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Kapitel 7
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2
Magnetfelder und
Teilchenfokussierung
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Übersicht
Magnete• Warum Fokussierung?• Geometrische (schwache) Fokussierung• Dispersionsbahn im homogenen Magnetfeld• Magnettypen• Maxwellgleichungen für Magnetostatik• Fokussierung mit Quadrupolen
Vom Quadrupole zur Stahloptik• Fokussierung mit einem Linsensystem in einer Ebene• Transformationsmatrizen• Fokussierung mit einem Linsensystem in beiden Ebenen
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Warum Strahloptik und Fokussierung?
Teilchen haben unterschiedliche Anfangsparameter (Position, Winkel) undlaufen mit der Zeit auseinander
• Mit der Annahme, dass zwei Teilchen eine Winkeldifferenz von 10-6 rad haben, würden die Teilchen nach einer Strecke von 106 m um 1 m auseinanderlaufen. Bei LHC, mit einer Länge von 26860 m, wäre das nach 50 Umläufen (5 ms !)
Teilchen würden durch die Gravitation „herunterfallen“
An verschiedenen Stellen des Beschleunigers soll der Strahl eine definierte Dimension haben
• am Kollisionspunkt im Speicherring sollen die Strahlen klein sein
Teilchen mit unterschiedlicher Energie sollen nicht auseinanderlaufen
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Geometrische „Fokussierung“ im homogenen Dipolfeld
z
x
s
v
B
FB
Zwei Teilchen, die mit gleicher Energie von der gleichenPosition mit leicht unterschiedlichem Anfangswinkel starten, treffen sich nach jedem halben Umlauf.
Sollbahn
TeilchenA
TeilchenB
5
Geometrische - Schwache - Fokussierung
Annahme: der Winkel zwischen beiden Teilchenbeträgt = 1 mrad.
Der maximale Abstand zur Sollbahn ist:
xmax = R
Bei einem Radius von 1 m wäre dieser Abstandxmax = 1 mm
Bei einem Radius von 1000 m wäre dieser Abstandxmax = 1 m xmax
Die schwache Fokussierung gilt nur in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld.
In der anderen Ebene laufen zwei Teilchen mit unterschiedlichen Anfangswinkel kontinuierlich auseinander.
Es wird eine fokussierende Kraft benötigt.
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Dispersionsbahn im homogenen Dipolfeld
B
Zwei Teilchen, die mit unterschiedlicher Energie und gleichen Winkel von der gleichen Position starten, kommen nach jedem Umlauf zur gleichen Position zurück.
Sollbahn Teilchen rotmit Impuls p0
Teilchen blau mit Impuls p1
auf Dispersionsbahn
),,(),,(
zsx1
q
pzsxR
z
00 B
),,(),,(
zsxqp
zsxR
ppp
zB11
1
01
pDsx xD )(
)(sxD
7
Magnettypen
Dipolmagnet – konstantes Feld in Apertur
Quadrupolmagnet – Feld im Zentrum Null, linear ansteigend (entspricht einer Linse in Lichtoptik)
Sextupolmagnet - Feld im Zentrum Null, quadratisch ansteigend
z
x
z
x
Feldlinien für Dipolmagnetfeld Feldlinien für Quadrupolmagnetfeld
Eisenjoch
ParalleleEisenpole
SpuleN
S
Vakuum-kammer
Dipolmagnet
HyperbolischePolflächen
SpulenEisenjoch
N
N
S
Sx
z
x
z
SN
NS
Quadrupolmagnet
N
S
Vakuum-kammer
Bz
9
Quadrupolmagnet
Rende Steerenberg (CERN)
Magnetfeld
Hyperbolische Flächex · y = constant
10
Dipolmagnet
11
Dipolmagnet und Quadrupolmagnet: Realisierung
Magnet für SNSBeam’s eye view of an SNS half cell. From front to back: corrector, quad polefaces, sextupole faces, and last the dipole
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Magnetostatik
Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte - gemessen in Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet
]/[ mAH
][][2m
sV oder Tesla
BB
AmVs
104 mit 7
00
HB
Magnetfeld gemessen in A/m
Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld gleichwertig:
In einem isotropen Material mit der Permeabilität gilt :
HB
0
Im allgemeinen ist etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist in der Grössenordung von einigen tausend.
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Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers
),,(
)),,(),,,(),,,((),,(
),,(
)),,(),,,(),,,((),,(
ds
d
dx
d
dx
d
dz
d
dz
d
ds
d
zsxzsxzsxzsx
:gilt gerBeschleuni den für nsystemKoordinate- sz, x,Im
dy
d
dx
d
dx
d
dz
d
dz
d
dy
d
zyxzyxzyxzyx
:gilt nsystemKoordinate - zy, x,Im
xszxsz
szx
xyzxy
zyx
BBBBBBB
BBBBB
BBBBBBB
BBBBB
z
z
x
s
vB
F
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Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum
0 :folgt
und
0 :Gesetz enMaxwellsch ersten dem Aus
0 : Gesetz enMaxwellsch vierten dem Aus
0
B
HB
HrotH
BdivB
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Quadrupol: Fokussierung in einer Ebene, Defokussierung in der anderen Ebene
0rot BB
Annahme im 2-dimensionalem Fall (keine Feldkomponente in Richtung der Teilchenbewegung) :
0 : wirdangenommen da ),0,( sz BBBB x
00dz
d
dx
d0 xz ),,(
BBB
und daher:
dz
d
dx
d xz BB
z-Komponente des Quadrupolmagnetfeld auf der x-Achse
Typischer Wert:
x
z
mT20dx
d z /B
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Teilchenablenkung in einem Quadrupolmagnet
Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung indie Tafelebene hinein
z
x
zconstz
xconstx
x
z
)(
)(
B
B
x
z
s
z
s
x Sicht von der Seitefokussierend
Sicht entlangder Teilchenbahn
Sicht von obendefokussierend
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2
Strahloptik
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Fokussierung eines Linsensystems in einer Ebene
d
f1 f2
The focal length of a two lense system is: 1
F =
1
f1
1
f2
d
f1 f2
F
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Fokussierung eines Linsensystems in beiden Ebenen
d = 50 m
Horizontale Ebene
Vertikale Ebene
f1 100m
f2 100 m
d 50m
F1
f1
1
f2
d
f1 f2
1
F 200 m
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Transformationsmatrizen
Annahme: Ein Teilchen hat die Koordinaten: Position x0 und Winkel x0’
Wie in der Lichtoptik lässt sich die Teilchenbahn mit Transformationsmatrizenberechnen
s
L
f
s0 … beim Eintritt in die dünne Linse
s1 … beim Austritt aus der dünnen Linse
s2 … nach einer Strecke L
0
0
1
1
x
x
x
x
''M
s1s0 s2
22
Transformationsmatrix für eine dünne Linse
s
f
f
xx
x
x
x
x
dc
ba
x
x
0
0
1
1
0
0
1
1
'
''001
001
xdxcx
xbxax
''
'
001
01
xxf1
x
xx
''
1f1
01M
/
s1s0
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Transformationsmatrix für eine feldfreie Strecke: „Driftstrecke“
s
Lf
1
11
2
2
1
1
2
2
x
xLx
x
x
x
x
dc
ba
x
x
'
'
'
''
12
112
xx
xLxx
''
'
10
L1M
s1
s2
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - Februar 2007, version 2.0
Anhang
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Anhang: Maxwellgleichungen
ngVerschiebu chedielektris mC
eStromdichtmAj
tj :Gesetz esMaxwellsch 1.
2
2
]/[
]/[
D
DHrotH
sgesetz)(Induktion t
Gesetz ches2.Maxwells BErotE
hteLadungsdic mC
tik)Elektrosta der tz(Grundgese Gesetz ches3.Maxwells3
el
el
]/[
DdivD
tik)Magnetosta der tz(Grundgese 0 Gesetz ches4.Maxwells BdivB
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Maxwellgleichungen: Zeitlich konstant, im Vakuum
: ung Verschiebchedielektris keine
0 : Material) esmagnetisch (kein rungMagnetisie keine
0 : )Elektronen für Leiter (keine Strom erelektrisch kein
0 ED
M
j
HB
0 :gilt daher
0 Gesetz ches4.Maxwells
0 Gesetz ches3.Maxwells
0 Gesetz ches2.Maxwells
0 Gesetz esMaxwellsch 1.
BdivB
DdivD
ErotE
HrotH