhingga dan a G, maka (a) / G
• Akibat 2
Apabila G suatu grup berhingga, maka aG = e
• Definisi 2.7.9
Misalkan (1) = 1, dan untuk sebarang bilangan bulat n > 1, dan (n) menyatakan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari n dan relatif prim dengan n, maka fungsi (n) dengan n Z disebut fungsi phi Euler
• Akibat 3 (Euler)
Bila n bilangan bulat positif dan a bilangan yang relatif prim dengan n, maka a (n) 1 mod n
• Akibat 4(Fermat)
Apabila p bilangan prima dan a sebarang bilangan bulat maka a p a (mod p)
• Lemma 2.7.10
Bila G suatu grup, H dan K masing-masing subgrup dari G maka HK akan merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH
• Akibat 5
Apabila G suatu grup abel dengan H dan K subgrup dari G, maka HK juga merupakan subgrup dari G
• Teorema 2.7.11
Bila G grup berhingga, H dan K dua subgrup dari G dengan orde masing-masing H dan K maka banyaknya unsur berbeda dari HK dinyatakan dengan
H.K(HK) =
H K
Latihan soal
1. Bila ab untuk a,b bilangan real adalah pemetaan dari himpunan bilangan real R kedirinya sendiri dengan sifat
ab: x ax + b. Selanjutnya G = { ab / a bukan nol } dan H = { ab G / a rasional}, makaa. Buktikan H subgrup dari Gb. Tulislah semua koset kanan dan koset kiri
dari H dalam G. Apakah koset kanan = koset kiri ?
Latihan soal
2. Bila G grup seperti soal 1, dan N = { 1b G} Buktikan:
a. N merupakan subgrup dari G
b. Bila a G dan n N, maka ana-1 N
3. Bila G grup dan H subgrup, selanjutnya bila setiap koset kanan H dalam G juga merupakan koset kiri dari H dalam G, maka buktikan aHa-1 = H, untuk setiap a G