Post on 18-Apr-2015
Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab
Marco Antonio Montebello Júnior
montebello@facens.br
Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab
Interpolação Polinomial
“Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que
descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do
tipo (x, f(x)).”
Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab
Interpolação Polinomial
Através dos pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)) (n+1
pontos)
Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que: f(xi) = pn(xi) i = 0, 1, 2, ..., n
Onde: pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab
Interpolação Polinomial
Portanto, interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa: Calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma
analítica de f(x); Ajustar uma função analítica aos dados
Podemos concluir que: A interpolação polinomial consiste em obter um
polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {xi,f(xi)}
Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab
Interpolação Polinomial
De maneira que: p(x0) = f(x0)
p(x1) = f(x1) ... p(xn) = f(xn)
Detalhe importante: o índice se inicia em 0 (zero) portanto temos n+1 pontos.
O polinômio p(x) é chamado de polinômio interpolador
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Interpolação Polinomial
Conforme demonstrado podemos escrever:
...
p x a a x a x a x f xn nn
0 0 1 0 2 02
0 0
p x a a x a x a x f xn nn
1 0 1 1 2 12
1 1
p x a a x a x a x f xn n n n n nn
n 0 1 22
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Interpolação Polinomial
Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)}
Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido
A função f(x) não é conhecida
xi 0 1,5 3,0 4,5 6,0
f(xi) 0,001 0,016 0,028 0,046 0,057
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Interpolação Polinomial
0; 0,001
1,5; 0,016
3; 0,028
4,5; 0,046
6; 0,057
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
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Forma de Lagrange
Considere o conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}
Deseja-se obter o polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn
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Forma de Lagrange
Podemos representar pn(x) como:
Onde os polinômios Lk(x) são de grau n
Para cada i a condição pn(xi) = f(xi) deve ser satisfeita
)()()()()()()( 1100 nnn xfxLxfxLxfxLxp
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Forma de Lagrange
Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar:
ikse
iksexL ik ,1
,0)(
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Forma de Lagrange
Portanto, vamos provar a condição imposta:
e
p x L x f x L x f x L x f x
p x f x f x f x
p x f x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1
0 0
1 0 0
p x L x f x L x f x L x f x
p x f x f x f x
p x f x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 1
1 1
0 1 0
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Forma de Lagrange
Ou seja, p(x) passa exatamente sobre {xi,f(xi)}
E, podemos verificar isso facilmente, pois:
L x e
L x se i k
k k
k i
1
0 ,
p x f xi i( ) ( )
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Forma de Lagrange
Uma das maneiras de definir Lk(x) seria:
nkkkkkkk
nkkk xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxL
1110
1110)(
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Forma de Lagrange
Podemos definir o polinômio interpolador na Forma de Lagrange, como:
e p x L x f xn i ii
n
0
L x
x x
x xi
jjj i
n
i jjj i
n
0
0
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Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos
Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)}
Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio
xi x0 x1
f(xi) f(x0) f(x1)
1100
1
0
xfLxfLxfLxpi
ii
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Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos
Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições L0(x0) = 1 L1(x0) = 0
L0(x1) = 0 L1(x1) = 1
Passo 3 – Montar os Li(x), conforme:
L x
x x
x xi
jjj i
n
i jjj i
n
0
0
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Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos
Passo 3 (continuação)...
Passo 4 – Substituir os Li(x) no polinômio p(x)
10
10 )(
xx
xxxL
01
01 )(
xx
xxxL
101
00
10
1 xfxx
xxxf
xx
xxxp
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Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos
Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)}
Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio
xi x0 x1 x2
f(xi) f(x0) f(x1) f(x2)
221100
2
0
xfLxfLxfLxfLxpi
ii
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Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos
Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 L2(x0) = 0
L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 L2(x1) = 0
L0(x2) = 0 L1(x2) = 0 L2(x2) = 1
Passo 3 – Montar os Li(x), conforme:
L x
x x
x xi
jjj i
n
i jjj i
n
0
0
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Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos
Passo 3 (continuação)...
Passo 4 – Substituir os Li(x) no polinômio p(x)
2010
210 xxxx
xxxxL
2101
201 xxxx
xxxxL
1202
102 xxxx
xxxxL
2
1202
101
2101
200
2010
21)( xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxp
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Forma de LagrangeExemplo
Ajustar uma reta aos seguintes pontos:
Passo 1
X 2 4
f(x) 3,1 5,6
1100
1
0
xfLxfLxfLxpi
ii
60,510,3 10 LLxp
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Forma de LagrangeExemplo
Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições L0(x0) = 1 L1(x0) = 0
L0(x1) = 0 L1(x1) = 1
Passo 3 – Montar os Li(x), conforme:
L x
x x
x xi
jjj i
n
i jjj i
n
0
0
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Forma de LagrangeExemplo
Passo 3 (continuação)...
2
4
2
4
42
4)(
10
10
xxx
xx
xxxL
2
2
24
2)(
01
01
xx
xx
xxxL
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Forma de LagrangeExemplo
Passo 4
60,52
210,3
2
4
xx
xp
60,510,3 10 LLxp
)2(80,2)4(55,1 xxxp
60,025,1 xxp
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Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2)
Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro:
Erro absoluto: En(x) = f(x) – pn(x), para todo x no intervalo [x0, Xn]
Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x)
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Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Sejam x0 < x1 < x2 < ... < xn (n pontos) Seja f(x) com derivadas até a ordem n para
todo x pertencente ao intervalo [x0, xn]
Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn
Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro é dado por:
!
)()())()(()()()( 210 n
fxxxxxxxxxpxfxE x
n
nnn
),( , 0 nx xxonde
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Limitante para o Erro
A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f(n)(x) e o ponto x nunca é conhecido.
Agora estudaremos 2 corolários do Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2), que relacionam o erro com um limitante de f(n)(x)
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Limitante para o ErroCorolário 1
Baseados no que foi dito anteriormente, se f(n)(x) for contínua em I=[x0,xn], podemos escrever a relação:
!)())(()()()( 10 n
MxxxxxxxpxfxE nnnn
)( , xfmáxMonde n
Ixn
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Limitante para o ErroCorolário 2
Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja:
x1 - x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = h, Então:
Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x [x0, xn]
n
Mhxpxf n
n
n 4)()(
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Forma de LagrangeExercícios
1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange
x -1 0 1 2
f(x) 1 3 1 1
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Forma de LagrangeExercícios
A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo. Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim
de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3
Tempo(s) 1 3 5 7 13
Vel(cm/s) 800 1310 2090 2340 3180
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Forma de LagrangeExercícios
Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange.
x 11 12 13 14 15
f(x) 2,397895 2,484907 2,564949 2,639057 2,708050