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Introductionlogique AL: logique de description de base
Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Introduction au WEB SemantiqueCours 3 : Introduction aux logiques de description
Odile PAPINI
POLYTECHUniversite d’Aix-Marseilleodile.papini@univ-amu.fr
http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/sources/WEBSEM.html
Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
Introductionlogique AL: logique de description de base
Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Plan du cours
1 Introduction
2 logique AL: logique de description de baseLangagesemantique
3 Famille des logiques de descriptions
4 Logiques de description : langage des ontologies
5 Raisonnement en logique de description
6 Complexite du raisonnement
Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
Introductionlogique AL: logique de description de base
Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Bibliographie I
Supports de cours :F. Baader, F. Calvanese & alThe Description Logic Handbook : Theory, Implementationand Applications. Cambridge university press. 2002
Amedeo Napoli INRIA NancyUne introduction aux logiques de description Rapport INRIA3314. 1997http://hal.inria.fr/inria-00073375/en/
Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
Introductionlogique AL: logique de description de base
Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Bibliographie II
Michel GagnonLogiques descriptives et OWLhttp://www.cours.polymtl.ca/inf6410/Documents/logique descriptive.pdf
Tutoriauxhttp://dl.kr.org/courses.html
Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
Introductionlogique AL: logique de description de base
Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Le Web semantique : Approche par couches
Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
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Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Le Web semantique : Approche par couches
couche Logique
evolution des langages pour les ontologiesapplications specifique pour des connaissances declaratives
couche Controle
generation de controles, validation
couche Securisation
signatures numeriquesrecommandations,· · ·
Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
TBox , ABox
Figure: source : F. Baader & W. NuttOdile PAPINI Introduction au WEB Semantique
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Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Langagesemantique
AL: logique de description de base : langage
Vocabulaire
Constantes : >, ⊥A, B, C , D; · · · : concepts
R : relations binaires (roles)
constructeurs : ¬, u, .
quantificateurs : ∃, ∀
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Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Langagesemantique
AL: logique de description de base : langage
Procede de formation des concepts
> : concept universel
⊥ : concept impossible
A : concept atomique
¬A : negation d’un concept atomique
C u D : intersection de concepts quelconques
∀R.C : restriction de valeurs pour des concepts quelconques
∃R.> : quantification existentielle limitee
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Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Langagesemantique
AL: logique de description de base : langage
Procede de formation des concepts : exemples
concepts atomiques : Personne, Homme
roles atomique : aEnfant
femme : Personne u ¬Homme
personnes qui ont au moins un enfant :Personne u ∃aEnfant.>personnes dont tous les enfants sont des hommes :Personne u ∃aEnfant.> u ∀aEnfant.Homme
personne qui n’a pas d’enfant : Personne u ∀aEnfant.⊥
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Langagesemantique
AL: logique de description de base : Axiomes
Axiomes pour les TBox
Subsomption : C v D avec C et D : concepts
Equivalence : C ≡ D avec C et D : concepts
Assertions pour les ABox
C (a) avec C : concept et a : individu
R(a, b) avec R : role, a, b : individus
Base de connaissances
BC = TBox ∪ ABox
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Langagesemantique
AL: logique de description de base : langage
exemples
concepts atomiques : Personne, Hommeroles atomique : aEnfantindividus : anne, paul
axiomes :Personne v > Homme v PersonneFemme ≡ Personne u ¬Homme
assertions :Femme(anne)aEnfant(anne, paul)
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Langagesemantique
AL: logique de description de base : langage
exemples : definition de concepts
concepts atomiques : Homme
roles atomique : aEnfant, marieAvec
Femme ≡?
Mere ≡?
Parent ≡?
ParentDeFemme ≡?
Celibataire ≡?
HommeMarie ≡?Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
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Langagesemantique
AL: logique de description de base : semantique
Interpretation
I interpretation : (∆I , fAI , fRI )
∆I : domaine
fonction fAI : A→ AI ⊆ ∆I
fonction fRI : R → RI ⊆ ∆I ×∆I
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Langagesemantique
AL: logique de description de base : semantique
extension a la description de concepts
>I = ∆I
⊥I = ∅(¬A)I = ∆I\AI
(C u D)I = CI ∩ DI
∀R.C = {x ∈ ∆I | ∀y , R(x , y) ∈ RI → C (y) ∈ CI}∃R.> = {x ∈ ∆I | ∃y , R(x , y) ∈ RI}
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Langagesemantique
AL: logique de description de base : semantique
exemple
Soit l’interpretation I :
∆I = {a, b, c , d , e, f , g}HommeI = {a, b, c , g}aEnfantI = {(a, c), (b, d), (b, e), (c , g)}marieAvecI = {(b, f ), (f , b)}
Quelles sont les interpretations des concepts suivants :
ParentI =?
ParentDeFemmeI =?
CelibataireI =?
HommeMarieI =?Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
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Langagesemantique
AL: logique de description de base : semantique
semantique des axiomes et assertions
I satisfait C v D ssi CI ⊆ DI
I satisfait C ≡ D ssi CI = DI
I satisfait C (a) ssi aI ∈ CI
I satisfait R(a, b) ssi (aI , bI) ∈ RI
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Les logiques de description de la famille AL
Constructeur d’union UUnion de concepts ALU
syntaxe
C t D
semantique
(C t D)I = CI ∪ DI
exemple
Personne ≡ Homme t FemmeOdile PAPINI Introduction au WEB Semantique
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Constructeur de negation sans restriction Equantification existentielle complete
syntaxe
∃R.C
semantique
(∃R.C )I = {x ∈ ∆I | ∃y , R(x , y) ∈ RI ∧ y ∈ CI}
exemple
∃aEnfant.HommeOdile PAPINI Introduction au WEB Semantique
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Constructeur de negation sans restriction Cnegation de concept C
syntaxe
¬C
semantique
(¬C )I = ∆I\CI
exemples
¬∃aEnfant.>¬∃aEnfant.Homme
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
AL + Constructeurs U , Cproprietes
⊥ ≡ C u ¬C> ≡ C t ¬CC t D ≡ ¬(¬C u ¬D)
¬(C t D) ≡ (¬C u ¬D)
¬(C u D) ≡ (¬C t ¬D)
¬¬C ≡ C
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Les logiques de description de la famille AL
AL + Constructeurs E , Cproprietes
∃R ≡ ∃R.>∃R.C ≡ ¬(∀R.¬C )
¬∃R.C ≡ ∀R.¬C¬∀R.C ≡ ∃R.¬C
exemple
¬∃aEnfant.Homme ≡ ∀aEnfant.¬Homme
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
AL + Constructeur C : logique de description ALCproprietes
disjonction :
C t D ≡ ¬(¬C u ¬D)
quantification existentielle complete :
∃R.C ≡ ¬(∀R.¬C )
exemples
∃aEnfant.Femme ≡ ¬(∀aEnfant.¬Femme)
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Exercice : petite hierarchie
Taduire en logique de description ALC
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Exercice : Petite ontologie des repas
Taduire en logique de description ALC
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Les logiques de description de la famille AL
Constructeur de restriction de cardinalite N
syntaxe
≤ nR : au plus n dans le co-domaine de R
≥ nR : au moins n dans le co-domaine du R
semantique
(≤ nR)I = {x ∈ ∆I , |y , R(x , y) ∈ RI | ≤ n}(≥ nR)I = {x ∈ ∆I , |y , R(x , y) ∈ RI | ≥ n}
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Constructeur de restriction de cardinalite N
exemples
Homme u ≥ 2aEnfant
Homme u ≤ 2aEnfant
Homme u ≤ 2aEnfant u ≥ 2aEnfant
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Les logiques de description de la famille AL
Constructeur de restriction de cardinalite qualifiee Q
syntaxe
≤ nR.C : au plus n elements de C dans le co-domaine de R
≥ nR.C : au moins n elements de C dans le co-domaine de R
semantique
(≤ nR.C )I = {x ∈ ∆I , |y , R(x , y) ∈ RI ∧ y ∈ CI | ≤ n}(≥ nR.C )I = {x ∈ ∆I , |y , R(x , y) ∈ RI ∧ y ∈ CI | ≥ n}
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Constructeur de restriction de cardinalite qualifiee Q
exemples
Homme u ≥ 2aEnfant.Femme
Homme u ≤ 2aEnfant.Femme
Homme u ≤ 2aEnfant.Femme u ≥ 2aEnfant.Femme
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Exercice
Taduire en logique de description ALCQ les exmples precedents
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Constructeur d’enumeration O
syntaxe
si a1, a2, · · · , an sont des individus alors {a1, a2, · · · , an} est unconcept
semantique
{a1, · · · , an}I = {aI1 , · · · , aIn}
exemple :PACA ≡{DPT 84,DPT 13,DPT 04,DPT 05,DPT 83,DPT 06}
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Les logiques de description de la famille AL
Constructeur
individus relies a un individu specifique par une relation R
syntaxe
R : a
semantique
(R : a)I = {d ∈ ∆| (d , aI) ∈ RI}
exemple :citoyenFrancais ≡ lieuNaissance : France t naturalisePar : France
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Constructeur d’inversion I
syntaxe
R−
semantique
(R−)I = {(y , x)|,(x , y) ∈ RI}
exemples
estComposede ≡ compose−
estRegarde ≡ regarde−
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Les logiques de description de la famille AL
Constructeur de fonctions Frole R comme une fonction
semantique
si (x , y) ∈ RI et (x , z) ∈ RI alors y = z
exemple
HommeMarie ≡ Homme u ∃marieAvec .>
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Constructeur de fonctions Fproprietes
≥ 1R ≡ ∃R.>≥ 0R ≡ >≤ 0R ≡ ∀R.⊥
exemple
T v≤ 1marieAvec
HommeMarie ≡ Homme u ∃marieAvec .>u ≤ 1marieAvec
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Les logiques de description de la famille AL
transitivite des roles
R est transitif
semantique
si (x , y) ∈ RI et (y , z) ∈ RI alors (x , z) ∈ RI
exemples
A u ∃estComposede.(B u estComposede.C ) est subsume parA u estComposede.C
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Les logiques de description de la famille AL
Hierarchie des roles Hsi R et S sont des roles alors R v S est un axiome
semantique
I satisfait R v S ssi RI ⊆ SI
exemple
composant de v partie de
parent de v ancetre de
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
La famille des logiques de description selon leur expressivite
AL : base
ALC : plus expressive
ALC + H + transitivite des roles : logique SHSH + I + F : logique SHIF (base de OWL-Lite)
SH + I + Q : logique SHIQSH + O + I + N : logique SHOIN (base de OWL-DL)
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Figure: source : M. Gagnon
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Exercice ; definition des concepts :
equipe : ensemble de personnes qui compte au moins 2membres
petite equipe : equipe qui compte au plus 5 membres
equipe moderne : equipe qui compte au plus 4 membres, aumoins un chef et dont tous les chefs sont des femmes
concepts primitifs ?
roles ?
hierarchies de concepts et de roles ?
constructeurs de la famille AL a utiliser ?
definition des concepts dans la logique de descriptionadequate ?
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Les logiques de description de la famille AL
Base de connnaissances
TBox : Terminologie
connaissance generique : ontologieO = {C , R, HC , rel , A}
Abox : Assertions
description du monde : ensemble de faitsensemble d’instances
BC = {O, I , inst, instr}
BC = TBoX ∪ ABox
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement
Raisonnement sur les TBox
satisfaisabilite
subsomption
equivalence
exclusion mutuelle
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement
Raisonnement sur les TBox : satisfaisabilite
Un concept est satisfaisable par rapport T ssi il existe I unmodele de T tel que CI 6= ∅si il existe I un modele de T tel que CI 6= ∅ alors I est unmodele de C
Un concept est insatisfaisable par rapport T ssi pour tout Iun modele de T on a CI = ∅
exemples
satisfaisabilite : Homme u ¬Homme?
modele de T : ∆{a, b, c}, HommeI = {a, b},aEnfantI = {(a, b), (a, c)}satisfaisabilite : Homme ?, Femme ?, aEnfant?
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement
Raisonnement sur les TBox : subsomption
Un concept C est subsume par D par rapport a T ssi pourtout I modele de T on a CI ⊆ DI
on ecrit : T |= C v D
exemples
axiome de T : Mere ≡ ∃aEnfant.Personnesubsomption : Mere v Femme?
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement
Raisonnement sur les TBox : equivalence
Deux concepts C et D sont equivalents par rapport a T ssipour tout I modele de T on a CI = DI
on ecrit : T |= C ≡ D
exemples
equivalence : Pere ≡ Homme u ∃aEnfant.Personne ?
equivalence : Humain ≡ Homme t Femme ?
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Raisonnement
Raisonnement sur les TBox : exclusion mutuelle
Deux concepts C et D sont disjoints par rapport a T ssi pourtout I modele de T on a CI ∩ DI = ∅
on ecrit : T |= C u D v ⊥
exemples
disjoints : Pere et Mere ?
disjoints : Celibataire et Pere ?
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Raisonnement
Raisonnement sur les TBox : reduction a l’insatisfaisabilite
Le concepts C est subsume par le concept D par rapport a Tssi C u ¬D est insatisfaisable
Deux concepts C et D sont eqivalents par rapport a T ssiC u ¬D et ¬C u D sont insatisfaisableest insatisfaisables
Deux concepts C et D sont disjoints par rapport a T ssiC u D est insatisfaisable
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement
Raisonnement sur les TBox : elimination de la TBox
procedure de preuve : utilisation de formules independantes detoute terminologie
remplacer tous les termes de la formule par leur definitiondans la terminologie
exemple : TBox : Femme ≡ Personne u Feminin,Homme ≡ Personne u ¬Femme
demontrer l’insatisfaisabilite de : Femme u Homme ?
1) Femme u Homme
2) Personne u Feminin u Personne u ¬Femme
3) Personne u Feminin u Personne u ¬(Personne u Feminin)
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Raisonnement
Raisonnement sur les ABox
coherence (consistency)
validation d’instances (instance checking)
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Raisonnement
Raisonnement sur les ABox : coherence
A une ABox est coherente par rapport a T ssi il existe I unmodele de T qui satisfait A
exemple
TBox : Femme ≡ Personne u Feminin,Homme ≡ Personne u ¬Femme
ABox : A = {Homme(anne),Femme(anne)}coherence de A ?
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Raisonnement
Raisonnement sur les ABox : validation d’instances
A |= C (a) ssi toute interpretation I qui satisfait A satisfaitaussi C (a)
A |= C (a) ssi A ∪ ¬C (a) est incoherent
exemple
TBox : Femme ≡ Personne u Feminin
ABox : A = {Femme(anne)}A |= Feminin(anne) ?
A ∪ ¬Feminin(anne) incoherent ?
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Monde ferme, Monde ouvert
hypothese du monde ferme (clos)
limitation a ce qui est enonce
exemple : ABox : aEnfant(anne, paul)
anne a un seul enfant c’est paul
Logiques de Description : hypothese du monde ouvert
monde ouvert: pas de limitation a ce qui est enonce
exemple : ABox : aEnfant(anne, paul)
rien n’exclut que anne ait d’autres enfants que paul
specifier que anne a un seul enfant : (≤ 1aEnfant)(anne)
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Raisonnement
Inference par methode des tableaux
prouver C v D
C v D ssi C u ¬D est insatisfaisable
un exemple introductif
prouver ∃possede.(Livre u Antiquite) v(∃possede.Livre u ∃possede.Antiquite)
demontrer l’insatisfaisabilite de :∃possede.(Livre u Antiquite)u¬(∃possede.Livre u ∃possede.Antiquite)
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Methode des tableaux
Methode des tableaux
Pour prouver F : construction d’un arbre dont
la racine est etiquetee par ¬Fles noeuds sont etiquetes par des concepts
les successeurs des noeuds sont produits par des reglesd’expansion.
on ajoute � a la fin d’un chemin A si :
C (x) ∈ A et ¬C (x) ∈ AC (x) ∈ A et ¬C (x) ∈ A et (x = y ou y = x)⊥(x) ∈ A
Il existe plusieurs regles d’expansion pour construire les chemins
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Methode des tableaux
A: chemin
Regles pour la logique de description ALCNregle-u
condition :
A contient (C1 u C2)(x) et ne contient pas deja C1(x) et C2(x)
action :
prolongation : A′ = A ∪ {C1(x),C2(x)}
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Raisonnement : Methode des tableaux
A: chemin
Regles pour la logique de description ALCNregle-t
condition :
A contient (C1 t C2)(x) et ne contient aucun des C1(x) et C2(x)
action :
branchement : A′ = A ∪ {C1(x)} et A′′ = A ∪ {C2(x)}
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Methode des tableaux
A: chemin
Regles pour la logique de description ALCNregle-∃
condition :
A contient (∃R.C )(x) et il n’exixte aucun individu z tel queR(x , z) et C (z) sont aussi dans A
action :
A′ = A ∪ {R(x , y),C (y)} ou y est un nom d’individu qui n’existepas deja dans A
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Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Methode des tableaux
A: chemin
Regles pour la logique de description ALCNregle-∀
condition :
A contient (∀R.C )(x) et R(x , y) mais ne contient pasC (y)
action :
A′ = A ∪ {C (y)}
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Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Methode des tableaux
A: chemin
Regles pour la logique de description ALCNregle-≥ n
condition :
A contient (≥ n R.C )(x) et il n’y a pas dans A des individusz1, · · · , zn qui sont tous distincts et qui sont tels que A contient
R(x , zi ) pour tous les individus (1 ≤ i ≤ n)
action :
A′ = A ∪ {R(x , yi ) | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {yi 6= yj | 1 ≤ i < j ≤ n}
Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique
Introductionlogique AL: logique de description de base
Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Methode des tableaux
A: chemin
Regles pour la logique de description ALCNregle-≤ n
condition :
A contient (≤ n R.C )(x) et les enonces R(x , y1), · · ·R(x , yn+1) . Iln’existe aucune identite yi = yj dans A pour (1 ≤ i ≤ n + 1),
(1 ≤ j ≤ n + 1), i 6= j
action :
Pour chaque paire possible (yi , yj) d’individus parmi yi , yn+1 onajoute une nouvelle branche avec yi = yj
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Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Methode des tableaux
Methode des tableaux
exercice
TBox : Parent ≡ ∃aEnfant.>
Montrer par la methode des tableaux :
≥ 2aEnfant v Parent
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Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement : Methode des tableaux
Methode des tableaux
Resultats theoriques
proprietes
terminaison
correction
completude
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Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies
Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement
Raisonnement en logique de description
complexite du probleme de satisfaisabilite
complexite logique de description
PTIME AL, ALNNP-complet ALU, ALUNcoNP-complet ALEPSPACE-complet ALC , ALCN , ALCQIEXP-TIME SHIQ, SHIFNEXP-TIME SHOIQ, SHOIN
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