Post on 21-Jan-2016
description
1
Ingenjörsmetodik IT & ME 2010• Föreläsare Dr. Gunnar Malm
2
Frågor från förra gången
• ?
3
Dagens föreläsning F14
Symbolisk matematik ‘för problemlösning’ i Matlab kap 7 EKM
1. Symboliska variabler2. Symboliska uttryck3. Symboliska ekvationer
4
Bra Matlab-kommandon
’...’ används för att definiera de symboliska uttrycken
Sym()SymsSolveSimplify eller simplePoly2symDiff (int)
5
Valda exempel
• Numerisk derivering från gammal tenta
• Ekvationssystem som uppstår vid dimesionsanalysen
• Sammansatt fel dvs Gauss formel• Ytterligare en variant av MK-metoden
6
Numerisk derivering
Uppgift 1 (5p) Vad är den matematiska innebörden av följande matlab-kod.
a) Förklara i några enkla meningar med sådana matematiska termer som använts i kursen.
b) Rita noggrant (med ca 10 x-värden) upp den figur som anges av de två plot-kommandona.
h=0.01; x=1:1:180; w=x/180*pi; plot(x,sin(w),'r.-') hold on plot(x,(sin(w+h)-sin(w))/h,'b.-')
7
Numerisk deriveringLösningsförslag: Koden genomför en numerisk derivering enligt ekv 3.1 i boken ’IngMet’. Ett litet steg h väljs för att få ett exakt värde på differenskvoten.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sinuskurva
cosinuskurva
8
Numerisk vs symbolisk
• Funktionen sin(x) kan även hanteras symboliskt
>> diff('sin(x)')
ans =
cos(x)
9
Dimensionsanalys
• Vid dimensionanalys se föreläsning 2 uppstår ekvationssystem
• Repetera ett exempel och lös sedan systemet symboliskt
10
Dimensionsanalys
• Ställ upp ett uttryck• Inför beteckningarna för dimensioner• Förenkla• T1L0M0=kMxLy(LT-2)z
T 1=-2z
L 0=y+z
M 0=x
z=-1/2, y=1/2
zyx gLkmt
gLkt
11
Dimensionsanalys
>> [v1 v2 v3]=solve('1=-2*z','0=y+x','0=x')
v1 =
0
v2 =
0
v3 =
-1/2
12
Sammansatt fel med Gauss formel• Repeterar först metoden• Presenterar sedan hur den
genomförs symboliskt
13
Exempel Gauss formel
• I vårt exempel är F restiden t, • x vägsträckan s och• y bilens hastighet v• Dvs:
2 2
2
, ,
, ,1,
t s v t s vs v
s v
t s v t s v s
s v v
ss vt t
v
v
t
14
Exempel Gauss formel• Vi kanske kör med 70 km/h med en
osäkerhet på 20 km/h• Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet
på 5km • Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SI-
systemet för kommande beräkning?
70 /
20 /
30
5
v km h
v km h
s km
s km
15
Exempel Gauss formel2 2
2
2 2
2
1
1 305 20
0.15 8min 3
7
0
0 70
ss v
v
h
tv
s
Minsta värde 16.7 min
’Medelvärde’ 25.7 min
Största värde 42 min
min4250
35min,7.16
90
25min,7.2560
70
30,
v
st
16
Alternativ metod
min1.62381.07.252381.0
ut lös 2381.030
5
70
5
tt
ts
s
v
v
t
t
• Lägg ihop de relativa osäkerheterna
17
Exempel Gauss formel
• Finns två formler som är användbara om man är ’osäker’ på partiella derivator, funkar nästan alltid!
• För en summa av potenser
• För en produkt av potenser 21 11 1 2 2
2
1
2
2
2
2
1
a bF
F
F
Aax x Bbx x
x xa
xb
x
Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar
18
Exempel Gauss formel
• Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade?
• SVAR: produkt av potenser
2
2
222
22
22
11
11
v
vs
v
s
v
vt
s
stt
v
v
s
s
v
v
s
s
t
t
vsv
st
19
Hur kan Gauss formel användas• För en ingenjör gäller att kraven på
’produkten’ måste uppfyllas• Detta ska göras på ett sätt som är
pålitligt och inte för komplicerat
20
Hur kan Gauss formel användas
• Tag en radiomottagarkrets i en mobiltelefon som exempel
• I 3G gäller det att ställa in rätt frekvens, med hjälp av en induktans (spole) och en kapacitans (kondensator)
• http://www.umtsworld.com/umts/faq.htm• Värdet på L och C bestäms av kretsens
layout och varierar något
LCf
2
1 1920-1980 and 2110-2170 MHz Frequency Division Duplex (FDD, W-CDMA, channel
spacing is 5 MHz and raster is 200 kHz.
21
Hur kan Gauss formel användas
VCC
• Layout och kretsschema
Spolar
Kondensatorer
22
Hur kan Gauss formel användas
• Givna värden för frekvensen
• Detta kan uttryckas som 8% variation och är inte tillräckligt bra eftersom kanal-separationen ska vara bara 5 MHz!
MHz 6171GHz 17160083501005472
eller 0835.00.102
01.0
6.02
01.0
2
1
2
1
Hz10054721060100102
1ger
pF 1.00.10
nH 1.06.0
9
22
22
9
912
....
C
C
L
L
f
Δf
...π
f
C
L
23
Symbolisk Gauss-formel
syms F C L
syms deltaF deltaC deltaL
F=sym(1/sqrt(L*C)/2/pi)
deltaF=sqrt((diff(F,C)*deltaC)^2+(diff(F,L)*deltaL)^2)
subs(deltaF/F,{L, C, deltaL, deltaC},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e-12})
subs(deltaF,{L, C, deltaL, deltaC},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e-12})
syms deltaS deltaV
syms s v
F2=s/v
deltaF2=sqrt((diff(F2,s)*deltaS)^2+(diff(F2,v)*deltaV)^2)
pretty(ans)
pretty(deltaF2)
24
m
ii
m
ii yxbam
11
m
iii
m
ii
m
ii yxxbxa
11
2
1
Ekvationssystem från MK-metoden• Linjärt ekvationssystem för a och b kan
lösas efter Algebrakursen...• Eller med symbolisk lösning...
25
2
11
2
111
2
1
m
ii
m
ii
m
ii
m
iii
m
ii
m
ii
xxm
xyxxy
a
2
11
2
111
m
ii
m
ii
m
ii
m
ii
m
iii
xxm
xyyxm
b
Exempel på symbolisk lösning• A och b – ges av ekvationer, inte siffror/värden
00293.08641172708
86499.1941172704414.1
8228
1
8
1
2
8
1
8
1
8
1
28
1
ii
ii
ii
iii
ii
ii
xx
xyxxy
a
00164.08641172708
8644414.199.1948
8
8
228
1
8
1
2
8
1
8
1
8
1
ii
ii
ii
ii
iii
xx
xyyx
b
26
MK symbolisk matlab-kodsyms a b x y
linje=a+b*x
mk=sum(y-linje)
mk
xdata=[0.9 1.8 2.5 3 3.7 4.2]';
ydata=[2.1 6.0 12.2 20.9 40.6 65.9]';
xdata
ydata
e1=sum(mk^2)
e2=diff(e1,a)
e3=diff(e1,b)
e4=subs(e2,{x,y},{xdata,ydata})
e5=subs(e3,{x,y},{xdata,ydata})
e6=sum(e4)
e7=sum(e5)
[u v]=solve(e6,e7)
double(u)
double(v)
plot(xdata,ydata,'r.')
27
Nästa föreläsning
• Repetion