Post on 31-Jan-2018
KOMBINATORIKA
PERMUTACIJE, VARIJACIJE, KOMBINACIJE;
Broj permutacija n-clanog skupa
Pn = n!
Broj permutacija iz skupa koji ima k klasa elemenata i ton1 elemenata 1. klase,n2 elemenata 2. klase,....nk elemenata k-te klasei vrijedi (n1 + n2 + ... + nk = n) je
Pn(n1, n2, ..., nk) =n!
n1!n2! · · ·nk!
1
Broj varijacija k-tog razreda od n elemenata
V kn = n ∗ (n− 1) · ...(n− k + 1) =
n!(n− k)!
Broj varijacija s ponavljanjem k-tog razreda od nelemenata
Vk
n = nk
2
Broj kombinacija k-tog razreda od n elemenata
Ckn =
V kn
k!=
n!(n− k)! · k!
=(
n
k
)
Broj kombinacija s ponavljanjem k-tog razreda odn elemenata
Ck
n =(
n + k − 1k
)
3
1. Zadan je skup S = {a, e, i, o, u}, broj elemenatau skupu S je |S| = n = 5
Napisite sve
(a) permutacije
(b) varijacije bez ponavljanja k=2 reda
(c) varijacije s ponavljanjem k=2 reda
(d) kombinacije bez ponavljanja k=2 reda
(e) kombinacije s ponavljanjem 2 reda.
4
Rjesenje:
(a) P5 = 5!
(b) V 25 = 5 ∗ 4 = 5!
(5−2)! = 20
(c) V2
5 = 52 = 25
(d) C25 =
(52
)= 5!
(5−2)!·2! = 10
(e) C2
5 =(5+2−1
2
)=
(62
)= 15
5
2. Koliko plesnih parova mozemo formirati od 8djevojaka s 8 djecaka?
3. Na koliko nacina mozete 8 poslova raspodijelitina 8 radnika tako da svaki radnik radi po 1 posao?
Rjesenje:
P8 = 8! = 40320
6
4. U kutiji su 2 bijele, 3 zelene i 4 crvene kuglice.Izvlacimo jednu po jednu kuglicu i stavljamo je uniz.
Koliko ima razlicitih uzoraka od 2 bijele, 3 zelenei 4 crvene kuglice poredane u niz.
Rjesenje:
Bbroj nizova je Pn(n1, n2, n3) = 1260
7
IZBOR BEZ VRACANJA
IZBOR:
r-cl. uzoraka iz n-cl. skupa razlicitih elemenata
nije vazan poredak C(r)n
vazan poredak V(r)n
8
IZBOR BEZ VRACANJA
1.( poredak nije bitan)
U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko imaizbora 3 kuglice bez vracanja ako poredakizabranih kuglica nije bitan?
Rjesenje:
n = 5, r = 3
C(r)n = C
(3)5 =
(53
)== 10.
9
IZBOR BEZ VRACANJA
2. (poredak bitan)
U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko imaizbora 3 kuglice bez vracanja ako je poredakizabranih kuglica bitan (stavljamo ih u niz)?
Rjesenje:
n=5, r=3
V(r)n = V
(3)5 = 5!
(5−3)! = 5·4·3·2·11·2 = 60.
10
IZBOR S VRACANJEM
IZBOR:
r-cl. uzorka iz n-cl. skupa razlicitih elemenata
nije vazan poredak C(r)
n
vazan poredak V(r)
n
11
IZBOR S VRACANJEM 1. (poredak nijebitan)
U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko imaizbora 3 kuglice s vracanjem ako poredakizabranih kuglica nije bitan?
Rjesenje:
n=5, r=3
C(r)
n = C(3)
5 =(5+3−1
3
)=
(73
)= 7·6·5
1·2·3 = 35.
12
IZBOR S VRACANJEM
2.(poredak bitan)
U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko imaizbora 3 kuglice s vracanjem ako je poredakizabranih kuglica bitan (stavljamo ih u niz)?
Rjesenje:
n=5, r=3
V(r)
n = V(3)
5 = 53 = 125.
13
RAZDIOBE (u svaku kutiju najvise 1predmet)
RAZDIOBE:
r predmeta u n razlicitih kutija
jednakih predmeta C(r)n
razlicitih predmeta V(r)n
14
RAZDIOBE (u svaku kutiju najvise 1predmet) 1. (jednaki predmeti)
U kutiji su 3 loptica iste boje. Na koliko nacinamozemo razdijeliti loptice u 5 razlicitih kutija akoje dozvoljeno da u svaku kutiju stavimo najvise 1predmet?
Rjesenje:
n = 5, r = 3,
C(r)n = C
(3)5 =
(53
)== 10.
15
2. Na koliko se nacina, izmedu 10 djece, mozepodijeliti sest jednakih poklona ako svako dijetetreba dobiti najvise jedan poklon.
Rjesenje:
Ako imena djece napisemo na ceduljice i svakompoklonu pridruzimo jednu ceduljicu svakaraspodjela poklona je kombinacija r=6 tog razredaod n=10 elemenata (jer su pokloni jednaki).
n = 10, r = 6
C(r)n = C
(6)10 = 210.
16
RAZDIOBE (u svaku kutiju najvise 1predmet)
1. (razliciti predmeti)
U kutiji su 3 loptica ralicite boje. Na kolikonacina mozemo razdijeliti loptice u 5 razlicitihkutija ako je dozvoljeno da u svaku kutijustavimo najvise 1 predmet?
Rjesenje:
n = 5, r = 3,
V(r)n = V
(3)5 = 5!
(5−3)! = 5·4·3·2·11·2 = 60.
17
2. Na koliko se nacina, izmedu 10 djece, mozepodijeliti sest razlicitih poklona ako svako dijetetreba dobiti najvise jedan poklon.
Rjesenje:
Ako imena djece napisemo na ceduljice i svakompoklonu pridruzimo jednu ceduljicu svakaraspodjela poklona je varijacija r=6 tog razredaod n=10 elemenata (jer su pokloni razliciti).
n = 10, r = 6
V(r)n = V
(6)10 = 151200.
18
RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljnopredmeta)
RAZDIOBE:
r predmeta u n razlicitih kutija
jednakih predmeta C(r)
n
razlicitih predmeta V(r)
n
19
RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljnopredmeta) 1. (jednaki predmeti)
U kutiji su 3 loptica iste boje. Na koliko nacinamozemo razdijeliti loptice u 5 razlicitih kutija akoje dozvoljeno da u svaku kutiju stavimoproizvoljan broj predmeta?
Rjesenje:
n = 5, r = 3,
C(r)
n = C(3)
5 =(5+3−1
3
)=
(73
)= 7·6·5
1·2·3 = 35.
20
2. Na skladistu su vrece s dvije razlicite vrstecementa. Na koliko se nacina moze naruciti 5vreca cementa?
Rjesenje:
Narudzba 5 vreca cementa od dvije vrste jerazdioba jednakih predmeta s r=5 i n=2. Brojnarudbi je
C(r)
n = C(5)
2 =(5+2−1
5
)=
(65
)= 6.
21
RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljnopredmeta) 1. (razliciti predmeti)
U kutiji su 3 loptica ralicite boje. Na kolikonacina mozemo razdijeliti loptice u 5 razlicitihkutija ako je dozvoljeno da u svaku kutijustavimo proizvoljan broj predmeta?
Rjesenje: n = 5, r = 3,
V(r)
n = V(3)
5 = 53 = 125.
22
2. Na skladistu su vrece s dvije razlicite vrstecementa. Dolazi 5 kupaca i narucuje vrececementa.Na koliko nacina 5 osoba moze naruiti po jednuvrecu cementa ?
Rjesenje:
Narudzba za 5 osoba po jednu vrecu cementa jerazdioba razlicitih predmeta r=5 i u n=2 kutije.
V(r)
n = V(5)
2 = 25 = 32.
23
UZORAK
UZORCI:
velicine r = r1 + r2 + .. + rk iz n = n1 + n2 + .. + nk-cl. skupa
bez vracanja C(r1)n1 · C(r2)
n2 · ·C(rk)nk
s vracanjem P r(r1, r2, ..., rk) · (n1)r1(n2)r2 · ... · (nk)rk
s vracanjem n À r P r(r1, r2, ..., rk)
24
UZORAK S VRACANJEM
1. Bacamo novcic 6 puta. Na koliko razlicitihnacina moze pasti na 4 puta pismo i 2 puta glava?
Rjesenje:
To je eksperiment koji ponavljamo 6 puta n = 6.
Rezultat eksperimenta moze biti pismo ili glava.U uzorku n1 = 4 i n2 = 2. Broj razlicitih nizovaeksperimenata je broj uzoraka s vracanjemP 6(4, 2) = 6!/(4! · 2!) = 15.
25
UZORAK BEZ VRACANJA
1. Ako zelimo ispitati kvalitetu 10 proizvoda odkojih je 4 prve klase i 3 druge klase i 3 trece klase.Uzimamo uzorak od tri proizvoda. Koliko uzorakaima u kojima a) su 3 proizvoda 1. klase
b) su 2 proizvoda 1. klase
c) ima barem dva proizvoda 1. klase?
26
Rjesenje:
a) Osnovni skup ima n=10, n1 = 4, n2 = 3 n3 = 3Uzorak ima r = 3 proizvoda, od kojihr1 = 3, r2 = 0 r3 = 0 Broj uzoraka koji imaju 3proizvoda 1. klase
C34 · C0
3 · C03 = 4
b) r1 = 2, r2 = 1 r3 = 0 ilir1 = 2, r2 = 0 r3 = 1 Broj uzoraka koji imaju j2proizvoda 1. klase
C24 · C1
3 · C03 + C2
4 · C03 · C1
3 .
18 + 18 = 36
c) Broj uzoraka koji imaju barem dva proizvoda1. klase :
a)+b)=4+36=40.
27