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7/23/2019 Interpolacion Segmentaria
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Alumno: Jonathan Cronque Jimenez
Materia: Análisis Numérico
Tema: Interpolación Segmentaria.
scuela: Instituto Tecnológico !e stu"ios Superiores !e#amora
Maestro: Ja$ier %ara&as Ace$es
'rupo: (%
Carrera: Ing. lectrónica
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INDICE
Introducción…………………………………………………....3
Desarrollo…………………………………………………….. 4-11
Conclusiones………………………………………………….. 12
Bibliografías……………………………………………………. 12
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INT)*!+CCI,N
Interpolación.
En el sub ca!o ate"tico del an"lisis nu#rico$ se denoina inter!olación a la
obtención de nue%os !untos !artiendo del conociiento de un con&unto discreto de
!untos.
En ingeniería ' algunas ciencias es frecuente dis!oner de un cierto n(ero de
!untos obtenidos !or uestreo o a !artir de un e)!eriento ' !retender construir una función *ue los a&uste.
+tro !roblea estrec,aente ligado con el de la inter!olación es la a!ro)iación
de una función co!licada !or una "s si!le. i teneos una función cu'o
c"lculo resulta costoso$ !odeos !artir de un cierto n(ero de sus %alores e
inter!olar dic,os datos constru'endo una función "s si!le. En general$ !or
su!uesto$ no obtendreos los isos %alores e%aluando la función obtenida *ue
si e%aluaos la función original$ si bien de!endiendo de las características del
!roblea ' del #todo de inter!olación usado la ganancia en eficiencia !uede
co!ensar el error coetido.
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!SA))*--*
Interpolación segmentaria o splines.
En el sub ca!o ate"tico del an"lisis nu#rico$ un s!line es una cur%adiferenciable definida en !orciones ediante !olinoios.
En los !robleas de inter!olación$ se utilia a enudo la inter!olación ediantes!lines !or*ue da lugar a resultados siilares re*uiriendo solaente el uso de!olinoios de ba&o grado$ e%itando así las oscilaciones$ indeseables en la a'oríade las a!licaciones$ encontradas al inter!olar ediante !olinoios de gradoele%ado.
/ara el a&uste de cur%as$ los s!lines se utilian !ara a!ro)iar foras
co!licadas. 0a si!licidad de la re!resentación ' la facilidad de có!uto de loss!lines los ,acen !o!ulares !ara la re!resentación de cur%as en infor"tica$!articularente en el terreno de los gr"ficos !or ordenador .
Tipos
Interpolación con splines "e gra"o .
0os s!lines de grado 1 son funciones !olinoiales de grado 1 ectas de la fora
f)a)5b *ue se encargan de unir cada !ar de coordenadas ediante una recta.
Dados los n51 !untos6
7na función s!line de grado 1 *ue inter!ole los datos es si!leente unir cadauno de los !untos /ar coordenados ediante segentos de recta$ coo seilustra en las siguientes figuras6
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Interpolación con splines "e gra"o 2.
0os !olinoios /) a tra%#s de los *ue construios el !line tienen grado 2. Esto
*uiere decir$ *ue %a a tener la fora /) a)8 5 b) 5 c
Coo en la inter!olación segentaria lineal$ %aos a tener N-1 ecuacionesdonde N son los !untos sobre los *ue se define la función. 0a inter!olacióncuadr"tica nos %a a asegurar *ue la función *ue nosotros genereos a troos conlos distintos /) %a a ser continua$ 'a *ue !ara sacar las condiciones *ue a&ustenel !olinoio$ %aos a deterinar cóo condiciones6
• 9ue las !artes de la función a troos /) !asen !or ese !unto. Es decir$
*ue las dos /n) *ue rodean al f) *ue *uereos a!ro)iar$ sean igual af) en cada uno de estos !untos.
• 9ue la deri%ada en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la
función definida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n.
• Esto sin ebargo no es suficiente$ ' necesitaos una condición "s. ;/or
*u#< =eneos 3 incógnitas !or cada /). En un caso sencillo con f)definida en tres !untos ' dos ecuaciones /) !ara a!ro)iarla$ %aos atener seis incógnitas en total. /ara resol%er esto necesitaríaos seisecuaciones$ !ero %aos a tener tan sólo cinco6 cuatro *ue igualan el /)con el %alor de f) en ese !unto dos !or cada inter%alo$ ' la *uinta aligualar la deri%ada en el !unto co(n a las dos /).
e necesita una se)ta ecuación$ ;de dónde se e)trae< Esto suele ,acerse con el%alor de la deri%ada en alg(n !unto$ al *ue se fuera uno de los /).
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Interpolación con splines "e gra"o /
Cada !olinoio /) a tra%#s del *ue construios los !lines en ?$ n@ tiene grado
3. Esto *uiere decir$ *ue %a a tener la fora /) a)A 5 b)8 5 c) 5 d
En este caso %aos a tener cuatro %ariables !or cada inter%alo a$ b$ c$ d$ ' unanue%a condición !ara cada !unto co(n a dos inter%alos$ res!ecto a la deri%adasegunda6
• 9ue las !artes de la función a troos /) !asen !or ese !unto. Es decir$
*ue las dos /n) *ue rodean al f) *ue *uereos a!ro)iar$ sean igual af) en cada uno de estos !untos.
• 9ue la deri%ada en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la
función definida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n. 9ue la deri%adasegunda en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la funcióndefinida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n.
• Coo !uede deducirse al co!ararlo con el caso de s!lines cuadr"ticos$
a,ora no nos %a a faltar una sino dos ecuaciones condiciones !ara eln(ero de incógnitas *ue teneos.
0a fora de solucionar esto$ deterina el car"cter de los s!lines c(bicos. sí$!odeos usar6
Splines c01icos naturales: 0a fora "s tí!ica. 0a deri%ada segunda de / se,ace !ara el !rier ' (ltio !unto sobre el *ue est" definido el con&unto de!lines$ esto son$ los !untos ' n en el inter%alo ?$n@.Dar los %alores de la deri%ada segunda de ' n de fora :anual:$ en el con&untode s!lines definidos en el inter%alo ?$ n@.acer iguales los %alores de la deri%ada segunda de ' n en el con&unto des!lines definidos en el inter%alo ?$ n@.
Splines c01icos su&etos: 0a deri%ada !riera de / debe tener el iso %alor *ue las deri%ada !riera de la función !ara el !rier ' (ltio !unto sobre el *ueest" definido el con&unto de !lines$ esto son$ los !untos ' n en el inter%alo ?$
n@.
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&emplos&emplo
Interpolación lineal.
Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4
f (1) = 1
f (2) = 0.5
f (4) = 0.25
El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de
oordenadas (1!1) " (2!0.5). #urge un sistema lineal de dos euaiones en dos
in$gnitas%
(1) 1=a+b
(2) 0.5=2a+b
&e (1) se obtiene%
a=1'b ()
eempla*ando () en (2) se obtiene%
0.5=2(1'b)+b
uego
b=1.5
eempla*ando el ,alor de (b) en (1)! se obtiene%
a = ' 0.5
Por lo tanto! se onlu"e -ue% P1(x) = ' 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax +
b deberá unir el segundo punto (2!0.5) on el terer punto (4!0.25). nálogamente a
lo /e/o para P1(x)! en el aso de P2(x) se obtiene%
(1) 0.5 = 2a + b
(2) 0.25 = 4a + b
a = ' 0.125! b = 0.5
F
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uego P2(x) = ' 0.125x + 0.5
&emplo 2
Interpolación Cua"rática.
Calcular la interpolación por splines de grado 2:
Primero -ue nada! ,emos -ue se forman tres inter,alos% ! 4!5! 4! 5!! !3
En ada uno de estos inter,alos! debemos definir una funi$n polinomial de grado 2!omo sigue%
aemos -ue la spline pase por los puntos de la tabla de datos! es deir! se debeumplir -ue%
# ()=2!5s (4!5)=1s ()=2!5
s (3)=0!5
s! se forman las siguientes euaiones%
asta a-u! tenemos un total de 6 euaiones on 3 in$gnitas.El siguiente paso es mane7ar la existenia de las deri,adas ontinuas. En el aso de lassplines de grado 2! neesitamos -ue la spline tenga deri,ada ontinua de orden 8'1=1!es deir! primera deri,ada ontinua.9alulamos primero la primera deri,ada%
G
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:emos -ue esta deri,ada está formada por segmentos de retas! -ue pudieranpresentar disontinuidad en los ambios de inter,alo. Es deir! las posiblesdisontinuidades son x = 5.4 " x = . Por lo tantopara -ue s;(x) sea ontinua! se debe umplir -ue%
<ambin debe umplirse -ue%
s! tenemos un total de > euaiones ,s. 3 in$gnitas? esto nos da un grado delibertad para elegir alguna de las in$gnitas. Elegimos por simple on,enienia a1 = 0.&e esta forma! tenemos un total de > euaiones on > in$gnitas. Estas son lassiguientes%
Este sistema de euaiones tiene la siguiente forma matriial%
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&emplo /
Interpolación Cu1ica.
Construir el spline cubico natural que interpola a partir de los datos:
El sistema es%
Por lo tanto%
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C*NC-+SI*N
En an"lisis nu#rico$ la inter!olación !olinóica es una t#cnica de inter!olación
de un con&unto de datos o de una función !or un !olinoio. Es decir$ dado cierto
n(ero de !untos obtenidos !or uestreo o a !artir de un e)!eriento se
!retende encontrar un !olinoio *ue !ase !or todos los !untos.
%I%-I*')A3IAS
C,a!ra . Canales . J K#todos nu#ricos !ara ingenieros. J Edit. Kc LraM ill.
N.. 1HH4$ 41!
• . ubanell$ . Bensen'$ . Dels,as 1HH3. Útiles básicos de Cálculo
Numérico. 0aborJ/ublicaciones de la 7B.
• ,tt!6JJinter!olacion.MiOidot.coJs!line-teoria
12