Post on 20-Oct-2020
KINEMATYKA
Niektóre powody dla których dział ten, mimo że na ogół jest nielubiany, może
być fascynujący
• wyrabia abstrakcyjne myślenie i wyobraźnie,• zawiera wiele prostych a jednocześnie efektownych doświadczeń,• ma bardzo mocne odniesienie; zarówno do życia codziennego jak i w innych
działach fizyki, czy techniki,
• opisuje najbliższą człowiekowi rzeczywistość,
Kinematyka – zajmuje się opisem ruchu bez pytania o jego przyczyny.
Na początku jednak kilka ogólnych pojęć, zaczniemy oczywiście od definicji
pojęcia ruchu; jest ona bardzo prosta:
Ruch – to dokonująca się w czasie zmiana położenia danego ciała względem
innego, zwanego układem odniesienia
Układ odniesienia – to ciało, lub układ ciało względem którego opisujemy ruch
lub spoczynek
Ponadto obowiązuje zasada względności ruchu w myśl której: ciało będące w
ruchu względem jednego układu odniesienia może być w spoczynku względem
innego układu odniesienia, zaś same układy odniesienia można sklasyfikować
następująco:
Układy odniesienia:
• ze względu na ruch układu odniesienia wyróżniamy:– układy inercjalne – będące w spoczynku (względem układu inercjalnego)
lub poruszające się ruchem jednostajnym, prostoliniowym,
– układy nieinercjalne – poruszające się (względem układu inercjalnego)
ruchem zmiennym
• ze względu na wartość prędkości układu odniesienia wyróżniamy:– układy nierelatywistyczne – poruszające się z prędkością dużo mniejszą
niż prędkość światła (v
• ze względu na geometrie układu odniesienia wyróżniamy:– układy kartezjańskie – w których współrzędne ustalamy względem pro-
stopadłych do siebie osi i dzielą się one na:
∗ jednowymiarowe – posiadające jedną oś liczbową,∗ dwuwymiarowe – posiadające prostopadłe do siebie dwie osie liczbowe,∗ trójwymiarowe – posiadające prostopadłe do siebie trzy osie liczbowe,
– układy niekartezjańskie – np. biegunowy, sferyczny, walcowy których
używa się gdy zagadnienie ma odpowiednią symetrię, co mocno upraszcza
rozważania
Dokonamy w tym miejscu klasyfikacji rodzajów ruchu:
• ruch postępowy – każdy z punktów poruszającego się ciała ma tą samąprędkość liniową, i dzieli się on na:
– ruch po lini prostej (prostoliniowy)
∗ ruch jednostajny, prostoliniowy∗ ruch niejednostajny (zmienny), prostoliniowy
· ruch jednostajnie zmienny, prostoliniowy (czyli jednostajnie przyspie-szony i jednostajnie opóźniony),
· ruch niejednostajnie zmienny, prostoliniowy– ruch po krzywej (krzywoliniowy), który zawsze jest ruchem zmiennym,
∗ ze stałą WARTOŚCIĄ prędkości· po krzywych otwartych· po krzywych zamkniętych (okrąg, elipsa itp.) tu znajduje się ruch
jednostajny po okręgu, który będziemy omawiać
∗ ze zmienną WARTOŚCIĄ prędkości· po krzywych otwartych· po krzywych zamkniętych (okrąg, elipsa itp.)
• ruch obrotowy – każdy z punktów poruszającego się ciała (oprócz punktówleżących na osi obrotu, o ile przechodzi ona przez rozważane ciało) ma
tą samą prędkość kątową. Dotyczy on przede wszystkim bryły sztywnej i
zostanie sklasyfikowany gdy będą omawiane zagadnienia związane z bryłą
sztywną.2
Jedną z najważniejszych do zrozumienia rzeczą przy omawianiu np. mechaniki
jest pojęcie idealizacji. Polega ono na tym, że odrzucamy nieistotne na danym
poziomie rozważań rzeczy, co przyczynia się niejednokrotnie do radykalnego
uproszecznia opisu danego zjawiska.
W przypadku mechaniki owa idealizacja polega np. na tym, że możemy przyjąć,
że ciało jest punktem, co okazuje się bardzo przydatne np. gdy nie interesują nas
obroty rozważanego ciała. Mamy wówczas tzw. mechanikę punktu materialnego
i tym będziemy się zajmować dokładnie w dziale MECHANIKA.
Kinematyka punktu materialnego.
Jak już powiedziano wcześniej kinematyka zajmuje się opisem ruchu bez pytania
o jego przyczyny, w ramach kinematyki omówimy następujące zagadnienia:
1. Podstawowe pojęcia,
2. Prędkość i przyspieszenie,
3. Ruch jednostajny prostoliniowy,
4. Ruch jednostajnie przyspieszony i jednostajnie opóźniony, prostoliniowy,
5. Rzuty pionowe,
6. Ruchy krzywoliniowe, ruch jednostajny po okręgu,
7. Ruchy złożone:
(a) Rzuty poziomy,
(b) Rzut ukośny,
Ad. 1
Rozważmy ciało poruszające się, dla uproszczenia rozważań na płaszczyźnie.
Wybierając kartezjański (prostokotny, „zwykły”) układ współrzędnych do jego
opisu (problem odpowiedniego wyboru układu odniesienia jest jednym z klu-
czowych zagadnień mechaniki, wiele problemów zostało w efektywny sposób
rozwiązanych dzięki wprowadzeniu odpowiedniego układu odniesienia) możemy
określić podstawowe pojęcia związane z ruchem, co przedstawiono na poniższym
rysunku:3
r∆
rA
rB
A
B
y
x
s
P
K
Ruch rozważanego ciała od-
bywa się po pwenej krzywej
płaskiej o początku w punk-
cie P i końcu w punkcie K.
Umieszczając całe zagadnie-
nie w prostokątnym, dwuwy-
miarowym ukłądzie odniesie-
nia wyróżniamy:
• Tor (|PK|) – krzywa po której porusza się rozważane ciało (cała),• Ślad (|PA|) – część toru którą ciało „ już przebyło”,• Droga (s = |AB|) – długość odcinka toru na którym badamy ruch,• Położenie początkowe – wektor ~rA,• Położenie końcowe – wektor ~rB,• Przemieszczenie – wektor ~∆r = ~rA − ~rB,• Długość przemieszczenia – długość wektora ~∆r, czyli liczba | ~∆r|
Ad. 2 Prędkość i przyspieszenie
Określenie prędkości jest dość trudne i to z dwóch powodów, po pierwsze
istnieją aż trzy w ogólności różne rodzaje prędkości (a na dodatek są one różnie
interpretowane w różnych częściach Polski), po drugie zaś najważniejsza z nich
– prędkość chwilowa, jest definiowana w oparciu o rachunek różniczkowy.
Prędkość średnia (wektor) – jest to stosunek przemieszczenia, do czasu w którym
owo przemieszczenie nastąpiło:
~< v > =~∆r
∆t
Wektor prędkości średniej ma ten sam kierunek i zwrot co wektor przemieszczenia,
przeto nie będziemy go przedstawiali na rysunku,
Wyznaczając długość wektora ~< v > otrzymamy wartość prędkości średniej
(liczba < v >= | ~< v >|), jest to jednocześnie stosunek długości wektora4
przemieszczenia do czasu w którym przemieszczenie nastąpiło:
< v >=| ~∆r|∆t
I tu pojawia się pierwsza trudność ponieważ wartość prędkości średniej mylona
jest z szybkością określoną następująco:
Szybkość (liczba) – jest to stosunek drogi (pamiętamy, że jest to liczba) do czasu
w którym owa droga została przebyta:
vsz =s
t
W przypadku, gdy tor ruchu jest linią prostą, długość przemieszczenia jest
tym samym co droga a zatem dla ruchów prostoliniowych szybkość jest równa
wartości prędkości średniej:
< v >=| ~∆r|∆t
=s
t= vsz
I najtrudniejszy do zrozumienia rodzaj prędkości:
Prędkość chwilowa (wektor) – prędkość średnia na coraz to któtszym odcinku
przemieszczenia, czyli gdy czas potrzebny na przebycie odcinka drogi zmierza do
zera:
~v = lim∆t→0
( ~∆r
∆t
)
Powyższa definicja pozornie wydaje się zła, ponieważ jeśli będący w mianowniku
czas (∆t) dąży do zera to mamy sprzeczność. Warto jednak zauważyć że skoro
czas przebycia danej drogi dąży do zera to i wartość przemieszczenia dąży do
zera a wówczas okaże się, że „zero podzielone przez zero” może dać konkretną
liczbę. Trochę to pokręcone ale gdy gdy w tym momencie myślisz sobie „nie
jest to takie głupie” to nie powinieneś mieć kłopotów ze zrozumieniem rachunku
różniczkowego.
O tym, że prędkość chwilowa to konkretna wielkość fizyczna można przekonać
się także patrząc na poniższy rysunek:5
1r(t )
r(t )3
r(t )2
v 1
v 0
v 2
v 3t t0
x
y
r(t )0
P
Aby wyznaczyć prędkość chwilową w punkcie P bierzemy najpierw dowolną
chwilę czasu t1 > t0 i obliczamy prędkość średnią (v1) w czasie t1− t0. Biorącnastępnie chwile czasu (t2, t3 ...) coraz to bliższe t0 i obliczając kolejne średnie
prędkości (v2, v3 ...) otrzymamy coraz to lepsze przybliżenie prędkości chiwlowej
w punkcie (v0).
Z powyższego rysunku widać ponadto, że prędkość chwilowa jest styczna do
toru co jest bardzo ważną własnością prędkości chwilowej.
Ponadto prędkość chwilowa jest tak ważną wielkością fizyczną, że pomijamy na
ogół przymiotnik „chwilowa”.
Wartość prędkości chwilowej (liczba) – jest to oczywiście długość prędkości
chwilowej.
Jednostką prędkości w układzie SI jest „metr na sekundę”:
[v] =m
s
W życiu codziennym częściej używa się jednostki: „kilometr na godzinę”, pomiędzy
obiema jednostkami zachodzi związek:
1km
h= 1
1000m
3600s=
5
18
m
s⇒ 1m
s=
18
5
km
h6
W przypadku, gdy chcemy wyznaczyć prędkość jednego ciała względem drugiego
stosujemy pojęcie prędkości względnej:
Prędkość względna ~v1 względem prędkości ~v2 jest określona następująco:
~vw = ~v2 − ~v1
W przypadku gdy ruch nie jest jednostajny, przyczym owa niejednostajność
może wynikać nie tylko ze zmian wartości prędkości ale również ze zmiany jej
kierunku (a będzie to miało miejsce np. gdy ruch odbywa się po jakiejś krzywej),
wprowadza się pojęcie przyspieszenia jest ono definiowane następująco.
Przyspieszenie średnie (wektor) – stosunek zmiany prędkości do czasu w którym
ta zmiana nastąpiła.
~a =∆~v
∆t[a] =
m
s2
Przyspieszenie chwilowe (wektor) – wartość graniczna przyspieszenia śreniego na
nieskończenie którkim odcinku czasu.
~a = lim∆t→0
(
∆~v
∆t
)
Dla ciała poruszajcego się po krzywej wyróżnia się przyspieszenie styczne do
toru (~as) i normalne ( ~an, prostopadłe do toru). Suma obu tych wektorów daje
przyspieszenie wypadkowe co pokazano na rysunku:
an
as
a
Jednostką przyspieszenia w ukłądze SI jest „metr na sekundę do kwadratu”
[a] =ms
s=
m
s27
Potocznie używa się jeszcze jednostki „g” czyli określa się dane przyspieszenie
jako wielokrotność przyspieszenia ziemskiego (g = ms2
).
Ad. 3 Ruch jednostajny, prostoliniowy
Najprostszy z omawianych przez nas rodzajów ruchu jest określony następująco:
Ruch jednostajny, prostoliniowy – ruch w którym tor jest linią prostą i wartość
prędkości w każdej chwili pozostaje stała (oszczędniej można napisać: że jest to
ruch w krórym prędkość pozostaje stała, jako wektor)
~v = const
Z uwagi na stałość wartości prędkości i prostoliniowość toru, okazuje się że:
• szybkość jest równa wartości prędkości,• prędkość chwilowa jest równa prędkości średniej,
Ponadto wybierając układ odniesienia w ten sposób, że będzie to oś liczbowa, to
okaże się że zamiast wektorów położenia wystarczą współrzędne na osi liczbowej.
Rozważmy następujący przypadek, ciało poruszając się ruchem jednostajnym,
prostoliniowym, w chwili początkowej jest w położeniu x0 natomiast w chwili
końcowej – w położeniu xk, i zbliża się do początku układu odniesienia:
xk
x0
vv
x
0
s
Spróbujemy napisać równania ruchu. Przedstawiają one zależność położenia,
prędkości i przyspieszenia od czasu i mając dane takie równania jesteśmy w
stanie przewidywać co będzie działo się z badanym ciałem, dlatego też jeśli uda
nam się napisać równania ruchu poprawnie, to jesteśmy o krok od rozwiązania.
W naszym przypadku są one bardzo proste:
x(t) = x0 − vt v(t) = v = const a(t) = 08
zaś wykresy zależności x = x(t), v = v(t) są następujące:
x0
tk
t0
x
t
t0 tk
Droga przebyta w czasie
od chwili poczatkowej do
koncowej jest rowna
temu polu powierzchni
(liczbowo)
v
t
v
Podstawiając do równania ruchu położenia; początkowe i końcowe mamy:
x(0) = x0 x(tk) = xk = x0 − vtk
Długość odcinka toru to droga; w naszym przypadku wynosi ona:
s = x(0) − x(tk) = x0 − (x0 − vtk) ⇒ s = vt
Z równań ruchu można wyznaczyć czas (tk) po którym ciało powróci do
położenia (x(t) = 0)
0 = x0 − vtk ⇒ tk =x0
v
Teraz, natomiast, rozważmy sytuację, gdy ciało będąc na początku w położeniu
x0 oddala się od początku układu odniesienia:
x0
xk
x
0
s
v v
Tym razem równania ruchu są następujące:
x(t) = x0 + vt v(t) = v = const a(t) = 0
a wykresy zależności x = x(t), v = v(t) są następujące:9
tk
t0
x0
x
t tkt0
Droga przebyta w czasie
od chwili poczatkowej do
koncowej jest rowna
temu polu powierzchni
(liczbowo)
v
t
v
Podstawiając do równania ruchu położenia; początkowe i końcowe mamy:
x(0) = x0 x(tk) = xk = x0 + vtk
Długość odcinka toru to droga; teraz wynosi ona jednak:
s = x(tk) − x(0) = x0 + vtk − x0 ⇒ s = vt
Proszę zwrócić uwagę, że niezależnie od wyboru układu odniesienia mamy
zawsze:
s = vt
Ad. 4 Ruch jednostajnie przyspieszony i jednostajnie opóźniony (czyli jedno-
stajnie zmienny), prostoliniowy
Ruch jednostajnie zmienny, prostoliniowy to taki ruch w którym tor jest linią pro-
stą, zaś prędkość zmienia się w sposób jednostajny czyli przyspieszeniepozostaje
stałe (a = const)
W zależności czy następuje przyrost czy spadek prękości wyróżniamy:
• ruch jednostajnie przyspieszony,• ruch jednostajnie opóźniony,
Z uwagi na prostoliniowość toru szybkość jest równa wartości prędkości a ponadto
można, podobnie jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego, wprowadzić oś
liczbową jako układ odniesienia, co pozwoli na uproszczenie analizy wektorowej.
W ruchu jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie jest skierowane zawsze
zgodnie z prędkością dzięki czemu jej wartość ulega zwiększeniu10
aa
v 0 v
x
Równania ruchu są tu następujące (zakładamy, że w chwili początkowej ciało
znajdowało się w początku układu odniesienia)
a(t) = a = const, v(t) = v0 + at, x(t) = v0t +at2
2
Zaś odpowiednie wykresy zależności a = a(t), v = v(t), x = x(t) mają
postać:
t 1 t 2
spadek predkosci wczasie od t1 do t2
a v x
ttt
W ruchu jednostajnie opóźnionym przyspieszenie jest skierowane zawsze prze-
ciwnie do prędkości dzięki czemu jej wartość ulega zmniejszeniu,
a a
v 0 v
x
Równania ruchu są tu następujące:
a(t) = a = const, v(t) = v0 − at, x(t) = v0t −at2
2
Zaś odpowiednie wykresy zależności a = a(t), v = v(t), x = x(t) mają
postać:11
drogahamowania
ht
t 1 t 2
spadek predkosci wczasie od t1 do t2
a v x
tt
t
Ad. 5 Rzuty pionowe.
Rzutem pionowym nazywamy taki rodzaj ruchu w którym ciało porusza się
ruchem prostoliniowym, prostopadle do powierzchni Ziemi. Ponadto zakładamy,
że ruch odbywa się bez żadnych oporów; jedyną działającą na ciało siłą jest siła
ciężkości o której z koleji zakładamy, że jest stała.
Wyróżniamy następujące rodzaje rzutów pionowych:
• spadek swobodny,• rzut pionowy w górę,• rzut pionowy w dół,
Spadek swobodny
W położeniu początkowym ciało znajduje się na wysokości h i zostaje „puszczone”
swobodnie, czyli baz nadawania mu prędkości początkowej. Pod wpływem siły
ciężkości zaczyna ono poruszać się ze stałym przyspieszeniem równym przyspie-
szeniu ziemskiemu (g). Analizując powyższy ruch wybierzemy układ odniesienia
– oś liczbową o początku w położeniu początkowym ciała i skierowaną w dół,
całą sytuację przedstawiono na rysunku:
vk
vo = 0
v
g
tk
x
x
hx=0
tt=0 (1) (2) (3)
12
Rysunek (1) przedstawia położenie początkowe (czyli takie w czasie t = 0) i
wówczas zarówno położenie jak i prędkość wynosi zero.
Rysunek (2) pokazuje położenie w dowolnym momencie trwania ruchu (e czasie
t) i wtedy ciało posiada jakąś prędkość v i jest w pewnej odległości x od
początku układu odniesienia.
Na rysunku (3), natomiast, przedstawiono położenie w chwili końcowej ruchu
(tk), czyli tuż przed uderzeniem o Ziemie; ciało jest w odległości h od początku
układu odniesienia i posiada maksymalną prędkość vk.
Założenia wstępne i wybór układu odniesienia powodują, że w powyższym
przypadku ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym; ruch zaczyna
się od położenia zerowego i ciało nie posiada prędkości początkowej, a zatem
równania ruchu będą bardzo proste:
x(t) =gt2
2v(t) = vt a(t) = g = const
Mając dane np. wysokość h z której rozpoczyna się spadek możemy obliczyć
prędkość końcową i czas trwania ruchu.
W czasie t = tk ciało przebywa drogę równą wysokości h a zatem:
x(tk) = h =gt2k
2⇒ tk =
√
2h
g
Skoro znamy już czas trwania ruchu to możemy obliczyć prędkość końcową:
vk = v(tk) = g
√
2h
g=
√
2gh
Rzut pionowy w górę
W położeniu początkowym ciało znajduje się na powierchni Ziemi i zostaje
„rzucone” pionowo do góry z pewną prędkością. W tym przypadku przyspieszenie
ziemskie skierowane jest przeciwnie do tej prędkości więc rozważane ciało będzie
poruszało się ruchem jednostajnie opóźnionym prostoliniowym, aż do momentu13
gdy „zawiśnie” na chwilę i w tym momencie skończymy analizę ponieważ dalej
ciało poruszałoby tak jak w przypadku spadku swobodnego, który analizowaliśmy.
tk
gvk = 0
vvo
(1) (2)x=0
t=0 t
h
(3)
x
x
Podobnie jak w przypadku spadku swobodnego rysunek (1) przedstawia sytuację
początkową, rysunek (2), sytuację w dowolnej chwili czasu t, natomiast na
rysunku (3) przedstawiono końcowy moment ruchu.
Zwrot osi liczbowej, będącej układem odniesienia, skierowany jest przeciwnie niż
w przypadku spadku swobodnego, co ułatwi to rozważania, a kto nie wierzy
niech preanalizuje rzut pionowy w górę gdy oś układu odniesienia zwrócona jest
przeciwnie.
Równania ruchu w tym przypadku mają postać:
x(t) = v0t −gt2
2v(t) = v0 − gt a(t) = −g = const
Występujący w powyższych równaniach znak − jest konsekwencją faktu, żeprzyspieszenie ziemskie (g) jest skierowane przeciwnie niż zwrot osi układu
odniesienia.
Mając daną prędkość początkową (v0) można z powyższych równań obliczyć
maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało i czas wznoszenia.
Czas wznoszenia to czas do momentu gdy ciało zatrzyma się a więc
v(tk) = 0 = v0 − gtk ⇒ tk =v0
g
W czasie tym ciało osiągnie wysokość maksymalną równą:
x(tk) = h = v0tk −gt2k
2= v0(
v0
g) −
g(v0g)2
2=
v20
g− 1
2
v20
g=
v20
2g14
Rzut pionowy w dół
W położeniu początkowym ciało znajduje się na wysokości h i zostaje mu
nadana prędkość v0, skierowana pionowo w dół. Zatem w tym przypadku mamy
do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową.
vk
g
v
tk
vo
x
x
h
(1) (2) (3)
tt=0
x=0
Poszczególne etapu rutu pionowego w dół przedstawiono na rysunkach (1)-(3).
Równanie ruchu w tym przypadku ma postać:
x(t) = v0t +gt2
2v(t) = v0 + gt a(t) = g = const
Mając dane warunki początkowe (prędkość v0 i wysokość h) możemy obliczyć
prędkość końcową (vk) i czas trwania ruchu (tk).
W czasie trwania ruchu tk ciało usyskało prędkość vk, zatem:
v(tk) = vk ⇒ vk = v0 + gtk ⇒ tk =vk − v0
g
W tym czasie ciało przebywa drogę równą wysokości z której go rzucamy, więc:
x(tk) = h ⇒ h = v0tk +gt2k
2= v0
vk − v0g
+g(
vk−v0g
)2
2=
v0vk − v20g
+1
2
v2k − 2vkv0 + v20g
=v2k − v20
2gMożemy zatem wyznaczyć prędkość końcową:
2gh = v2k − v20 ⇒ v
2k = v
20 + 2gh ⇒ vk =
√
v20 + 2gh15
Porównując tą wartość z prędkością końcową w spadku swobodnym (vk =√2gh) widzimy że w rzucie pionowym w dół prędkość końcowa jest większa,
czego należało się spodziewać
Ad. 5 Ruchy krzywoliniowe, ruch jednostajny po okręgu
W przypadku, gdy tor ruchu nie jest linią prostą, sytuacja się komplikuje.
Niezależnie bowiem od rodzaju ruchu krzywoliniowego prędkość chwilowa jest
styczna do toru i gdy tor jest krzywoliniowy będzie zmieniać swój kierunek
i choćby miała stałą wartość to zawsze ruch krzywoliniowy będzie ruchem
zmiennym.
Ponadto ze względu na krzywoliniowość toru droga będzie inna niż przemiesz-
czenie i należy rozróżniać pojęcia szybkości i wartości prędkości.
Jeśli chodzi o opis jakościowy ruchu krzywoliniowego to układem odniesienia
bądzie układ współrzędnych; dwuwymiarowy lub trójwymiarowy.
Gdy zachowany jest moment pędu to ruch krzywoliniowy odbywa się w jednej
płaszczyźnie (o takim ruchu mówimy: ruch płaski) i do jego opisu wystarczy
wziąć dwuwymiarowy układ współrzędnych. Przykładem takiego ruchu jest obieg
planet wokół Słońca; ich tory leżą w jednej płaszczyźnie – ekliptyce.
Ruch jednostajny po okręgu
Ruchem jednostajnym po okręgu nazywamy taki ruch w którym torem jest okrąg
i wartość prędkości pozostaje stała.
Z uwagi na krzywoliniowość toru ruch po jednostajny po okręgu jest ruchem
zmiennym; ilustruje to poniższy rysunek:
v1
v2
v1
v2
=
v1
v2
=
ALE
Mimo iż wartość prędkości pozostaje
stała to jest ona styczna do toru a za-
tem zmienia się nieustannie jej kierunek
i zwrot i dlatego ruch jednostajny po
okręgu jest ruchem zmiennym
Zatem możemy wyznaczyć przyspieszenie, zazywa się ono przyspieszeniem do-16
środkowym, ponieważ jak się okaże skierowane jest ono do środka okręgu po
którym porusza się ciało.
v2
1v
1v
v1v v2
RRS ~ vv v
R
R
x s= =v
Podobieństwo trójkątów na rysunku (które są równoramienne i do ich podobień-
stwa wystarczy odpowiednia równość tylko jednego z kątów) wynika z faktu że
v1⊥R i v2⊥R zatem na mocy twierdzenie o kątach o ramionach prostopadłych6 (R,R) = 6 (v1, v2) = 6 (v, v). Ponadto należy zauważyć, że gdy czas
między położeniami odpowiadającymi prędkościom ~v1 i ~v2 jest coraz krótszy to
s → x i wektor ~∆v (a tym samym i ~ad) jest „coraz bardziej równoległy” doR. Z podobieństwa rozważanych trójkątów wynika nast. zależność:
∆v
x=
v
R
Korzystając z faktu, że x = s oraz z definicji prędkości liniowej:
∆v
vt=
v
R
Mnożąc stronami przez v i korzyst. z def. przyspieszenia:
ad
ad =v2
R
17
Z uwagi na to, że wartość prędkości pozostaje stała, to czas jednego obiegu
również jest stały; nasywamy go okresem (T ).
Ilość okresów (obiegów) w jednostce czasu nazywamy częstotliwością ruchu po
okręgu (f); zależkość między częstotliwością a okresem jest następująca:
f =1
T[f ] =
1
s= Hz
Kątem obrotu (w mierze łukowej) nazywamy stosunek długości odcinka okręgu
przebytego przez ciało do czasu w którym to nastapiło:
α =l
R[α] = rad
Jednostką kąta obrotu jest radian, wartość tego kąta jest równa jeden gdy ciało
pokona taki kąt, że przebyta przez niego droga będzie równa promieniowi okręgu
po którym się porusza (w mierze stopniowej jest to ok 57o)
Stosunek kąta obrotu do czasu to prędkość kątowa (ω):
ω =α
t[ω] =
rad
s
Podstawiając definicję kąta obrotu otrzymamy zależność pomiędzy prękością
liniową a prędkością kątową:
ω =lR
t=
1
R
l
t=
v
R⇒ v = ωR
W ogólności zależność ta jest iloczynem wektorowym:
wv
R
w v
R
~v = ~ω × ~R18
W czasie jednego okresu ciało przebywa drogę równą długości okręgu, a zatem
można obliczyć wartość prędkości bardzo prosto:
v =2ΠR
T= 2ΠRf
a korzystając z zależności między prędkością liniową i kątową mamy:
v = ωR ⇒ ω = vR
=2ΠRT
R=
2Π
T= 2Πf
Rozważmy ruch jednostajny po okręgu o promieniu R = 1m w którym ciało
przebyło połowę długości okręgu w czasie t = 1s, wyznaczymy prędkość (jako
wektor) i szybkość. Analizując ruch po okręgu dobrze jest wybrać układ współ-
rzędnych o środku w środku okręgu; wówczas całą sytuację da się przedstawić
na następującym rysunku:
r1
r2
r∆
v
s
Ciało poruszając się po okręgu przebyło
drogę s między położeniem początko-
wym ~r1 a położeniem końcowym ~r2.
Przemieszczenie ciała w tym ruchu wy-
nosi ~∆r, a jego prędkość ~v. Długość
przemieszczenia wynosi 2R, a drogi
ΠR, zatem:
Wartość prędkości wynosi:
|~v| = v = |~∆r|t
=2R
t=
2
1= 2
m
s
Zaś szybkość to:
vs =s
t=
ΠR
t=
3.14
1= 3.14
m
s
Widać więc, że wruchu krzywoliniowym wartość prędkości nie pokrywa się z
szybkością.
Ad 7. Ruchy złożone19
Ruchem złożonym nasywamy taki ruch który jest złożeniem (superpozycją)
przynajmnniej dwóch rodzajów ruchu (np. poruszające się po okręgu ciało
spada swobodnie). Okazuje się jednak, że mimo iż sam ruch złożony może
mieć skomplikowaną formę, to zawsze da się go rozłożyć na ruchy składowe i
analizować je niezależnie, co mocno uprości nasze rozważania.
Przeanalizujemy dwa rodzaje ruchów złożonych:
• rzut poziomy
• rzut ukośny
Oczywiście, pdodbnie jak dla rzutów pionowych, będziemy pomijali wszelkie
opory i założymy, że siła ciężkości jest stała.
Rzut poziomy
Rozważmy ciało znajdujące się na pewnej wysokości H któremu zostaje nadana,
w kierunku poziomym, pewna prędkość początkowa ~v0, a ponieważ pominę-
liśmy opory to w poziomie ciało będzie poruszało się ruchem jednostajnym
prostoliniowym z prędkością v0.
W kierunku pionowym następuje oczywiści spadek swobodny. Złożenie tych obu
ruchów pokazuje poniższy rysunek:20
v0
pv v(t)
v0
pv
v0
αk
m
t
tr
max v(t )r
H
Zx
0y
α
W chwili początkowej t = 0 ciało znajduje się na wysokości H i posiada prędkość
v0 w kierunku poziomym. w chwili t jego prędkość jest wypadkową prędkości
poziomej (v0) i prędkości pionowej spadku swobodnego. W chwili końcowej (tr)
prędkość ciała tworzy z poziomem kąt αk
Na wstępie, mając daną wysokość H i prędkość początkową v0 obliczymy zasięg
(Z) i czas trwania ruchu (tr).
Czas trwania ruchu to czas spadku swobodnego z wysokości H zatem:
H =gt2r
2⇒ tr =
√
2H
g
W czasie tym ciało poruszając się ruchem jednostajnym, prostoliniowym przebywa
drogę Z, a zatem:
Z = v0tr = v0
√
2H
g
Prędkość ciała w dowolnej chwili czasu trwania ruchu, jest wektorem będącym21
sumą prędkości poziomej i pionowej, zatem:
~v = [v0, vp] = [v0, gt]
Długość tego wektora wynosi więc:
|~v| = v =√
v20 + g2t2 (∗)
zaś kąt jaki tworzy on z poziomem można obliczyć np. z def funkcji tangens:
tan(α) =vp
v0=
gt
v0(∗∗)
Aby znależć równanie drogi (trajektorii) w rzucie poziomym należy zapisać jak
zmieniają się współrzędne poruszającego się ciała w przyjętym do rozważań
układzie odniesienia. W naszym przypadku będzie to:
x(t) = v0t (1) y(t) = H −gt2
2(2)
Powyższe równania nazywają się parametrycznym równaniem toru (pokazują jak
zmieniają się współrzędne poruszającego się ciała w zależności od czasu).
Obliczając czas z równania (1) i podstawiając go do równania (2) otrzymamy:
t =x
v0⇒ y(x) = H −
g( xv0)2
2⇒ y(x) = − g
2v20x2+ H
Otrzymaliśmy równanie paraboli, a dokładniej mówiąc wycinka paraboli, ponieważ
x ∈ (0, Z). Współczynnik przy x2 jest ujemny zatem nasza parabola pokrywasię z torem na rysunku przedstawiającym rzut poziomy.
Pouczającym jest jeszcze wyznaczyć prędkość ciała w momencie uderzenia o
ziemie; ponieważ to wektor to oprócz wartości należy wyznaczyć np. kąt jaki
tworzy z poziomem; wykorzyatamy w tym celu wzory (∗) i (∗∗) podstawiając22
w nich za czas trwania ruchu (tr =√
2Hg
) otrzymujemy, wartość prędkości...
vk = v(tk) =
√
√
√
√
v20 + g2
(
√
2H
g
)2
⇒ vk =√
v20 + 2gH
i tangens kąta jaki tworzy prędkość w momencie uderzenia o ziemie:
tan(αk) =gtk
v0=
g√
2Hg
v0⇒ tan(αk) =
√2gH
v0
Rzut ukośny
Ruch ten przypomina trochę strzelanie z armaty. W chwili początkowej ciało
zostaje wystrzelone z prędkością początkową v0 pod kątem α do podłoża, w
sposób jak pokazano na rysunku:
v0
v0X
v0X
v0X
v0X
v0X
v(t)
tα( )tα( )
v(t)
v0Y
−v0Y v
k
α
x
y
α
H
Z
yv (t)
yv (t)
Rzut ukośny jest superpozycją ruchu jednostajneg, prostoliniowego w poziomie,
zaś w pionie mamy najpierw rzut pionowy w górę, a potem spadek swobodny,
widać więc, że prędkość początkową ~v0 musimy rozłożyć na składową poziomą
i pionową wynoszą one:
v0x
v0= cosα ⇒ v0x = v0 cosα
v0y
v0= sinα ⇒ v0y = v0 sinα
Składowa pozioma podczas całego ruchu jest stała, ponieważ pominęliśmy opory,
natomiast składowa pionowa jest prędkością początkową w rzucie pionowym w
górę.23
Mając daną prędkość początkową (jej wartość i kąt jaki tworzy z podłożem)
obliczymy: czas trwania ruchu, zasięg (Z) i maksymalną wysokość (H).
Najprościej jest zacząć odwyliczenia czasu wznoszenia; po jego upływie składowa
pionowa prędkości będzie równa zeru, a opisuje ją równwnie: vy(t) = v0y−gt,zatem:
vy(tw) = 0 ⇒ 0 = v0y − gtw ⇒ tw =v0y
g
Czas wznoszenia na wysokość H jest równy czasowi spadku z tej wysokości (jako
ćwiczenie proszę to sprawdzić) a zatem czas trwania rzutu ukośniego wynosi:
tw = ts ⇒ tr = tw + ts = 2tw ⇒ tr =2v0y
g
Podstawiając za składową v0y mamy:
tr =2v0 sinα
g
Mając czas trwania ruchu bardzo szybko znajdziemy zasięg (Z) ponieważ jest
to droga przebyta w tym czasie z prędkością poziomą (v0x), zatem:
Z = v0xtr =2v0xv0y
g=
2v20 sinα cosα
g⇒ Z = v
20 sin 2α
g
Przy czym skorzystaliśmy jeszcze z tożsamości trygonometrycznej na sinus kąta
podwojonego sin 2α = 2 sinα cosα.
Zbadajmy, jaki musi być kąt wyrzutu, aby przy danej prędkości wyrzutu zasięg
był największy. Stanie się tak, gdy sinus będzie miał wartość 1, zatem:
sin 2α = 1 ⇒ 2α = 90o ⇒ α = 45o
Co zgadza się ze zdrowym rozsądkiem, ponieważ rzucając ciało pod zbyt dużym,
lub zbyt małym kątem upadnie ono blisko.
Trochę trudniej jest wyznaczyć wysokość na jaką wzniesie się ciało. Najprościej
od strony obliczeniowej będzie gdy zauważymy, że po osiągnięciu wysokości
maksymalnej ciało przez drugą połowę ruchu (a więc w czasie 12tr =v0yg
), w24
pionie, spada swobodnie z wysokości H zatem przebywana przez niego droga
wynosi:
H =g(12tr)
2
2=
g(v0yg)2
2⇒ H =
v20y
2g⇒ H = v
20 sin
2 α
2g
Aby wyznaczyć równanie toru postąpimy podobnie, jak w przypadku rzutu po-
ziomego, napiszemy najpierw równania pokazujące jak zmieniają się współrzędne
ciała podczas trwania jego ruchu.
W poziomie jest to ruch jednostajny, prostoliniowy więć:
x(t) = v0xt ⇒ x(t) = v0t cosα
Natomiast w pionie, mamy rzut pionowy w górę i spadek swobodny, ale okazuje
się, że można je opisać jendym równaniem:
y(t) = v0yt −gt2
2⇒ y(t) = v0t sinα −
gt2
2
Obliczając czas z równania na x(t)...
t =x
v0 cosα
... i podstawiając go do równania na y(t) mamy:
y(x) = v0x
v0 cosαsinα −
g( xv0 cosα
)2
2
Po przekształceniu i wyciągnięciu kolejnych potęg x przed nawias dostajemy
równanie toru; jest to parabola z ramionami skierowanymi w dół (a < 0)
y(x) = − g2v20 cos
2 αx2+ (tanα)x
Miejscami zerowymi tej paraboli są, x1 = 0 mający interpretacje fizyczną jako25
miejsce w którym rozpoczyna się rzut ukośny i drugie miejsce zerowe:
x2 =tanα
g
2v20 cos2 α
=sinα
cosα
2v20 cos2 α
g=
2v20 sin2 α
g
które interpretujemy jako miejsce gdzie ciało upada i jest to jednocześnie zasięg
rzutu ukośnego.
Pouczającym byłoby jeszcze udowodnienie, że wierzchołek tej parabolii wyznacza
maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało ale niech będzie to zadaniem
domowym.
26