Post on 21-Jun-2018
Minggu ke-9
DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
2. Diferensial Parsial
3. Limit dan Kekontinuan
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Contoh fungsi yang telah dipelajari dalam Kalkulus I
f(x) = x2
f(x) merupakan fungsi bernilai real dari peubah real.
Kalkulus 2:
Fungsi bernilai real dari dua peubah real
Contoh
f(x,y) = x2 + 3y2
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
f(x,y) = x2 + 3y2
Fungsi f memadankan setiap pasangan berurutan (x,y) dalam himpunan D pada
bidang dengan bilangan real tunggal f(x,y).
Contoh:
f(x,y) = x2 + 3y2 f(-1,4) = (-1)2 + 3(4)2
= 1 + 3(16)
= 49
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Dalam fungsi ada beberapa istilah:
1. wilayah (daerah) asal fungsi, himpunan D
2. jelajah (daerah nilai)
3. peubah bebas
4. peubah tak bebas
Wilayah asal, yakni himpunan semua titik (x,y) pada bidang
tempat fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan real.
Contoh:
f(x,y) = x2+3y2 wilayah asal fungsi adalah
seluruh bidang
wilayah asal fungsi adalah
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Dalam fungsi ada beberapa istilah:
1. wilayah (daerah) asal fungsi, himpunan D
2. jelajah (daerah nilai)
3. peubah bebas
4. peubah tak bebas
Jelajah (daerah nilai) adalah himpunan semua nilai fungsi f.
Peubah bebas dan peubah tak bebas
f(x,y) = x2+3y2 z = f(x,y) adalah peubah tak bebas
x dan y adalah peubah bebas
z = g(x,y) adalah peubah tak bebas
x dan y adalah peubah bebas
Contoh grafik fungsi f dua
peubah dari persamaan
z = f(x,y).
Biasanya grafik merupakan
permukaan.
Karena setiap (x,y) di daerah asal
hanya berpadanan dengan satu
nilai z, maka setiap garis tegak
memotong permukaan paling
banyak di satu titik.
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Contoh 1:
Sketsa grafik dari
Penyelesaian:
perhatikan bahwa .
kedua ruas dikuadratkan
Persamaan elipsoid.(Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2,
Edwin J.Purcell & Dale Varberg)
9𝑥2 + 4𝑦2+9 𝑧2=36
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):
Persamaan elipsoid.(Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2,
Edwin J.Purcell & Dale Varberg)
ELIPSOID
9𝑥2 + 4𝑦2+9 𝑧2=36
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):
sehingga
Grafik dari persamaan
yang diberikan
merupakan sebagian
dari permukaan
atas elipsoid.
9𝑥2 + 4𝑦2+9 𝑧2=36
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Contoh 2:
Sketsa grafik z = f(x,y) = y2 – x2
Penyelesaian:
Grafiknya merupakan sebuah paraboloid hiperbol.(Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J.Purcell & Dale Varberg)
PARABOLOID HIPERBOL
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):
Sketsa grafik z = f(x,y) = y2 – x2 adalah sebagai berikut:
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
“Kontur” merupakan cara lain dan biasanya lebih mudah untuk
menggambarkan sebuah permukaan.
Setiap bidang mendatar z = c memotong permukaan dalam bentuk
sebuah kurva.
Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian.
Apakah mudah
untuk mensketsa permukaan
yang berpadanan dengan
grafik fungsi dua peubah
z = (x,y) ?
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian.
Kumpulan lengkungan-lengkungan disebut peta kontur.
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Contoh 3:
Gambar peta-peta kontur untuk permukaan
Penyelesaian:
Kurva-kurva ketinggian dari berpadanan
dengan z = 0; 1; 1,5; 1,75; 2.
Peta konturnya adalah:
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Untuk tugas studio:
Sketsalah peta kontur untuk
a. z = f(x,y) = xy
b. z = y2 – x2
2. Diferensial Parsial
• Fungsi f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y.
• Jika y ditahan agar konstan, misal y = y0 ,
Maka f(x, y0) menjadi fungsi satu peubah x.
• Diferensial f di x = x0 disebut diferensial parsial f terhadap x di
(x0 , y0) dan dinyatakan sebagai fx(x0 , y0).
2. Diferensial Parsial
Diferensial• parsial f terhadap x di (x0 , y0) dinyatakan sebagai
fx(x0 , y0) dan ditulis sebagai:
Diferensial• parsial f terhadap y di (x0 , y0) dinyatakan sebagai
fy(x0 , y0) dan ditulis sebagai:
2. Diferensial Parsial
Cara menyelesaikan:
1. Mencari fx(x,y) dan fy(x,y) dengan menggunakan aturan baku
diferensial.
2. Substitusikan x = x0 dan y = y0
2. Diferensial Parsial
Contoh 1:
Carilah fx(1,2) dan fy(1,2) jika f(x,y) = x2y + 3y3
Penyelesaian:
Untuk mencari fx(x,y), kita anggap y sebagai konstanta dan
mendiferensialkan fungsi ini terhadap x.
f(x,y) = x2y + 3y3
fx(x,y) = 2xy + 0 fx(1,2) = 2 . 1. 2
= 4
f(x,y) = x2y + 3y3
fy(x,y) = x2 + 9y2 fy(1,2) = 12 + 9 . 22
= 37
2. Diferensial Parsial
Jika z = f(x,y), kita gunakan cara penulisan lain, maka
Lambang khas dalam matematika dan disebut
tanda diferensial parsial
2. Diferensial Parsial
TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis
singgung
▪ Permukaan yang mempunyai
persamaan z = f(x,y).
▪ Bidang y = y0 memotong
permukaan kurva pada bidang
PQR.
▪ Nilai fx(x0,y0) adalah
kemiringan (gradien) garis
pada kurva tersebut di
P(x0,y0).
2. Diferensial Parsial
▪ Bidang x = x0 memotong
permukaan pada kurva bidang
LPM.
▪ fy(x0,y0) adalah kemiringan
garis singgung pada
kelengkungan di titik P.
TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis
singgung
2. Diferensial Parsial
TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat)
▪ Diferensial parsial dapat juga ditafsirkan sebagai laju perubahan
(sesaat).
▪ Misal dawai biola diikat di titik A dan B dan bergetar pada
bidang xz.
▪ Gambar di atas menunjukkan posisi dawai pada suatu waktu
tertentu t.
2. Diferensial Parsial
TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat)
▪ z = f(x,t) menyatakan tinggi senar di titik P dengan absis x pada
saat t.
▪ z/x adalah kemiringan dawai di P.
▪ z/t adalah kecepatan tegak dari P.
2. Diferensial Parsial
TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat)
Contoh 3:
Volume suatu gas tertentu dikaitkan terhadap suhunya T
tekanannya P menurut hukum gas PV = 10T. V diukur
dalam inci kubik, P dalam pon per inci kuadrat, dan T
dalam derajat Celsius. Jika T diusahakan konstan 200,
berapa laju perubahan sesaat
pada
V = 50 ?
Penyelesaian:
tekanan terhadap volumenya
2. Diferensial Parsial
TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat)
Contoh 3 (lanjutan penyelesaian):
Laju perubahan sesaat tekanan terhadap volume
Jadi
2. Diferensial Parsial
DIRENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI
Secara umum, karena diferensial parsial suatu fungsi x dan y adalah
fungsi lain dari dua peubah yang sama ini,
diferensial tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x
dan y untuk memperoleh empat buah diferensial parsial kedua
fungsi f.
2. Diferensial Parsial
DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI
Contoh 4:
Cari keempat diferensial parsial kedua dari
Penyelesaian:
2. Diferensial Parsial
DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI
Diferensial parsial tingkat tiga dan lebih didefinisikan dengan cara
yang sama dan cara penulisannya pun serupa.
Jadi, jika f suatu fungsi dua peubah x dan y, diferensial parsial ketiga
f yang diperoleh dengan mendiferensialkan f secara parsial, pertama
kali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, akan ditunjukkan
oleh
2. Diferensial Parsial
DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI
Andaikan f suatu fungsi tiga peubah x, y, dan z. Diferensial parsial f
terhadap x di (x, y, z) dinyatakan oleh
fx(x, y, z) atau
dan didefinisikan oleh
Jadi, fx(x, y, z) diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai
konstanta dan mendiferensialkan terhadap x.
Diferensial parsial terhadap y dan z didefiniskan dengan cara yang
sama.
2. Diferensial Parsial
DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI
Contoh 5:
Jika f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx,
cari fx , fy dan fz.
Penyelesaian:
fx(x, y, z) = y + 3z
fy(x, y, z) = x + 2z
fz (x, y, z) = 2y + 3x
2. Diferensial Parsial
DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI
Contoh 6:
Jika f(x, y, z) = x cos(y - z),
Cari f/ x, f/ y, dan f/ z.
Penyelesaian:
LIMIT
Arti lambang limit di atas:
Nilai f(x,y) semakin dekat ke bilangan L pada waktu (x,y) dapat
mendekati (a,b) dengan cara tak berhingga.
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Kita memerlukan suatu definisi yang memberikan L yang sama,
tidak bergantung pada jalur (x,y) yang diambil dalam mendekati
(a,b).
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Definisi
Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa
untuk setiap > 0 (betapa pun kecilnya) terdapat d > 0 yang
berpadanan sedemikian sehingga
dengan syarat bahwa
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Titik-titik yang memenuhi adalah
titik-titik di dalam suatu lingkaran dengan radius d terkecuali pusat
(a,b).
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Perhatikan beberapa segi dari definisi ini:
Secara1. lengkap definisi ini mengabaikan jalur pendekatan ke
(a,b). Ini berarti bahwa jika jalur pendekatan yang berlainan
menuju nilai-nilai L yang berlainan, maka limit tidak ada.
Perilaku2. f(x,y) di (a,b) tidak relevan, bahkan fungsi tidak harus
terdefinisi di (a,b). Ini sebagai akibat pembatasan
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Perhatikan beberapa segi dari definisi ini:
3. Definisi diungkapkan sedemikian sehingga langsung dapat
diperluas ke fungsi tiga peubah (atau lebih). Cukup
menggantikan (x,y) dan (a,b) oleh (x, y, z) dan (a, b, c) pada
kemunculan mereka
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Contoh:
Contoh pada slide selanjutnya menggambarkan bahwa kita harus
hati-hati
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Contoh 1:
Perhatikan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh
tidak mempunyai limit di titik asal.
Penyelesaian:
Fungsi f didefinisikan dimana saja di bidang xy terkecuali di titik
asal.
Di semua titik pada sumbu x, yang berlainan dari titik asal, nilai f
adalah
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):
Jadi, limit f(x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu x
adalah
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):
Serupa dengan langkah sebelumnya, di semua titik pada sumbu y,
yang berlainan dari titik asal, nilai f adalah:
3. Limit dan Kekontinuan
LIMIT
Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):
Limit f(x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu y adalah
3. Limit dan KekontinuanLIMIT
Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):
Jadi, kita mendapatkan jawaban berbeda yang tergantung bagaimana
(x,y) (0,0).
Sebenarnya terdapat titik-titik yang dekat terhadap (0,0) tempat
nilai f adalah 1 dan titik-titik lain yang sama dekatnya tempat nilai f
adalah -1.
Limit tidak terwujud.
3. Limit dan KekontinuanLIMIT
Tugas:
Andaikan
Perlihatkana. bahwa f(x,y) 0 untuk (x,y) (0,0) sepanjang
garis lurus sebarang y = mx.
Perlihatkanb. bahwa
untuk (x,y) (0,0) sepanjang parabola y = x2
Kesimpulanc. apa yang anda tarik ?
(No 17 halaman 242, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid II, Edwin J.Purcell dan Dale Varberg)
3. Limit dan Kekontinuan
REVIEW KALKULUS 1: KEKONTINUAN FUNGSI
• Dalam bahasa sehari-hari, kata kontinu digunakan untuk
menggambarkan suatu proses yang berkelanjutan tanpa
perubahan yang mendadak.
• Bagaimana pengertian fungsi yang kontinu ?
Dari ketiga gambar di atas, gambar yang mana yang
mengilustrasikan suatu fungsi kontinu ?
3. Limit dan Kekontinuan
REVIEW KALKULUS1: KEKONTINUAN FUNGSI
Definisi:
(Kekontinuan di suatu titik).
Kita katakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang
terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan
Dengan definisi di atas, syarat suatu fungsi kontinu adalah:
1. ada
2. f(c) ada
3.
Jika salah satu dari ketiga syarat ini tak
dipenuhi, maka f tak kontinu di c.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK
Seperti pafa fungsi peubah tunggal, pada fungsi peubah banyak,
untuk mengatakan bahwa f(x,y) kontinu di titik (a,b), kita syaratkan
bahwa:
1. f mempunyai nilai di (a,b)
2. f mempunyai limit di (a,b)
3. Nilai f di (a,b) sama dengan limitnya di sana.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK
▪ Seperti halnya dengan fungsi satu peubah:
jumlah, hasil kali, dan hasil bagi fungsi-fungsi kontinu adalah
kontinu (asalkan pada kasus pembagian, kita menghindari
pembagian oleh nol).
▪ Dapat dikatakan bahwa fungsi polinom dua peubah kontinu
dimana-mana, karena merupakan jumlah dan hasil kali kontinu
ax, by, dan c dengan a, b, dan c adalah konstanta. Umpamanya,
fungsi f(x, y) = 5x4y2 – 2xy3 + 4 adalah kontinu dimana-mana di
bidang xy.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK
▪ Fungsi rasional dua peubah adalah hasil bagi dua fungsi
polinom sehingga kontinu asalkan penyebutnya bukan nol.
Sebagai contoh:
kontinu dimana-mana di bidang xy kecuali di titik-titik pada
parabol y2 = 4x.
▪ Seperti untuk fungsi satu peubah, suatu fungsi kontinu dari
fungsi yang kontinu adalah kontinu.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK
Teorema 15.3A
(Fungsi tersusun).
Jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f suatu fungsi
satu peubah kontinu di g(a,b), maka fungsi tersusun yang
didefinisikan oleh
adalah kontinu di (a,b)
Tugas
Baca Teorema 2.7D Buku Kalkulus dan
Geometri Analitis Jilid 1
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK
Contoh 2:
Perlihatkan bahwa F(x,y) = cos(x3 – 4xy +y2) adalah kontinu di
setiap titik dari bidang.
Penyelesaian:
Fungsi g(x,y) = x3 – 4xy +y2
yang merupakan sebuah polinom, adalah kontinu
dimana-mana.
Juga f(t) = cos t adalah kontinu di setiap bilangan t di R.
Berdasarkan teorema 15.3A, kita simpulkan bahwa
F(x,y) = f(g(x,y))
kontinu di semua (x,y) di bidang.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
Arti▪ fungsi f(x,y) kontinu pada suatu himpunan S adalah
jika f(x,y) kontinu di setiap titik dari himpunan.
Beberapa▪ istilah terkait himpunan-himpunan di bidang (dan
ruang dimensi lebih tinggi), adalah:
1. Lingkungan beradius d dari suatu titik P, yaitu:
Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q – P< d.
Q – P< d
P - d < Q < P + d
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q – P< d.
Q – P< d
P - d < Q < P + d
Di ruang berdimensi 2, suatu lingkungan adalah “bagian dalam”
suatu lingkaran.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q – P< d.
Q – P< d
P - d < Q < P + d
Di ruang berdimensi 3, suatu lingkungan adalah “bagian dalam”
suatu bola.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
Titik P adalah titik dalam himpunan S jika terdapat suatu
lingkungan dari P yang mengandung S.
Himpunan semua titik dalam dari S adalah bagian dalam dari S.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
Sebaliknya, P adalah titik batas dari S jika semua lingkungan dari
P mengandung titik-titik yang berada di S dan titik-titik yang bukan
S.
Himpunan semua titik batas dari S disebut batas dari S.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
Pada gambar di atas,
A: suatu titik dalam dari S
B: suatu titik batas dari S
Suatu himpunan adalah terbuka jika semua titik-titiknya adalah titik
dalam.
Suatu himpunan adalah tertutup jika mengandung semua titik batasnya.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
▪ Jika S suatu himpunan terbuka, untuk mengatakan bahwa f kontinu
pada S secara tepat berarti bahwa f kontinu di setiap titik S.
▪ Sebaliknya, jika S mengandung beberapa atau semua titik
batasnya, kita harus hati-hati untuk memberikan tafsiran yang
benar dari kekontinuan pada titik-titik yang demikian. Untuk
mengatakan bahwa f kontinu pada suatu titik batas P dari S berarti
bahwa f(Q) harus mendekati f(P) untuk Q mendekati P melalui
titik-titik dari S.
▪ Contoh untuk membantu memperjelas, dapat dilihat pada slide
selanjutnya.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
▪ Andaikan
▪ Jika S adalah himpunan
adalah benar untuk mengatakan
bahwa f(x,y) kontinu pada S.
▪ Sebaliknya, akan tidak benar untuk mengatakan bahwa f(x,y)
kontinu pada seluruh bidang.
3. Limit dan Kekontinuan
KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN
Teorema 15.3B
(Kesamaan parsial campuran).
Andaikan f, fx, fy, fxy, dan fyx kontinu pada suatu himpunan terbuka S.
Maka fxy = fyx pada tiap titik dari S.