Infiltração e Água no SoloProf. Benedito C. Silva

IRN / UNIFEI

Adaptado de Walter Collischonn

HidrologiaMMC44 - Modelagem e Simulação Computacional em Recursos Hídricos

Camada impermeável

Zona saturada

Zona não saturada

Poros ocupados por ar e água(água do solo)

Poros ocupados por água(água subterrânea)

Infiltração

Percolação

Água do solo x água subterrânea

Águ

a do

sol

o x

águ

a su

bter

râne

a

• O solo é uma mistura de materiais sólidos, líquidos e gasosos.

• Na mistura também encontram-se muitos organismos vivos (bactérias, fungos, raízes, insetos, vermes)

Composição dos solos

Composição do soloComposição dos solos

• Normalmente analisada do ponto de vista do diâmetro das partículas que compõe o solo:

Diâmetro (mm) Classe

0,0002 a 0,002 Argila

0,002 a 0,02 Silte

0,02 a 0,2 Areia fina

0,2 a 2,0 Areia grossa

Parte sólida do solo

Textura do solo

Textura do soloTextura (português) Textura (inglês)

Arenosa Sandareia franca Loamy sand        

franco arenosa Sandy loam          

franco siltosa Silt loamfranca Loam            

franco argilo arenosa Sandy clay loam  

franco argilo siltosa Silty clay loam

franco argilosa Clay loam        

argilo arenosa Sandy clay        

argilo siltosa Silty clay            

argila Clay                

Siltosa Silt

Armazenamento de água no soloConceitos importantes para entender o armazenamento de água no solo:

• Porosidade• Capilaridade• Retenção de água no solo• Potencial mátrico

Porosidade• Volume total do solo = volume de sólidos + volume de poros

• Porosidade = volume de poros / volume total

PST VVV

T

P

VV

Valores típicos:• Areia: 0,37 a 0,50• Argila: 0,43 a 0,52

Porosidade

Armazenamento• Conteúdo de água no solo em volume

• Na situação em que todos os poros do solo estão ocupados pela água o solo é denominado saturado. Neste caso, o valor do conteúdo de água no solo é máximo, e q é igual a . Portanto, o máximo conteúdo de água no solo é igual à porosidade.

T

A

VV

q

q

Solo seco• Na condição de solo completamente seco todos os poros

estariam ocupados pelo ar, e o valor de q seria zero. • Entretanto, isto raramente acontece, porque a água é

fortemente atraída pelas partículas e pelos poros dos solos, devido as forças de adsorção e capilaridade.

Retenção de umidade no solo• O solo pode ser entendido de uma forma simplificada como

uma esponja, ou papel de filtro, que tem capacidade de reter a água.

• Há duas forças principais que atuam no sentido de reter a água nos poros dos solos:

• as forças capilares• as forças de adsorção

Capilaridade• As forças capilares ocorrem como consequência da tensão

superficial da água interagindo com as paredes dos poros.

Tubos capilares exercem sucção por causa da tensão superficialPoros do solo podem exercer o mesmo efeitoQuanto menor o diâmetro dos poros, maior é o efeitoGranulometria mais fina = poros menores = mais capilaridade

Adsorção• As forças de adsorção estão relacionadas a cargas eletrostáticas

atuando entre as partículas do solo e as moléculas de água, ou de íons presentes na água, e resultam na manutenção de um filme muito fino de água sobre as partículas do solo.

Tensão mátrica• As duas forças (capilar e adsorção) atuam no sentido de reter

a água no solo e é praticamente impossível avaliar separadamente cada uma delas.

• Assim, normalmente se refere à força de retenção de água no solo como a força mátrica, ou potencial mátrico de um solo.

• Tem unidades de pressão (N/m2)

Medição de tensão• Tensiômetro

Bulbo cerâmico

Curva de retenção de umidade• Para uma amostra de solo o potencial

mátrico normalmente varia com o conteúdo de água do solo, e esta relação é, normalmente, determinada de forma experimental.

• Solos mais secos apresentam um potencial mátrico maior (exercem maior sucção sobre a água) do que solos mais úmidos.

• A função que relaciona as duas variáveis é a curva de retenção de umidade, ou curva de retenção de água no solo

• Umidade do solo varia ao longo do tempo.• Para retirar a umidade do solo:

• Por gravidade• Por sucção

Umidade do solo

Hornberger et al., 1998 – Elements of physical hydrology

• Saturação: condição em que todos os poros estão ocupados por água

• Capacidade de campo: Conteúdo de umidade no solo sujeito à força da gravidade

• Ponto de murcha permanente: umidade do solo para a qual as plantas não conseguem mais retirar água e morrem

Umidade do solo

Condutividade de água em condição de saturação

• Movimento da água em meios porosos

Experimento de Darcy

Experimento de Darcy

xhAK

LhhAKQ 21

K = propriedade do material = condutividade hidráulica saturada

• Q = fluxo de água (m3/s)• A = área (m2)• H = carga (m)• L = distância (m)• K = condutividade hidráulica (m/s)

Fluxo da água em meios porosos saturados

LHAKQ

Condutividade de água em condição de saturação

• Solo arenoso: 23,5 cm/hora

• Solo siltoso: 1,32 cm/hora

• Solo argiloso: 0,06 cm/hora

Movimento no meio não saturado• A equação de Darcy foi desenvolvida para

fluxos de água em meios porosos saturados.• Nos solos, entretanto, a situação mais comum

é que o meio não está saturado. • Neste caso, a condutividade hidráulica é uma

função do conteúdo de água no solo. • Além disso, a carga hidráulica deve ser

expressa como uma combinação do potencial gravitacional e potencial mátrico.

• A equação de Darcy com estas adaptações é, por vezes, denominada equação de Darcy-Buckingham.

zzKq

q

xhKq

saturado

não saturado

Movimento no meio não saturado• A condutividade hidráulica em condições não

saturadas é menor do que a condutividade hidráulica saturada

A equação de Richards• Combinando a equação de Darcy

• Com a equação da continuidade para um pequeno volume de solo:

• Pode-se chegar à equação de Richards:

• Que descreve o fluxo da água em meios porosos não saturados.

0zq

t

q

xhKq

1

zK

ztqq

Equação de Richards

• Fortemente não linear• Soluções analíticas apenas em casos simplificados• Normalmente são usadas soluções numéricas

1

zK

ztqq

Exemplo solução numérica da equação de Richards

• Baseado em trabalho de Rodrigo C. D. Paiva• Coluna de solo de 2 m• Cond Contorno base = saturado• Cond. Contorno topo = fluxo de infiltração• Evapotranspiração nos primeiros 50 cm• Textura argilosa

0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47-200

-150

-100

-50

0

Umidade

z (m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

q

z (m

)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

5

1020,10 h

0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47-200

-150

-100

-50

0

Umidade

z (m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

q

z (m

)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

5

1039,19.5 h

0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47-200

-150

-100

-50

0

Umidade

z (m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

q

z (m

)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

5

1052,26 h

0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47-200

-150

-100

-50

0

Umidade

z (m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

q

z (m

)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

5

1076,38 h

0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47-200

-150

-100

-50

0

Umidade

z (m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

q

z (m

)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

5

10305,152.5 h

0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47-200

-150

-100

-50

0

Umidade

z (m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

q

z (m

)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

5

10348,174 h

Valores negativos = fluxo ascendente

0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47-200

-150

-100

-50

0

Umidade

z (m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

q

z (m

)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

5

10413,206.5 h

Valores negativos = fluxo ascendente

0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47-200

-150

-100

-50

0

Umidade

z (m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

q

z (m

)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

5

10569,284.5 h

Valores negativos = fluxo ascendente

Equação de Richards

• Muito interessante• Difícil solução, mesmo usando métodos

numéricos• Solos reais não são meios porosos perfeitos• Macro-porosidades, heterogeneidade das

camadas, etc.

Balanço hídrico no solo

ETGQPV

• V = variação de volume de água armazenada no solo;

• P = precipitação;• Q = escoamento superficial;• G = percolação;• ET = evapotranspiração

V

Considere uma camada de solo de 1 m de profundidade cujo conteúdo de umidade é 35% na capacidade de campo e de 12% na condição de ponto de murcha permanente. Quantos dias a umidade do solo poderia sustentar a evapotranspiração constante de 7 mm por dia de uma determinada cultura?

Exercício

Infiltração de água no solo• Uma chuva que atinge um solo

inicialmente seco será inicialmente absorvida totalmente pelo solo, enquanto o solo apresenta muitos poros vazios (com ar).

• Nesta condição, o potencial mátrico do solo é muito alto, e a água da chuva é absorvida muito rapidamente.

• À medida que os poros vão sendo preenchidos, a infiltração tende a diminuir, estando limitada pela capacidade do solo de transferir a água para as camadas mais profundas.

Taxa de infiltração e capacidade de infiltração

• A taxa de infiltração é a quantidade de água que penetra no solo ao longo do tempo.

• Normalmente a taxa de infiltração é expressa em unidades de mm.hora-1.

• A máxima taxa de infiltração que um solo pode ter é definida como sua capacidade de infiltração.

• A capacidade de infiltração varia ao longo do tempo.

Anéis concêntricos

Desenho

Medição da capacidade de Infiltração

Capacidade de infiltração• A capacidade de infiltração de

água no solo varia de acordo com a umidade do solo.

• Em solos secos a capacidade de infiltração é, normalmente, bastante alta.

• À medida em que o solo vai ficando úmido, no entanto, a capacidade de infiltração diminui.

tefcfofcf

fo = 50 mm/hora fc = 4 mm/hora

Modelo de capacidade de infiltração de Horton

tefcfofcf

• f = taxa de infiltração (mm/hora)• fc = taxa de infiltração em condição de saturação

(mm/hora)• fo = taxa de infiltração inicial (mm/hora)• t = tempo (minutos)• = parâmetro que deve ser determinado a partir

de medições no campo (1/minuto)

Equação de Horton

Infiltração conforme o tipo de solo

Uma camada de solo argiloso, cuja capacidade de infiltração na condição de saturação é de 4 mm.hora-1, está saturado e recebendo chuva com intensidade de 27 mm.hora-1. Qual é o escoamento (litros por segundo) que está sendo gerado em uma área de 10m2 deste solo, considerando que está saturado?

Exercício

Uma medição de infiltração utilizando o método dos anéis concêntricos apresentou o seguinte resultado. Utilize estes dados para estimar os parâmetros fc, fo e da equação de Horton.

ExercícioTempo (min) Total Infiltrado (mm)

0 0,0

1 41,52 60,43 70,4

4 76,05 82,66 90,87 97,1

8 104,09 111,710 115,1

15 138,120 163,324 180,8

Modelo de capacidade de infiltração de Green e Ampt• Esta equação está baseada

numa visão simplificada do processo de infiltração de água no solo.

• O processo de infiltração idealizado por Green e Ampt é de uma frente de molhamento abrupta.

• A frente de molhamento abrupta separa o solo saturado (acima) do solo relativamente seco abaixo.

Green e Ampt• O modelo de infiltração de

Green e Ampt descreve o processo de avanço da frente de molhamento ao longo do tempo.

• A profundidade L da frente é relacionada ao tempo do processo de infiltração t.

• O solo tem uma porosidade e um conteúdo de umidade inicial qi.

Green e Ampt• Considerando válido o avanço

idealizado da frente abrupta de molhamento, a lâmina total infiltrada F pode ser relacionada à profundidade da frente L pela equação:

qq LLF t

Green e Ampt

• onde F(t) é a lâmina total infiltrada desde o início do processo (mm); L é a profundidade atingida pela frente de molhamento (mm); é a porosidade do solo; q é o conteúdo de umidade do solo no início do processo de infiltração (adimensional); q é o déficit inicial de umidade do solo em relação à saturação.

qq LLF t

Green e Ampt• A mesma frente de

molhamento pode ser analisada considerando válida uma aproximação por diferenças finitas da lei de Darcy, aplicada desde a superfície do solo até a frente de molhamento:

zhKf t

Lh sendo então

LLKf t

Onde f é a taxa de infiltração (ou derivada de dF/dt)

Green e Ampt• Combinando

• Com

• Chega-se a:

• Considerando que f=dF/dt

FFKf t

q

LLKf t

qq LLF t

FFK

dtdF q

Green e Ampt• A solução da equação diferencial:

• É:

FFK

dtdF q

tKF

1lnF tt

q

q

Green e Ampt• onde • é o potencial mátrico (mm); • t é o tempo (horas); • K é a condutividade hidráulica

(mm.hora-1); • F(t) é a lâmina total infiltrada

desde o início do processo (mm);

• q é o déficit inicial de umidade do solo em relação à saturação (adimensional).

tKF

1lnF tt

q

q

Considerando conhecidos os valores de , K, t e q a equação acima pode ser resolvida iterativamente por um método numérico como o método de Newton. Alternativamente pode ser usado o Solver do Excel ou um método de busca de raizde uma calculadora.

Green e AmptEncontrado o valor de F(t), pela equação anterior, o valor de f(t) pode ser obtido por:

FFKf t

q

Idealmente, os valores de e K deveriam ser obtidos por ensaios de campo no local que se deseja aplicar o modelo de Green Ampt.

Entretanto, isso nem sempre é possível. Alguns valores, obtidos a partir de análises de diferentes solos dos EUA pode ser utilizados como base, conforme tabela a seguir.

Parâmetros para Green e AmptTextura (português)

Textura (inglês)

Arenosa Sandareia franca Loamy sand    

   

franco arenosa Sandy loam          

franco siltosa Silt loam

franca Loam            

franco argilo arenosa

Sandy clay loam  

franco argilo siltosa

Silty clay loam

franco argilosa Clay loam        

argilo arenosa Sandy clay        

argilo siltosa Silty clay            

argila Clay                

Siltosa Silt

Textura Porosidade -

Porosidade efetiva - qe

Potencial mátrico -

mm)

Condutividade hidráulica - K

(mm.hora-1)

Arenosa 0,437 0,417 49,5 117,8Areia Franca

0,437 0,401 61,3 29,9

Franco Arenosa

0,453 0,412 110,1 10,9

Franca 0,463 0,434 88,9 3,4Franco Siltosa

0,501 0,486 166,8 6,5

Franco argilo arenosa

0,398 0,330 218,5 1,5

Franco argilosa

0,464 0,309 208,8 1,0

Franco argilo siltosa

0,471 0,432 273,0 1,0

Argilo arenosa

0,430 0,321 239,0 0,6

Argilo siltosa

0,479 0,423 292,2 0,5

Argilosa 0,475 0,385 316,3 0,3

Green e Ampt

Parâmetros para Green e AmptTextura (português)

Textura (inglês)

Arenosa Sandareia franca Loamy sand    

   

franco arenosa Sandy loam          

franco siltosa Silt loam

franca Loam            

franco argilo arenosa

Sandy clay loam  

franco argilo siltosa

Silty clay loam

franco argilosa Clay loam        

argilo arenosa Sandy clay        

argilo siltosa Silty clay            

argila Clay                

Siltosa Silt

Textura Porosidade -

Porosidade efetiva - qe

Potencial mátrico -

mm)

Condutividade hidráulica - K

(mm.hora-1)

Arenosa 0,437 0,417 49,5 117,8Areia Franca

0,437 0,401 61,3 29,9

Franco Arenosa

0,453 0,412 110,1 10,9

Franca 0,463 0,434 88,9 3,4Franco Siltosa

0,501 0,486 166,8 6,5

Franco argilo arenosa

0,398 0,330 218,5 1,5

Franco argilosa

0,464 0,309 208,8 1,0

Franco argilo siltosa

0,471 0,432 273,0 1,0

Argilo arenosa

0,430 0,321 239,0 0,6

Argilo siltosa

0,479 0,423 292,2 0,5

Argilosa 0,475 0,385 316,3 0,3Tabela 7.2

Green e Ampt e método de Newton

• onde • é o potencial mátrico (mm); • t é o tempo (horas); • K é a condutividade hidráulica

(mm.hora-1); • F(t) é a lâmina total infiltrada

desde o início do processo (mm);• q é o déficit inicial de umidade

do solo em relação à saturação (adimensional).

tKF

1lnF tt

q

q

Considerando conhecidos os valores de , K, t e q a equação acima pode ser resolvida iterativamente por um método numérico como o método de Newton. Alternativamente pode ser usado o Solver do Excel ou um método de busca de raizde uma calculadora.

Método de Newton-Raphson

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicial

Método de Newton-Raphson

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicialderivada

Método de Newton-Raphson

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicialderivada

Método de Newton-Raphson

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

derivada

Método de Newton-Raphson

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Método de Newton-Raphson

• Por série de Taylor

Rnhxfhxfhxfxfxf iiiii

...

!3)(

!2)()()()( 32

1

iiiii xxxfxfxf 11 )()()(

ii xxh 1se então

Método de Newton-Raphson

• Por série de Taylor

)()(

1i

iii xf

xfxx

iiiii xxxfxfxf 11 )()()(

0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é a raiz)

Método das Secantes• Um possível problema do

método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.

• Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(

Método das Secantes

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

f(x)

xTentativa inicial

secante

Método das Secantes

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

f(x)

xTentativa inicial

secante

Exemplo Green e Ampt• Considere um solo de textura argilo-arenosa. Calcule a

capacidade de infiltração usando o modelo de Green e Ampt em incrementos de 6 minutos até uma duração total de 2 horas. Considere que o solo encontra-se com uma saturação relativa de 25%.

0,06

FFKf t

q(Eq. 7.13)

Exemplo Green e Ampt