FEV

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INVESTIGACION DE OPERACIONES II

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INVESTIGACION DE OPERACIONES II

PARTE 1

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

• Sistema de espera.

• Modelo de Poisson.• Modelos de nacimiento y muerte.• Colas especializadas.

• Redes de colas.• Modelos de Redes de Colas.• Análisis Operacional.• Leyes Operacionales.

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TEORIA DE COLAS

ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS

SERVIDOR

t1 ........ t2 ................ t3 ............... t4

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TEORIA DE COLAS

MODELOS DE POISSON

CARACTERISTICAS GENERALES.

POSTULADOS:

1 . Probabilidad de un evento:

2 . Probabilidad de dos eventos:

3 . Sigue distribución de Poisson con parámetro esto es:

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0a 0, to(t), at P(t)

0 to(t),P(t) eventos 2

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COLAS ESPECIALIZADASINVESTIGACION DE OPERACIONES II

0 1 2 n n+1

μ μ μ μ μ μ

(M,M,1:FIFO,∞,∞)

Caracteristicas:

Colas Simples: Nacimiento y Muerte

Independencia

Distribuciones de Probabilidad( a/b/c ):( d/e/f )

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TEORIA DE COLAS

MODELOS DE POISSON: nacimiento

POSTULADOS:

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0k ,0k)0/XX-P(X 3.

0h (h),o h 1k)0/XX-P(X 2.

0h (h),o h k)1/XX-P(X 1.

ttht

2.kkttht

1.kkttht

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TEORIA DE COLAS

MODELOS DE POISSON: nacimiento y muerte

POSTULADOS:

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3,.... 2, 1,i , 0 , ,0 , 0 4.

0i 0,h o(h), )h (1 (h)P 3.

0i 0,h o(h), h (h)P 2.

0i 0,h o(h), h (h)P 1.

ii00

iiji,

i1ji,

i1ji,

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MODELOS DE POISSON

ECUACIONES DE NACIMIENTO Y MUERTE

1212

1j1jjjj1-j1-j

01010011

p)/( p

(2) 0 p )p( p

(1) )p/(p p p

....... p)/( p 2323 1-nn1-nn p)/( p

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COLAS ESPECIALIZADAS NOMENCLATURA

W o r: Valor esperado del tiempo en el sistema.

Wq: Valor esperado del tiempo en la cola.

L: Valor esperado del número de clientes en el sistema.

q: Valor esperado del número de clientes en la cola.

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: Tasa media de llegada (unidades/tiempo).

: Tasa media de servicio (unidades/tiempo).

n: Número de unidades en el sistema.

s: Número de servidores o canales de servicio.

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MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)

LLEGADAS POISSON Y SERVICIO EXPONENCIALPROBABILIDADES:

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01 PP 02

12 PPP 01 PPP nnn ; ;

Utilización:

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MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)

LLEGADAS POISSON Y SERVICIO EXPONENCIAL

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Valor esperado detrabajos en el sistema

n

innPL

1 1

2)1(][

nVar

Valor esperado detrabajos en espera (cola) )1(

2

Lq

Valor esperado detiempo en la cola

)1(

1

rWq

Valor esperado del tiempo promedio de respuesta

1

)1(

1LrW

12

MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)

LLEGADAS POISSON YSERVICIO EXPONENCIAL

(M/M/1):(FIFO/N/)

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)p(1´con ´

qrWq

)p(1´con ´

LrW

)p(1Lq

1

)1(

1L

)1/()1(pp

con )1/()1(p

N

N

0

1

1

10n

10

N

N

Nnn

N

N

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MODELOS CON UN SERVIDOR ( s>1)

LLEGADAS POISSON YSERVICIO EXPONENCIAL

(M/M/s):(FIFO//)

s

n = 1,2,…., s

n > s0

0

!

)(!

)(

Pss

s

Pn

s

P

sn

n

n

n

1

0

0

)1(!

)(

!

)(

1s

n

sn

s

s

n

sP

1

sL

1)1(!

)(02P

s

sq

s

)1(

1

s

R

)1(

s

qWq

0)1(!

)(P

s

s s

Constante de Erlang

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MODELOS DE COLAS

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EJERCICIOS

Estaciones de Servicio:

(a) (b) (c)

Modelos de Redes de Colas

Conceptos

Redes de Cola de Espera:

Fuente

Sumidero

Modelo de Colas Abiertas

Modelos de Redes de Colas

Conceptos

Modelo deColas Cerradas

Redes de Colas de Espera

CPU

DISCOS

(a) Iteractivo CPU

DISCOS

(b) Transaccional

Modelo de Servidor Central

Modelos de Redes de Colas

ANÁLISIS OPERACIONAL

Tasa de Llegada: i = Ai/T trabajos por unidad de tiempoProductividad: Xi = Ci/T trabajos por unidad de tiempoUtilización: Ui = Bi/T (sin unidades)Tiempo de Servicio: Si = Bi/Ci unidades de tiempo por trabajo

CONCEPTOS

El inverso de la tasa de llegadasse denomina tiempo entre llegadas: T/Ai

El inverso del tiempo de serviciose denomina tasa de servicio: μi=Ci/Bi

Modelos de Redes de Colas

Número de llegadas: Ai Número de terminaciones Ci

Tiempo total ocupado Bi Período de tiempo analizado T

Análisis Operacional

Modelos de Redes de Colas

TASA DE LLEGADAS PRODUCTIVIDAD UTILIZACIÓNTIEMPO DE SERVICIO

li Xi Ui Si

Solicitudes / tiempo Solicitudes / tiempo sin unidad tiempo /

solicitud

CONCEPTOS

Hipótesis del flujo equilibrado de trabajos (HFET):Supondremos que el sistema, durante el período de observación T, permanece en un estado estable o de equilibrio.

En este caso se cumple que el Nº de trabajos que entra es igual al Nº de trabajos que salen:

Tomando un período suficientemente grande se tiene que es muy pequeña comparada con y entonces

Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas

iCA ii ,

ii CA iC

Ley de la Utilización:

iii

iiii SX

CT

BC

T

BU

.

Esta expresión permite relacionar la productividadde un dispositivo con su tiempo de servicio.

Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas

Si se cumple la hipótesis de flujo equilibrado de trabajos, obtenemos:

Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas

Ley del Flujo Forzado:Relaciona X0 (sistema) con Xi (dispositivo)

Razón de Visitas al dispositivo i: Vi = Nº repeticiones o visitas al dispositivo i.

Si el flujo de trabajos está equilibrado, C0 (salen del sistema) y

Ci (salen del dispositivo i) están relacionados por:

00 / CCVVCC iiii

Productividad del dispositivo es:

TCX /00 Productividad del sistema X0 durante el período T es:

Leyes Operacionales

Modelos de Redes de Colas

Ley de Flujo Forzado:

Combinando la Ley del Flujo Forzado yla Ley de Utilización podemos obtener:

donde recibe el nombre de demanda de servicio en el dispositivo ien todas las visitas que un trabajo realiza.

iiiiii DSVXSXU 00 X

iii SVD

Leyes Operacionales

Modelos de Redes de Colas

Probabilidad de encadenamiento Pij

En particular tenemos:

K

jijij pCC

1

.

K

jijij pVV

1

.

Con K estaciones y se cumple la HFET

iijij CCp /

00 / AAp ojj 00 /CCp ioi

Leyes Operacionales

Modelos de Redes de Colas

Ley de Little:

Llamamos: Ni al número de trabajos en el sistema Ri tiempo de respuesta en la estación de servicio i

Definimos:

Si se cumple la hipótesis de flujo equilibrado de trabajos podemos

sustituir i por Xi tenemos:

iii RN

Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas

Ley General del Tiempo de Respuesta:

El número de trabajos en una red de colas kNNNN ........21

K

iiiKK RXRXRXRXRX

122110 ...

De acuerdo con la Ley de Little tenemos:

Ley del Tiempo de Respuesta Interactivo:Modelo de sistemas con carga interactiva: • Modelo del tiempo de reflexión (subsistema de terminales)• Los dispositivos físicos contemplados en el modelo (subsistema central)

N = (Z + R) X0

SUBSISTEMATERMINALES

SUBSISTEMACENTRAL

RZ

El tiempo de reflexión Z

Trabajos en los terminales = Z.X0

Trabajos en el sistema = R.X0

Leyes Operacionales

Modelos de Redes de Colas

ResumenLeyes Operacionales

Ley de la Utilización:

Ley del Flujo Forzado:

Probabilidades deencadenamiento Pij

K

jijij pCC

1

.

K

jijij pVV

1

.y

Ley de Little:

Ley General delTiempo de Respuesta:

K

iiiKK RVRVRVRVR

12211 ...

Ley del Tiempo deRespuesta Interactivo:

ZX

NR

0

Modelos de Redes de Colas

iiii SSXU i

iiii DXUVXX 00

iiiii RXRN