Post on 23-Jan-2016
Integración de Redes Bayesianas con Programas
Lógicos para Música
Eduardo MoralesL.Enrique SucarRoberto Morales
Contenido• Introducción • Redes Bayesianas• Redes Bayesianas + nodos
“lógicos”• Ejemplo musical (1)• Redes Bayesianas dinámicas• Ejemplo musical (2)• Conclusiones
Introducción
Una representación en música debe de
incluir:
• Relaciones entre notas, voces, métricas, ...
• Preferencias entre notas, métricas, reglas, ...
Introducción (2)
Una representación natural es:• Lógica de primer orden para
representar relaciones entre objetos musicales
• Distribuciones de probabilidad para expresar preferencias entre objetos musicales
Propuesta:
Utilizar redes Bayesianas para expresar
preferencias musicales y extenderlas con
lógica de predicados para expresar
relaciones
Redes Bayesianas
• RB son una herramienta poderosa para tratar incertidumbre
• Utilizan una representación gráfica de dependencias entre variables aleatorias– Nodos: variables proposicionales
– Arcos: dependencias probabilísticas
Redes Bayesianas (2)
• RB representan relaciones de independencia condicional. Por ejemplo, E es independiente de {A,C,D} dado {B}
Redes Bayesianas (3)
• Mecanismo de Razonamiento: propaga evidencia (variables conocidas) a través de la red hasta obtener probabilidades posteriores (de variables desconocidas)
• Expresividad: RB están limitadas a un formalismo proposicional
Propuesta
• Extender redes Bayesianas con “nodos lógicos” (representados por cuadrados) en donde sea fácil expresar relaciones
• Los nodos lógicos pueden ser cláusulas de Horn arbitrarias
Ejemplo:
Z puede ser:• Binario (T ó F): relación(X,Y)• Multivaluado: relación(X,Y,Z)
Razonamiento
• La distribución de probabilidad de “z” depende de los valores de “x” y “y”, y de que la relación “R” se satisfaga o no para esos valores
x y
dxxdyPyPyxRzP )()(),()(
Razonamiento (2)
Considerando variables discretas:
Para obtener la distribución deprobabilidad de “z” tenemos queevaluar la relación para todos losposibles valores no instanciados de “x” y “y”
x y
yPxPyxRzP )()(),()(
Ejemplo (2)
Supongamos:
6.0)( 4.0)(
:1 Si
6.0)2( 3.0)3(
4.0)0( 7.0)1(
),(
falsezPtruezP
x
yPxP
yPxP
yxyxrelz
Ejemplo (3)
42.0)( 58.0)(
:asdesconocidson y Si
7.0)( 3.0)(
:2 Si
0.0)( 0.1)(
:0 ó 3 Si
falsezPtruezP
yx
falsezPtruezP
y
falsezPtruezP
yx
Razonamiento (3)
Alternativamente, podemos: (i) calcular fuera de línea la relación para
todos los posibles valores de las variables involucradas
z=true x=1 x=3
y=0 1 1
y=2 1 0
z=false x=1 x=3
y=0 0 0
y=2 0 1
Razonamiento (4)
(ii) Construir un nodo determinístico
(iii) incluirlo directamente en una RB
Razonamiento (5)
• La estrategia “en línea”:– Evalua solo las filas y columnas de las
variables desconocidas– Puede ser útil cuando el tamaño de la
tabla de probabilidad condicional es “muy grande”
– Se puede utilizar con variables continuas usando técnnicas de muestreo sobre distribuciones de probabilidad
Razonamiento (6)
• La estrategia “fuera de línea”:– Está limitada a variables discretas con
tablas de probabilidades condicionales “pequeñas”
– Se calcula solo una vez y puede utilizarse con cualquier herramienta de RB
Ejemplo musical (1)
Para aplicar esta representación a análisis de contrapunto, tenemos que tener:
1. Distribuciones de probabilidad (expresando preferencias) sobre:
• Notas de cantus firmus
• Reglas de contrapunto
• Métricas
Ejemplo musical (2)
2. Relaciones entre notas (considerando
métricas) expresando las reglas de
contrapunto
3. Distribuciones de probabilidad sobre
las notas de contrapunto
Ejemplo Musical
(3)
Representación Temporal
• En música es importante representar relaciones temporales
• En redes Bayesianas dinámicas, los valores de ciertas variables en un tiempo pueden afectar los valores de otras variables en tiempos futuros
Representación Temporal (2)
Ejemplo Musical (4)
En nuestro ejemplo musical repetiríamos
la misma estructura N-1 veces, donde N
es el número de notas en el cantus firmus
Ejemplo Musical (5)
Ejemplo Musical (6)
Capacidades de la Representación
• La red se puede usar para análisis musical, p.ejem., estimar las reglas de contrapunto más probables
• Conociendo las notas de contrapunto, estimar los valores más probables del cantus firmus y de las reglas utilizadas
Capacidadesa de la Representación (2)
• La red puede usarse para generar música siguiendo las distribuciones de probabilidad y las relaciones expresadas en ella
• Se pueden “abstraer” redes en nodos sencillos
Capacidad de Abstracción
Conclusiones
• Relaciones y preferencias musicales pueden ser representadas extendiendo redes Bayesianas con nodos “lógicos”
• La representación puede servir para análisis y composición musical
Trabajo Futuro
• Probar la propuesta con un ejemplo musical “grande”
• Extender la representación a variables continuas con técnicas de muestreo
• Aprender la red a partir de datos musicales y conocimiento del dominio