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MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES
INTRODUÇÃO ..................................................................................... 2
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 ...................................... 2
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 2 ...................................... 2
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3 ...................................... 3
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES......................................... 8
REGRA DE CHIÓ ............................................................................... 11
MENOR COMPLEMENTAR ............................................................... 15
COFATOR .......................................................................................... 16
TEOREMA DE LAPLACE .................................................................. 16
RESPOSTAS ..................................................................................... 23
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 23
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2.
CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
INTRODUÇÃO
Toda matriz QUADRADA tem, associada a ela, um numero chamado determinante da matriz obtido por meio de operações que envolvem todos os elementos da matriz. (Dante, 2007). A teoria dos determinantes teve sua origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um instrumento prático para a resolução destes sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1
Sendo A uma matriz de ordem 1 determinada por A = [a11], por definição, o determinante de A é igual ao número a11, ou seja, em uma matriz de um único elemento, o determinante associado a ela será o próprio elemento.
Dadas as matrizes A = [5] e B = [-2] podemos dizer que det A = 5 e que det B = -2.
__________________________
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 2
No caso de matrizes quadradas de ordem dois, calculamos seu determinante fazendo o produto dos termos da diagonal principal menos o produto dos termos da diagonal secundária.,
Assim, dada a matriz
2221
1211
aa
aaA , indicamos seu
determinante por
21212211det aaaaA
ou
21212211
2221
1211 aaaaaa
aa
Ex.1: Encontre o determinante da
matriz
53
71A .
Resolução:
16215735153
71
MATEMÁTICA III 3 DETERMINANTES
Ex.2: Determine x de modo que o determinante da matriz
33
2xxB seja igual a 18.
Resolução:
2
189
1863
1863
1833
2
x
x
xx
xx
xx
Resposta: x = 2
_______________________
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3
Consideremos agora a matriz de
ordem 3 dada por
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M .
O determinante de M é o número:
211233113223312213
322113312312332211
333231
232221
131211
det
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
M
Afim de que possamos obter tal determinante de forma mais prática, vamos conhecer a regra de Sarrus. a) Repetimos ao lado da matriz, as duas primeiras colunas. b) Os termos precedidos pelo sinal + (mais) são obtidos multiplicando-se os termos da diagonal principal e a seguir multiplicando os termos das diagonais que estão nesta mesma direção. c) Os termos precedidos pelo sinal - (menos) são obtidos multiplicando-se os termos da diagonal secundária e a seguir multiplicando os termos das diagonais que estão nesta mesma direção.
d) o determinante é obtido a partir da soma dos 6 valores encontrados.
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
+ + + - - -
33
22
11
aa
a
31
23
12
aa
a
32
21
13
aa
a
31
22
13
aa
a
11
32
23
aa
a
21
12
33
aa
a
CASSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Calcular o determinante da matriz
351
202
514
B
Resolução:
351
202
514
det
B
6det B
___________________________
Existe uma outra forma mais prática de memorizar a Regra de Sarrus. Consiste em acompanhar os caminhos indicados a seguir sem a necessidade de repetir as duas primeiras colunas. Apesar de ser um pouco mais rápida, exige bastante atenção. Observe:
Os termos precedidos do sinal de + (mais) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as trajetórias indicadas.
Já para obter os termos precedidos do sinal de – (menos) devemos seguir estas trajetórias:
Observe que o resultado obtido em cada trajetória é exatamente o mesmo daqueles que encontramos em cada “diagonal” na regra vista anteriormente.
+ + + - - -
51351
02202
14514
0 -40 -6 +0 +2 +50
-40-6+2+50=6
MATEMÁTICA III 5 DETERMINANTES
1) Calcule os determinantes:
a)
2
12
13
b) 511
713
c) 25
13a
2) Calcule os determinantes:
a) yy
xx
cossen
cossen
b) xx
xx
sencos
cossen
c) 2sen3cos21
cos3sen2
xx
xx
3) Calcule os determinantes:
a)
4
1
2
1loglog ba
b) 1
223
42
mm
mmm
CASSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
4) Determine x tal que:
a) 01
232
x
xx
b) 111354
22
xx
xx
5) Calcular os determinantes 3 x 3 a seguir:
a)
110
010
011
b)
152
201
231
c)
245
312
713
MATEMÁTICA III 7 DETERMINANTES
6) Calcular os determinantes:
a)
635
1312
1179
b)
0
0
0
ba
bc
ca
c)
453
2
012
nm
7) Determine x tal que:
a) 0
113
122
1
x
x
xx
b) 0
11
11
11
x
x
x
c) 0
31
42
21
x
x
x
CASSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
8) Determinar x tal que
x
xx
xxx
xx
4
23
213
110
21
.
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 130 – Exercício 04
______________________
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
P1: Fila de Zeros. Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem iguais a zero, seu determinante será nulo.
Ex.1: 050
20
Ex.2: 0
000
232
741
P2: Filas Iguais. Se os elementos correspondentes de duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada forem iguais, seu determinante será igual a zero.
Ex.1: 0
1887
2332
5441
2113
pois a 2ª e 3ª colunas são iguais.
Ex.2: 0
32
701
32
k
k
Pois a 1ª e 3ª linhas são iguais. __________________________
P3: Filas Proporcionais. Se uma matriz quadrada possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo.
Ex.1: 0
264
701
132
Pois a 3ª linha é igual ao produto dos termos da 1ª linha por 2.
Ex.2: 0284
71
pois a 2ª coluna é 7 vezes a primeira.
MATEMÁTICA III 9 DETERMINANTES
P4: Multiplicação de uma fila por uma constante. Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k então seu determinante fica multiplicado por k.
Ex.:
021
235
342
A det A = 55
Multiplicando todos os termos da segunda coluna por 3:
061
295
3122
'A det A’ = 165
Multiplicando todos os termos da 1ª linha de A por 2:
021
235
684
"A det A” = 110.
__________________________ P5: Multiplicação de matriz por um número real. Se uma matriz quadrada de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn.
Ex.:
13det54
21
AA
3255det2520
1055
AA
P6: Determinante da transposta: O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta.
Ex.1:
13det54
21
AA
13det52
41
tt AA
Ex.2:
55det
021
235
342
BB
55det
023
234
152
tt BB
__________________________ P7: Troca de filas paralelas: Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz obtida é oposto ao determinante da matriz original.
Ex.:
021
235
342
A e
021
342
235
B
Note que, de A para B foram trocadas de posição a primeira com a segunda linhas. Temos que 55det A e 55det B .
CASSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
P8: Matriz triangular. O determinante de uma matriz triangular é obtido multiplicando-se todos os termos da diagonal principal.
Ex.1:
36632det
600
230
342
AA
Ex.2:
601345det
1887
0332
0041
0005
B
B
__________________________ P9: Teorema de Binet. Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então o determinante de AB é igual ao determinante de A vezes o determinante de B.
Ex.:
13det54
21
AA
29det31
29
BB
377det54
27
ABAB
3772913detdet BA
P10: Teorema de Jacobi Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formando uma outra matriz B, então det A = det B.
14det45
21
AA
Vamos multiplicar os termos da primeira linha por 3 e somar aos termos correspondentes da 2ª linha:
14det28
21
BB .
Note que BA detdet .
__________________________
P11: Determinante da inversa. Sendo A uma matriz quadrada invertível,
e A-1 sua inversa, então 1det
1det
AA .
Sendo A e sua inversa A-1 indicadas abaixo, observe seus determinantes já encontrados:
2det02
11
AA
2
1det
2
11
2
10
11
AA
MATEMÁTICA III 11 DETERMINANTES
Observe que 1det
1det
AA , ou seja,
um determinante é o inverso do outro.
__________________________
REGRA DE CHIÓ
A Regra de Chió consiste em aplicar algumas operações de forma a reduzir “as dimensões” de uma matriz e, assim, facilitar o cálculo do determinante porém ela é muito prática se o elemento a11 for igual a 1. Se tal termo for diferente de 1, aplicamos uma ou mais propriedades (já vistas) afim de tornar a11 = 1. Siga os passos da Regra de Chió e, em seguida, veja sua aplicação no exemplo.
1. Sendo a11 = 1, suprime-se a primeira linha e a primeira coluna.
2. De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos dois termos suprimidos, na linha e coluna desse elemento restante.
3. Com os resultados das subtrações, obtém-se uma matriz uma ordem menor que a anterior porém com mesmo determinante.
Observe o exemplo a seguir para
entender cada passagem.
Calcule o determinante da matriz
4322
0214
9631
1021
M .
Resolução: Vamos seguir os três passos indicados.
1.
2.
3.
CASSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
A matriz
636
427
1061
tem o
mesmo determinante que a matriz
4322
0214
9631
1021
entretanto, por ser uma
ordem menor, é mais fácil calcular o determinante e podemos fazê-lo utilizando a regra de Sarrus.
9) Encontre o valor do determinante da
matriz
31240
02231
45123
20232
23012
A .
(Dica: Use o Teorema de Jacobi multiplicando a segunda coluna por 1 e somando à primeira coluna. Assim, você terá a11 = 1. Depois aplique a regra de Chió. Na matriz obtida, troque de posição a 1ª com a 2ª linha e aplique novamente Chió. Você chegará numa matriz de 3ª ordem e encontrará o determinante pela regra de Sarrus)
MATEMÁTICA III 13 DETERMINANTES
10) Determine x na equação
16
2000
302
211
000
x
x
x
11) Calcule os determinantes a seguir:
a)
1200
4314
1521
1312
b)
4321
3321
2221
1111
CASSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c)
1100
1300
0032
0021
d)
22310
1514
0003
2312
e)
010
102
111
010
d
c
b
a
f)
101
01
01
0011
x
xx
xx
MATEMÁTICA III 15 DETERMINANTES
MENOR COMPLEMENTAR
Sendo A uma matriz quadrada de
ordem n 2, denomina-se menor complementar de A pelo elemento aij, o determinante Dij associado a matriz quadrada que se obtém de A ao suprimir a linha i e a coluna j onde está o elemento aij. Esse determinante é chamado de Dij.
Sendo a matriz
1010
461
352
A , temos:
a) menor complementar de A pelo termo a21: Vamos eliminar a segunda linha e a primeira coluna.
Assim, temos que
53...101
3521
D
b) Menor complementar de A pelo termo a33.
7...61
5233 D
12) Calcule o MENOR COMPLEMENTAR de cada um dos 9
termos da matriz
383
510
426
K .
CASSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
COFATOR
Sendo A uma matriz quadrada de
ordem n 2, denomina-se cofator de um elemento aij o número real
ij
ji
ij DA
1 onde Dij é o menor
complementar de A pelo termo aij.
Sendo a matriz
1010
461
352
A , temos:
a) cofator de A pelo termo a21:
535311 21
12
21
DA
(nota: Esta matriz A é a mesma do exemplo da
página anterior e 21D já havia sido calculado)
b) cofator de A pelo termo a33.
7711 33
33
33
DA
13) Calcule os cofatores de cada um dos
9 termos da matriz
383
510
426
K .
TEOREMA DE LAPLACE
O determinante associado a uma
matriz quadrada A de ordem n 2 é o número que se obtém pela soma dos produtos de cada termo de uma fila qualquer pelos seus respectivos cofatores. Assim, para calcular o determinante de uma matriz quadrada qualquer, devemos escolher uma linha ou coluna, a seguir encontramos cada um de seus cofatores. Multiplicamos cada cofator pelo seu termo correspondente e somamos estes produtos.
MATEMÁTICA III 17 DETERMINANTES
Acompanhe o exemplo.
Sendo
341
025
132
A , podemos
calcular Adet a partir dos cofatores de
qualquer de suas filas.. Vamos fazer a partir da 1ª linha e a seguir, a partir da 3ª coluna para verificarmos se os resultados obtidos coincidem. 1. A partir da primeira linha temos que
131312121111det AaAaAaA
66134
021
11
11
A
1515131
051
21
12
A
1818141
251
31
13
A
Assim, temos que:
1518115362
det 131312121111
AaAaAaA
2. Agora, a partir da terceira coluna:
333323231313det AaAaAaA
1818141
251
31
13
A
55141
321
32
23
A
1111125
321
33
33
A
1511350181
det 333323231313
AaAaAaA
Observe que, em ambos os casos, 15det A . Esse valor será
encontrado em qualquer fila escolhida e você pode verificar isto. É importante destacar que, nesta segunda escolha, especificamente no
produto 2323 Aa não havia necessidade
de calcular 23A pois, como 023 a , o
produto seria 0 . Devido a isto, quando vamos calcular determinantes usando o teorema de Laplace, é interessante que escolhamos uma fila onde há uma grande quantidade de zeros, assim, reduziremos a quantidade de cálculos.
CASSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
14) Calcule os determinantes a seguir preferencialmente utilizando o Teorema de Laplace:
a)
532
406
123
A
b)
431
531
431
B
c)
642
321
532
C
d)
304
021
153
D
MATEMÁTICA III 19 DETERMINANTES
e)
350
211
124
E
f)
2001
7302
3011
0240
F
g)
6230
1251
3124
0132
G
CASSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
h)
43010
22020
25243
13010
01023
H
15) Provar que
cdbcaba
dcba
ccba
bbba
aaaa
MATEMÁTICA III 21 DETERMINANTES
16) Calcule o determinante
zyx
zyx
coscoscos
sensensen
111
17) Resolver a equação 0
xaaa
axaa
aaxa
aaax
18) Calcule os determinantes:
a)
343125278
492584
7532
1111
CASSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) 222
111
cba
cba
c)
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
___________________ Neste link, você pode acessar um documento com outras informações sobre Determinantes e também sobre nosso próximo conteúdo – Sistemas Lineares http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2015/03/Determinantes-e-sistemas-lineares.pdf
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MATEMÁTICA III 23 DETERMINANTES
RESPOSTAS
1) a) 2
1 b) -12 c) 6a - 5
2) a) yx sen
b) 1 c) xx cos3sen46
3) a) b
a4
log b) 2m
4) a) 2x ou 2
1x
b) 1x ou 2
1x
5) a) 1 b) -9 c) -40
6) a) 121 b) 22 cab
c) 2684 nm
7) a) 2
1x b) 0x ou 1x
c) 0x ou 2x
8) 3
3x
9) -559
10) 2
11) a) 28 b) 1 c) -2 d) -75 e) 3d – 3a f) 1 – x
12) D11=-43 D12=15 D13=-3 D21=-26 D22=30 D23=54 D31=14 D32=30 D33=-6
13) A11=-43 A12=-15 A13=-3 A21=26 A22=30 A23=-54 A31=14 A32=-30 A33=-6 14) a) 10det A b) 0det B
c) 0det C d) 11det D
e) 17det E f) 38det F
g) 13det G h) 144det H
15) Demonstração
16) xzzyyx sensensen
17) aaS ,3
18) a) 236
b) abacbc
c)
abacbcadbdcd
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto;
Matemática, Volume dois. São Paulo,
Atica, 2005.
IEZZI, Gelson e outros;
Matemática, Volume único. São Paulo,
Atual, 2002.
IEZZI, Gelson e outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,
1977.