Post on 16-Feb-2016
description
Pertemuan-18 & 19
Integral Lipat Dua (Double Integral)
Fungsi: Menghitung isi benda padat
Ambil bidang ⊥== oo yyyy , pada poros y.
Penampang antara benda dan oy mempunyai luas iL (bidang arsir)
Jika ada bidang disamping maka luas bidang:
∫ ∑=
∞→→Δ
Δ=b
a i
nx
Xdxxfn
1i0
f(x) lim)(
Sehingga dapat disimpulkan Isi benda tipis yang tebalnya iyΔ dan luas iL adalah iiii y) yx(L Δ⋅ (luas x lebar),
maka isi keseluruhan: ∑=
∞→→Δ
Δ⋅n
1iii0)y ,(L lim ii
ny
yxi
116 Kalkulus II
Isi benda = ∫b
adyyxL ),(
∫=)(
)(),(2
1
y)F(x, yg
ygyx dxL
Sehingga Isi = dy ),()(
)(
2
1∫ ∫ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛b
a
yg
ygdxyxF → Integral berulang (Iterated Integral]
Isi Benda padat = dy y)F(x, )(
)(
2
1∫∫
yg
yg
b
adx → Double Integral
Contoh:
1. dx dy yx23
1
2
0⋅∫∫
[ ] dx y21
x dx dy yx3
1
222
0
23
1
2
0 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== ∫∫∫
332
x 34
dxx4dxx42
0
322
0
22
0==== ∫∫
2. dydx sin yx 1
00 ∫∫π
= [ ] dy ysin21
dy dxx ysin0
1
00 ∫∫∫ππ
=
= 1 ycos21
0=− π
3. Benda padat di bawah bidang z = x + y + 1 dibatasi oleh bidang x = 0, x = 1, y = 1, y = 3
Jawab:
1x0 ≤≤ ; 3y1 ≤≤
dxyyx
yxyx
21 y
dxdy )1(Isi
1
0x
3
1
2
3
1
1
0
∫
∫∫
=
==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ++=
++=
( )∫
∫
++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −+−+−=
=
1
0
1
0x
22
dx 2 4 2x
)13()13(21 )13( dxx
( )( ) )01(601
6x dx 6 2x 22
1
0
1
0
2
−+−=
+=+= ∫ x
761 =+=
Integral Lipat Dua 117
4. dx dy )y10x4(2x
x
5
3+∫∫ −
= [ ]∫ −+5
3
2 2
)54( dxyxy xx
= [ ]∫ −++5
3
242 dx )(5)(4 xxxxx
= ∫ −++5
3
2423 dx )x5x5x4x4(
= ∫ −+=−+5
3
5
3
345234
31 dx )45( xxxxxx
( ) ( ) )35(313535 334455 −−−+−=
( ) ( ) ( )271253
27125816252433125 −−
−−+−=
3
985442882 −+=
3
101803
98102783
983426 =−
=−=
= 3393 31
5. Berikan tafsiran fisis dari ∫∫ +R
yx dydx )( 22 , R dibatasi oleh bidang 2xy = , x = 2 dan y = 1 dan
hitunglah integrasinya!
Jawab
Penentuan daerah batas dari gambar di atas, dengan menganggap x konstan/dipegang tetap.
2xy1
2x1
≤≤
≤≤
Batas di atas dapat pula ditulis dalam y yang konstan
2xy = x = 2 →y = 4
yx =
118 Kalkulus II
2
41
≤≤
≤≤
xy
y
Pengintegrasian untuk x yang dipegang konstan.
Batas :
2xy1
2x1
≤≤≤≤
∫
∫∫
=
==
+=
+
2
1x1
32
22
1
2
12
2
)31(
dxdy )(
dxyyx
yx
x
x
yx
2
1
3756
242
1x
6222
1
31
31
211
51 dx
31
3
dx )1(31)1(
xxxxxxx
xxxx
−−+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−=
∫
∫
=
=
( ) ( ) ( ) ( )
31
318
211128
5132
123112
3112
21112
51 337755
−−
−−
+−
=
−−−−−+−=
105280
105635
105651
38
21127
531
31
37
21127
531
−+=
−+=−−+=
1051006
=
Pengintegrasian untuk y dipegang konstan:
Batas:
Integral Lipat Dua 119
2xy
4y1
≤≤
≤≤
∫
∫∫
=
==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+
4
1y
223
2224
1
31
dydx )(
dyxyx
yx
y
yxy
( ) ( )
dy 233
8
dy 2231
2/522/34
1y
2332
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
∫
∫
=
=
yyy
yyyy
4
1
332
4
1
1
25
121
23
y72
32
152
38
1
112
21
131
38
25
23
yyyyy
yyyy
−+−=
+−
++
+⋅−= +++
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1128
72164
32132
1523
38
11447214
321144
15214
38 333322
−−−+−−=
−−−+−−−=
1051006
1053810
1054410
105434
105840
7254
3126
15628
=
−+−=−+−=
Terlihat bahwa peninjauan x konstan atau y konstan adalah sama, sebab memang daerah yang dihitung adalah sama.
6. Hitung ∫∫D
dydx y x
Jika D adalah daerah yang dibatasi antara lain xy = ,
y = 0 ; x = 1
Cara I:
Menentukan batas dengan x dipegang konstan
xy0
1x0
≤≤
≤≤
120 Kalkulus II
[ ]6101
61
61
2
21 dx dy xy
33
1
0
321
0
0
21
00
1
0
=−=
==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅=
∫
∫∫∫
xdxx
dxyxx
x
Cara II:
Menentukan batas dengan y dipegang kontans
1xy
1y02 ≤≤
≤≤
Integral Lipat Dua 121
( ) ( )
( )
61
61
63
21
61
21
21
0161)01(
21
21
61
21
21
dy 21 dy 1
2
21 dy dx y x
6622
1
0
62
51
0
41
0
121
0
11
0 22
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−=−=
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅=⋅
∫∫
∫∫∫ =
yy
yyyy
dyxyy
yy
Dalam mengerjakan soal-soal di atas serta perumusan isi benda padat kita menggunakan koordinat kartesian.
Macam-macam koordinat yang ada:
1. Koordinat Kartesian
dxdydA ⋅=
A = daerah luas
Sehingga
Isi = luas alas . tinggi
Isi = ∑=
∞→→Δ
Δ⋅n
1i0
y)F(x, lim AnA
Isi = dx ),(),( dyyxFdAyxFyxA ∫∫∫ =
2. Koordinat Polar [silinder]
122 Kalkulus II
ϕ⋅⋅=ϕ⋅⋅=⋅=
ϕ=π⋅πϕ
=∩=
ddrrdrdrdA
dzdrdA
d rr22d
ab dz
Isi = dr drFdAF )y,x(r)y,x(Aϕ⋅= ∫∫∫ ϕ
3. Koordinat Umum [Curvilinier Coordinates] Pada bahasan selanjutnya akan dibuktikan:
dvduvuyxdA ⋅⋅
∂∂
= ),(),(
Atau
dvdu
yxvu
dA ⋅⋅
∂∂
=
),(),(
1
Contoh:
1. Tentukan volume bidang Tetrahedron (segi empat) yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z = 12 !
Jawab:
Untuk lebih mudah menentukan batas, kita harus gambar bentuk fisisnya:
Langkah menggambar:
z = 0
3x + 6y = 12 → 2x21
y +−=
Integral Lipat Dua 123
Dibatasi bidang koordinat yang berarti x = 0 dan y = 0
Untuk menentukan z ; x = 0 dan y = 0
4z = 12 → z = 3
fungsi 4
y6x312z
−−=
batas x dan y untuk x dipegang konstan
2x21
y0
4x0
+−≤≤
≤≤
124 Kalkulus II
( )
416161264
43 4
121
43
dx 4241
43
dx 42412
2182
43
dx 2212
212
214
43
443
dxdy )24(43
dxdy 4
6312
4
0
23
24
0
224
0
24
0
221
0
24
0
221
0
4
0
221
0
4
0
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−−++−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
−−=
−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
+−
+−
+−
==
xxx
xx
xxxxx
xxxx
dxyxyy
yx
yxIsi
x
x
x
yx
2. Hitung volume bagi yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang x = 5 dan y + 2z-4=0 !
Jawab:
24 yz −
=
Integral Lipat Dua 125
( ) 20054 x 4
dx 821
214
21
dxdy )4(21 dx dy
24
5
0
5
0
5
0
4
0
2
4
0
5
0
4
0
5
0
=−==
=−=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
∫ ∫
∫∫∫∫ =
dxyy
yyIsix
3. Hitung dAe22 yx
A
+∫∫ ; jika A dibatasi oleh r = 1 dan r = 3 ,
0=ϕ dan 4π
=ϕ !
Jawab: ϕ= ddr rdA
3r1 ≤≤ 222 yxr +=
40
π≤ϕ≤
( ) ( )eeerde
drerddr
edAe
rr
r
ryx
−===
⋅==
⋅=
∫
∫∫∫
∫∫∫∫ +
93
1
23
1
3
1
4/
0
r3
1
4/
0
3
1
4/
0
3
1
8824
4er
ddr r
22
22
222
πππ
πϕ
ϕ
π
ππ
4. Hitung ∫∫ +D
yx dA 22 ; jika D adalah bidang yang dibatasi:
r = 0dan ϕsin r , 0=ϕ dan π=ϕ !
Jawab:
22 yxr
ddr r dA
+=
ϕ=
π≤ϕ≤ϕ≤≤
0
sinr0
drrdddr r rsin
0
2
0
sin
00 ∫∫∫∫ϕπϕπ
ϕ=ϕ⋅
ϕϕϕ
ϕϕϕ
π
π πϕ
d sin)cos1(31
d sin31
31
2
0
0
3
0
sin
0
3
⋅−=
==
∫
∫ ∫dr
( )
( ) ( )ϕϕϕ
ϕϕ
ππ
π
cos cos31cos
31
cos )cos1(31
2
00
2
0
dd
d
∫∫
∫
+−=
−−=
126 Kalkulus II
( ) ( )
94
92
32
119111
31cos
91 cos
31
0
3
0
=−=
−−+−−−+−=ππ
ϕϕ
5. Perhatikan gambar
ϕ= sinry
Hitung dA ys∫∫ !
Jawab:
20
) cos (1 2r2
π≤ϕ≤
ϕ+≤≤
ϕ= d ds rdA
∫∫∫∫+
==⋅=
)cos1(2
2
/2
0ddr r dA
ϕπ
ϕϕ
rs
yy
dr r sin )cos1(2
2
2/
0⋅⋅= ∫∫
+
=ϕϕ
ϕπrd
r
drrdr
2)cos1(2
2
2/
0 sin ∫∫
+
==
ϕπϕϕ
ϕϕϕ
πdr
31sin
)cos1(2
2
32/
0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+
∫
[ ] ϕ−ϕ+ϕ
= ∫π
d 8)cos22(3
sin 32/
0
= [ ] ϕϕϕϕππ
dd sin831)(coscos22
31 2/
0
32/
0 ∫∫ −+−
( ) 2200
4 cos38cos22
41
21
31 ππ
ϕϕ ++⋅⋅−=
( ) ( ){ }[ ] [ ]0coscos380cos22cos22
241
244
2 −++−+−= ππ
( ) ( ){ }[ ] [ ]0coscos38122022
241
244 −+⋅+−⋅+−= π
[ ] [ ]103842
241 44 −+−−=
Integral Lipat Dua 127
[ ] [ ]13825616
241
−+−−=
322
38
330
3810
38
24240
=−=−=−=
6. Tentukan Isi benda pada di aktan I dibawah paraboloid 22 yxz += dan didalam tabung 922 =+ yx !
Jawab:
Karena kita tahu
3r
9ryx 222
===+
∫∫=D
zIsi dA
( )8
8124
81
481
d481
dr41
drrd
drdr)yx(Isi
2/
0
2/
0
2/
0
3
0
433
0
2/
0
223
0r
2/
0
π=
π⋅=ϕ=ϕ=
ϕ=ϕ=
ϕ⋅+=
ππ
ππ
=
π
=ϕ
∫
∫∫∫
∫∫
Soal:
1. Hitung dsxFs
⋅∫∫ )( jika 2)( =xF pada 3x1 ≤≤ dan 2y0 ≤≤ !
Jawab: 8
2. Gambarkan bagian daerah R di dalam bidang xy yang dibatasi oleh x2y2 = dan y = x !
Cari batas-batas untuk x dan y sehingga tetapkan luas dari R!
128 Kalkulus II
2x0 ≤≤ , untuk x dipegang tetap
x2yx ≤≤
Atau untuk y dipegang konstan
yx
2y
2y02
≤≤
≤≤
Luas = 32
3. Hitung isi benda padat dibatasi oleh bidang z = x + y + 1 dan x = 0, x = 1, y = 1 dan y = 3 .
Jawab: Isi = 7
4. Hitung isi benda padat antara 2yxz 22 ++= dan z = 1 dan terletak antara 1y0 , 11 ≤≤≤≤− x !
Jawab: Isi =3
10
5. Diberikan dydx )(4
1
3
0yx
y
xy+∫∫
−
==
a. Gambarkan tafsiran fisis bendanya ! b. Ubah dalam x dipegang konstan ! Jawab: 90 ;21 2 +−≤≤≤≤ xyx c. Hitung Integrasi!
Jawab: 60241
6. Hitung dydx yx 22
R
+∫∫ , di mana R adalah bidang daerah 222 ayx ≤+ !
Jawab: Dengan koordinat tabung
dydx yx 22
R
+∫∫ = 3 32 aπ
7. Hitung isi bidang–4 yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6 – 2x – 3y !
Jawab: Isi = 6
Koordinat Umum (Curvilinier Coordinate) Sebelum masuk ke pokok bahasan, kita singgung sedikit mengenai vektor.
Integral Lipat Dua 129
Aturan-aturan turunan fungsi berlaku untuk turunan vektor
1. dtBd
dtAd
dtd
±=± )BA(
2. dtBdA
dtAdB
dtd
+=⋅ )BA(
3. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dtBdAxBx
dtAd
dtd x )BxA(
4. dtAduA
dtduAu
dtd
t ⋅+⋅=⋅ )( )(
)(tu = fungsi skalar
Kita pakai salib sumbu system kanan (aturan tangan kanan)
( )( )
( ) ( )sekalar] [menjadi BA B A B A
B,B,B A,A,ABA
B,B,BB k B B i B
A,A,AA k A A
zzyyxx
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx
→⋅+⋅+⋅=
•=•
=++=
=++=
j
jiA
Aturan Cross Vector (menggunakan kaidah ‘sekrup’]
j k x ij i x k
i- j x ki k x j
k i x jk j x i
0 k x k0 j x j0 i x i
−==
==
−==
===
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kkBAkBAikBA
kBABAiBA
kiBAiBAiiBA
)B k B B i( x )A k A A ( B x
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
×+×+×
+×+×+×
+×+×+×=
++++=
j
jjjj
j
jjiA
130 Kalkulus II
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0BABABA
BA0BAkBA
BAkBA0BA
)B k B B i( x )A k A A ( B x
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
r
r
r
+−+
+++−
+−++=
++++=
ij
i
j
jjiA
( ) ( ) ( )
yx
yx
zx
zx
zy
zy
xyyxxzzxyzzy
BBAA
kBBAA
BBAA
BABAkBABABABA B x
+−=
−+−−−=
ji
jiA
Atau dapat ditulis dalam bentuk determinan matriks,
zyx
zyx
BBBAAAk
B x ji
A =
Koordinat Umum:
Integral Lipat Dua 131
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=
+=
dvdx
dvdyk
dvdxk
dvdyk
dvdyji
dudyjix
dusd
dvdyji
dvsd
dudyji
durd
dudy
dudx
dudy
dudx
dvdx x
dudx
dvsd
dvdx
dudx
Harga mutlak:
dudy
dudx
dudr
dvdx
dvdy
dvdrx ⋅−⋅=
Dapat dibuat bentuk matrik:
),(),(
dvdx
dudx
vuyx
dvdydudy
∂∂
=
dvdu ),(),( ⋅
∂∂
=∴vuyxdA
Pada rumus di atas terlihat bahwa x dan y harus diubah ke variabel u dan v, perubahan x dan y ke u dan v tidak selalu mudah, sehingga terkadang lebih mudah mengubah u dan v menjadi x dan y.
Sehingga dalam hal ini kita perlu invers Determinan Jacoby.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂∂
),(),(
1),(),(
yxvuvu
yx didapat dari aturan rantai determinan Jacoby
dvdu
yxvu
dA ⋅⋅
∂∂
=∴
),(),(
1
dxdv
dxdu
dydu
dxdu
),(),(
dydvdydu
dydvdxdv
yxvu
==∂∂
Contoh:
1. Hitung dy dx)yx( 3
D
+∫∫ ; dengan D adalah bidang yang dibatasi oleh:
1yx3yx
=+=+
2yx
1yx=−−=−
132 Kalkulus II
Jawab :
Dengan menggunakan koordinat kartesian sebenarnya kita bisa memecahkannya dengan terlebih dulu membagi menjadi 3 bagian, dan ini memakan waktu yang lama. Lebih cepat menggunakan koordinat umum.
Misal:
2 v 1
3 u 1
vyx
u yx
≤≤−≤≤
⎭⎬⎫
=−=+
21
41
41
21
21
21
21
dvdy
dvdx
dudy
dudx
),(),(
dv du ),(),(
−=−−=−
=
=∂∂
⋅⋅∂∂
=
vuyx
vuyxdA
2vu
y
2vu
x
vux2vyx
uyx
−=
+=
+==−=+
+
dvdu 21
dvdu 21
dA ⋅=⋅−=
( )[ ] [ ] 30181
8313
83
83
23 v
21
du 21)(
44
3
1
433
1
2
133
1
32
1
3
1
3
=−=−=
===
⋅=+
∫∫
∫∫∫∫
−
−==
uduuduu
dvudxdyyxvu
D
2. ∫∫ +D
dydxyx )( 22 ; D daerah yang dibatasi
Integral Lipat Dua 133
3yx
1yx
=⋅=⋅
4yx
2yx22
22
=−
=−
Pada kuadran I
Jawab:
vyx
uxy22 =−
=
x dan y akan dinyatakan dalam fungsi u dan v.
)(x 2 2x-2
2y-x
2xy
dydu
dxdu
),(),(
1 ),(),(
2222 yy
dydvdxdv
yxvuvu
yx
+=−=
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂∂
dvdu)y(x 2
1dyx 22 ⋅⋅
+=⋅∂
[ ][ ]∫∫
∫∫∫
∫∫
==
===
=−===−⋅=
⋅=⋅=
⋅+
+
3
1
3
1
3
1
3
1
4
2
4
2
3
1
2222
213 )24( 21
21
21
dvdu )(x 2
1 )(
uu
uvu
D
ududu
vdududv
yyx
Soal:
1. ∫∫θπ
θsin
0
2
0d drr
Jawab: 94
134 Kalkulus II
2. Tentukan luas dari benda/bidang s, yang adalah daerah di dalam lingkaran θ= cos4r dan luar
lingkaran r = z. [Catatan: Transformasikan ∫∫∫∫ =→= θddr r A dy dxA
Jawab: L= π+34
32
3. Cari luas daerah yang dibatasi oleh xy = 4, xy = 8, 5xy3 = , !15xy3 =
Jawab: L= 3 ln 2
4. Cari luas daerah di dalam kuadran I yang dibatasi oleh 3xy = , 3x4y = , 3yx = , 3y4x =
Jawab: L=81
5. Misal R adalah daerah yang dibatasi x + y = 1, x = 0, y = 0.
Perlihatkanlah bahwa:
∫∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+R 2
1sin dy dx y)(xy)-(x cos
(Misal x – y = u dan x + y = v}
6. Benda padat di kuadran I yang dibatasi oleh tabung 2x tgz = dan bidang-bidang x = y, x = 1 dan y = 0. Cari Isi !
Jawab: Isi = 1 secln 21
7. Buktikan:
21e dx
1
0
1
0)( −
=∫ ∫=
−
=
+
x
x
ydye yx
y
Dengan transformasi x + y = u, y = u.v Catatan: Soal ini ada baiknya jika dikerjakan sesudah membahas koordinat umum.
8. Benda dikuadran I yang dibatasi oleh persamaan 22 y4x936z9 −−= dan bidang-bidang koordinat. Cari Isinya !
Jawab: Isinya = π3
-oo0oo-