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MELFIIncontro

27 GIUGNO 2012

Le trasformazioni geometriche(teorie-esperienze)

annarita.monaco@tin.it

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Trasformazioni nella scuola dell’infanzia

• Nell’esperienza quotidiana i bambini vengono a contatto e sperimentano numerose trasformazioni geometriche

• Hanno intuizioni geometriche sorprendenti e non solo di tipo topologico

• Intuiscono i concetti di distanza,forma e uguaglianza nel senso metrico tradizionale

• Quando si ha una trasformazione geometrica si rilevano proprietà che cambiano e altre che non cambiano (varianti e invarianti)

• Alla scuola dell’infanzia spetta il compito di rendere i Alla scuola dell’infanzia spetta il compito di rendere i bambini consapevoli di questo ricco patrimonio di bambini consapevoli di questo ricco patrimonio di intuizioni, valorizzandolo e consolidandolointuizioni, valorizzandolo e consolidandolo

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Esperienze

• Obiettivo: Stimolare nei bambini l’idea di proprietà (di un oggetto, di una figura), per scoprire ciò che varia e ciò che non varia (in una traslazione,in una trasformazione topologica…)

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Riproduzione di semplici modelliRiproduzione di semplici modelli

• Proponiamo situazioni didattiche che sviluppino esperienze e comportamenti già presenti a scuola o nell’attività spontanea dei bambini; predisponiamo la seguente attività:

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• Prepariamo tessere di 6 cm di lato

• Poniamole su un tavolo, intorno al quale sono disposti i bambini; giochiamo con loro. Nascono casualmente una, due, più figure…(una sedia, un cagnolino,una casetta…)

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La figura diventa un modello; i bambini ne tentano la riproduzione su un geopiano a struttura reticolare. (vedi slide).In questo caso non proponiamo una figura come modello, ma il contorno di una figura delimitato con un elastico oppure una fettuccia colorata da riempire usando solo tessere quadrate, poi anche triangolari (slide)

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• Cosa sperimentano i bambini in queste esperienze?

• Organizzano la visione spaziale• Collocano e orientano alcune fondamentali

relazioni spaziali• Sperimentano il concetto di estensione estensione

superficialesuperficiale (scoprono per esempio che occorrono due tessere triangolari per formare una tessera quadrata e che la tessera quadrata ha l’estensione di 2 tessere triangolari accostate)

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• Dopo aver effettuato numerose esperienze con modelli tridimensionali, possiamo proporre attività analoghe sul foglio quadrettato.

A)Chiediamo ai bambini di riprodurre il modello colorando le regioni definite dai lati di ciascuno dei quadretti di cui è formata la figura;

B)Una volta colorati tutti i quadretti, si ripassa il contorno

E poi?E poi?

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• ALTRE ESPERIENZE SULLE TRASFORMAZIONI

• I bambini di 3-6 anni hanno già avuto modo di sperimentare diversi tipi di trasformazione nello spazio: un veicolo che si sposta su una strada rettilinea, una ruota che gira intorno al suo asse, l’ingrandimento di una fotografia, una figura disegnata su un palloncino…

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• Proprio per questo tali esperienze vanno riprese nella scuola, con le cautele necessarie e nei modi adatti.

• Essenziale è che in ogni esperienza i bambini riescano a rilevare le proprietà delle figure considerate, riflettendo su ciò che è cambiato e su ciò che è rimasto invariato

• Alcune proposte di lavoro

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• Stiracchiare• Su un foglio di gomma

disegniamo contorni di figure, con linee aperte e linee chiuse

• I bambini provano a stiracchiare il foglio di gomma in vari modi e osservano ciò che cambia e ciò che rimane invariato

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• I bambini si coinvolgono ancora di più quando proviamo a disegnare su un palloncino…

• 1) tracciamo su un grande palloncino una figura, ad esempio un castello (se il castello può essere un elemento motivante in quel momento)

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• Prima di gonfiare il palloncino…• PREVEDIAMO cosa succederà…• Il castello diventa gonfio…• Diventa storto…• …Ciccione…• La porta diventa più grande• Anche le finestre…

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• Il castello è a gambe all’aria• Ha cambiato forma• I merli hanno cambiato forma• Ma la porta non è aperta• E le finestre neppure…• (I bambini rappresentano

graficamente l’esperienza…)

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• Il percorso sul reticolo deformato

1. Proponiamo ai bambini un paesaggio stilizzato ed essenziale, tracciato su un foglio quadrettato

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• Indichiamo con istruzioni verbali : • Un quadretto verso il basso, 3

quadretti verso destra…• la strada da tracciare per andare

da un punto all’altro: • dal castello alla casa, dalla chiesa

alla stazione…

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• Chiediamo:• Se il foglio di carta

diventasse un foglio di gomma?E se la stiracchiassimo?

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• Cominciamo con il tracciare su questo un elemento del primo disegno,tracciando il percorso seguendo le indicazioni desunta dal primo disegno, e così via tutti gli elementi del paesaggio.

• Cosa ottengono i bambini?

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• Le figure ottenute dai bambini sono OMEOMORFE: mediante una trasformazione si possono trasformare l’una nell’altra, come ad esempio un quadrato in un cerchio

• I bambini hanno la possibilità di rilevare e descrivere le proprietà che cambiano , e quelle che non cambiano in una trasformazione topologica, di applicare i concetti di direzione e verso, di utilizzare le competenze acquisite nel conteggio, di mettere alla prova le loro capacità di orientamento

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• I bambini cercano di descrivere le nuove figure ottenute:

• I triangoli e i quadrati diventano ora lunghi, ora magri; i lati vengono chiamati strade storte o a curve. Non dispongono ancora di un dizionario con termini più specifici: regione, confini,arco. Cercano di descrivere la realtà con quanto hanno a disposizione.

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Le omotetie• L’idea di ingrandimento e di

rimpicciolimento di figure che conservano la forma originaria sono già presenti nell’esperienza dei bambini, quando si mette un’immagine sotto la lente di ingrandimento o quando si proietta una diapositiva.

• In sezione proponiamo altre esperienze utilizzando il foglio quadrettato.

• Diamo un esempio:

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• Presentiamo l’attività creando un contesto costituito dalla storia dei nani di Mantova, così come è stata raccontata da Gianni Rodari. I nani, quando hanno il coraggio di ribellarsi alle angherie del Duca. Diventano grandi e devono, tra l’altro, cambiare i mobili (il letto,il tavolo, le sedie…)delle loro case; anche i mobili dovranno essere di maggiori dimensioni

• Inizialmente partiamo da figure molto semplici; eventualmente tracciamo già una parte della figura.

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Rispecchiare…

• Ci sono trasformazioni ottenute con movimenti rigidi, che lasciano immutate tanto la forma quanto le dimensioni (isometrie)

• Già conosciamo le classiche esperienze quali le macchie di colore, i piegamenti di fogli di carta…

• Molto importanti sono i giochi con lo specchio: guardandosi allo specchio o guardando allo specchio figure e oggetti, i bambini rilevano che solo l’orientamento cambia, mentre tutto il resto resta invariato

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Dai giochi classici alle rappresentazioni libere

• Conosciamo il gioco motorio dei bambini che si fanno da specchio

• Molto più avanti:proponiamo il gioco dello specchio burlone: diamo ai bambini delle immagini e chiediamo di individuare errori di simmetria (usano termini adeguati a loro)

• Osserviamo la figura:

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• Lasciamo poi che siano i bambini stessi a creare i giochi e a

risolverli

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Nel disegno mostrato il piccolo autore del disegno si è creato il gioco e lo ha risolto:

ha tracciato l’asse di simmetria, le due strade, le due auto; poi ha messo in evidenza con una freccia e con delle croci, gli errori allo specchio.

Consideriamo che questa prestazione non è stata in alcun modo sollecitata, ma è scaturita solo dall’interesse suscitato dai giochi proposti prima

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• Dalla scuola dell’infanzia alla scuola primaria

• (ma il passaggio non è poi così definito)

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Le isometrie

• Le trasformazioni geometriche fanno si che si guardi alla geometria in una visione dinamica, staccata dagli schemi euclidei

• Si parla di isometrie, cioè di quelle trasformazioni che conservano la distanza (dal greco iso “uguale” e métron “misura”)

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• Le isometrie ci sono suggerite dall’idea di quei movimenti rigidi, cioè di quei movimenti che si eseguono facendo scorrere (traslazione), e ruotare (rotazione), o ribaltare (simmetria) una figura, e con essa il piano a cui appartiene, lasciandola inalterata

• La geometria del movimento è vicina alla sensibilità dei bambini, alla quotidianità

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Le simmetrie• Prendiamo coscienza della specularità del

corpo umano (si tratta di un vissuto importante sul quale fondare i processi di astrazione necessari al concetto di simmetria)

• Il corpo è costituito da due parti uguali per forma, con molte funzioni in comune, ma i movimenti hanno verso opposto

• Il piano ideale è individuato dalla retta associata alla colonna vertebrale e dal punto associato alla punta del naso

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Attività con il corpo• Proponiamo esercizi relativi alla mobilità

dell’asse corporeo (testa, torace-dorso,bacino) e alla mobilità degli arti (braccia e gambe)

• Facciamo eseguire gli esercizi in diverse posizioni: quadrupedia, seduti, eretti, coricati, in modo tale che il bambino prenda coscienza che il proprio corpo è costituito da un tronco piuttosto rigido e dagli arti che si possono muovere, indipendentemente dal tronco, in molti modi

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Dalla posizione eretta, spingere torace e bacino contro la parete, poi staccarli. Importante accompagnare le attività fisiche con la verbalizzazione da parte degli alunni in quanto percepito a livello corporeo. Quali parti del corpo premono sul pavimento? Cosa succede alle braccia se il busto si flette in avanti?...

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• Poi possiamo proporre spostamenti lungo l’asse di equilibrio o lungo una striscia di adesivo incollata sul pavimento, o anche spostamenti su sagome di impronte di mani o di piedi situati sui lati dell’asse e della striscia. Meglio contestualizzare gli esercizi, per motivare sfide e giochi.

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Giochi corporei di simmetria• Nel gioco delle belle statuine, nel

quale si richiede di tenere una posizione per un certo intervallo di tempo, possiamo sollecitare gli alunni ad assumere posizioni simmetriche o asimmetriche rispetto l’asse corporeo, oppure passare dall’una all’altra

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PASSAGGIO DAL VISSUTO ALLA RAPPRESENTAZIONE

• Per stimolare il passaggio dal vissuto alla rappresentazione della simmetria corporea, proponiamo ai bambini:

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• la costruzione di figure umane con arti in posizione simmetrica o non simmetrica, con materiali come bastoni e mattoncini e poi con la rappresentazione grafica

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La simmetria negli indumenti• Sottoponiamo all’osservazione dei bambini gli

indumenti più diffusi, con immagini tratte da cataloghi.

• Non sempre comunque in essi è rispettata la simmetria;

• possiamo anche proporre loro di rilevare eventuali particolari che rendono un capo di abbigliamento non simmetrico, nonostante lo sia la forma, come è il caso delle magliette con scritte.

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I giochi a specchio

• Facciamo porre ciascun alunno davanti ad uno specchio che ne rimandi la figura intera e chiediamo a un compagno di descrivere come è l’immagine riflessa rispetto al soggetto reale.

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Nel caso dello specchio…

• Non si hanno due metà, ma una coppia distinta di enti

• Diamo comandi del tipo: chiudi l’occhio destro, alza il braccio sinistro, e chiediamo ai bambini di descrivere i movimenti della

corrispondente immagine riflessa

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Simmetria sul pavimento• Predisponiamo un pavimento tutto ricoperto di mattonelle,

eventualmente create con fogli

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• Facciamo rilevare la posizione del soggetto e quella dell’immagine rispetto allo specchio stesso

• Per esempio possiamo appoggiare un foglio di carta da pacchi suddiviso in caselle, poniamo lo specchio; facciamo posizionare in modo simmetrico due bambini (A e B) mentre un terzo (C) si pone in linea con lo specchio

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• Esempio di svolgimento del gioco: A esegue uno spostamento rispetto a C; B deve eseguire lo spostamento di due caselle verso destra

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• Attività analoghe possiamo svolgerle su reticolo anziché su griglia: muovendosi cioè sui lati anziché nelle celle

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Osservazione di simmetrie• Osserviamo l’ambiente

circostante per individuare oggetti costituiti da due parti simmetriche rispetto a un piano: strutture architettoniche,animali, stemmi, pavimenti, mattonelle…

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Aspetti particolari…

• Quando osserviamo simmetrie, precisiamo quali sono gli aspetti che prendiamo in considerazione: la forma, la struttura, la disposizione dei colori; per esempio a volte il colore condiziona la percezione della simmetricità di quanto osservato, pur non avendo un significato geometrico.

• I bambini devono comunque intuire che ciò che rende due figure simmetriche sono figure uguali in tutto, ma una è rivolta nel verso opposto all’altra, alla stessa distanza dallo specchio o dall’asse di simmetria.

• Bibliografia: Gilardi M. (a cura di) (1986), Ritmi e simmetrie, Bologna, Zanichelli

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Realizzazione di figure attraverso la manipolazione

• Fin dai 7-8 anni possiamo svolgere le seguenti attività:• Le macchie con i colori a tempera:

• Attività classica per ottenere figure simmetriche nella forma, di fantasia: non sempre il colore può essere simmetrico.

• Iniziamo con una macchia di un solo colore sulla piegatura di un foglio di carta ;

(quando si preme sulla macchia di colore, si ottieneUna figura complessiva, se la macchia è stata estesa

per tutta la piegatura)Due figure distinte, se la macchia non è stata estesa.(l’uso di più colori aumenta l’effetto coreografico)

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Il ritaglio Pieghiamo in due parti un foglio ed eseguiamo un taglio

che abbia gli estremi sulla piegatura, ma non vada lungo la linea.

• Quando apriamo il foglio ci rendiamo conto che per ottenere motivi simmetrici è necessario che il taglio vada effettuato su entrambi i lembi sovrapposti del foglio

• Possiamo avere due casi:1) la figura iniziale ha punti sulla linea di piegatura:

otteniamo una sola figura di cui quella data è la metà2)La figura iniziale non ha punti sulla linea di piegatura;

si ottengono due figure separate l’una dall’altra; simmetrici la coppia di fori lasciata sul foglio

• Possiamo piegare più volte su se stesso il foglio e ottenere effetti diversi rispetto al tipo di piegatura: figure traslate o ruotate rispetto a quella data

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L’uso dello spillo

• Procediamo in modo analogo a quanto detto per il ritaglio, ma il contorno, interno o esterno, della figura da riprodurre è punteggiato

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• Con questa tecnica possiamo far riflettere gli alunni sul fatto che, mentre per ottenere una figura curva dobbiamo essere fedeli all’originale e usare molti punti, per ottenere un segmento basta che segniamo pochi punti o addirittura sono gli estremi del segmento, e poi congiungiamo le tracce lasciate con matita e righello.

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• Nota bene:• Le attività descritte sono da eseguire

con le mani, ma è importante che siano accompagnate con domande stimolo agli alunni, affinchè essi siano consapevoli del significato geometrico delle loro azioni, le chiariscano e si esprimano in modo sempre più proprio dal punto di vista disciplinare

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La carta quadrettata

• Con la carta quadretta possiamo realizzare figure simmetriche:

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• Disegna• l’animale• simmetrico• rispetto a

quello dato

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Le simmetrie assiali

• Consegniamo griglie predisposte sulle quali sia evidenziata una linea della griglia, come asse di simmetria

• Giochiamo in coppie:

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• Giochiamo in coppie:• Un bambino posiziona un

segnaposto in corrispondenza di un nodo del reticolo

• Un altro bambino posiziona un altro segnalino in posizione simmetrica

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Come si procede…• Chiediamo ai bambini di far evidenziare i

nodi con lo stesso simbolo per entrambi i giocatori

• I bambini denominano con le lettere i punti corrispondenti (es. : A e A’)

• Suggeriamo di rappresentare la corrispondenza tra i punti attraverso una sorta di rappresentazione sagittale tra i nomi dei punti, così da rafforzare l’idea che una simmetria assiale consente di stabilire una relazione tra punti, non uno spostamento da un punto all’altro

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Poi…• Evidenziamo i segmenti che hanno per

estremi le coppie di punti simmetrici• Rileviamo il parallelismo reciproco,

verificando con striscioline di carta o con strumenti da disegno, la perpendicolarità all’asse di simmetria.

• Effettuiamo le esperienze anche su fogli non quadrettati

• Usiamo il compasso per misurare la lunghezza dei segmenti che uniscono i punti simmetrici (come confrontatore di medesime lunghezze)

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Una scheda tipo• Luca progetta il suo giardino all’italiana; al centro

c’è un vialetto che lo percorre da un capo all’altro e che rappresenta l’asse di simmetria nella disposizione delle piante. Cosa non va? Perché?

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Studio di figure rispetto alle simmetrie

• E’ importante rilevare simmetrie in figure piane, in quanto permette di ridurre l’analisi a una sola metà e di ricondurla ad altre note.

• In problemi di area, per esempio:

Si vuole determinare l’area del seguente esagono concavo:

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Non vi è alcuna formula…• E’ necessario scomporre la figura in parti

poligonali. Tracciando l’asse di simmetria, l’esagono risulta suddiviso in due parallelogrammi, per i quali è noto il calcolo dell’area

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Studio dei poligoni rispetto agli assi di simmetria

Attraverso attività manipolatorie innanzitutto gli alunni possono effettuare numerose scoperte in merito alle simmetrie nei poligoni. Tali scoperte vanno supportate con discussioni, verbalizzazioni, riflessioni.

Pian piano i bambini devono giungere a rilevare che:

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La presenza di assi di simmetria non dipende dal numero dei lati né dalla convessità o concavità del poligono.

Non basta avere lati o angoli congruenti per possedere un asse di simmetria (vedi parallelogramma)

Non esistono poligoni che hanno un numero di assi di simmetria inferiore di 1 rispetto al numero di lati

I poligoni che hanno un numero di assi di simmetria uguale al numero dei lati sono tutti e soli i poligoni regolari

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Classificazione dei quadrilateri per la simmetria

• Quadrilateri privi di assi di simmetria

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Quadrilateri con un solo asse di simmetria

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Con due assi…

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Con quattro assi…

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Le traslazioni• La traslazione e la rotazione sono le

trasformazioni geometriche più identificate con i movimenti fisici che le materializzano

• E’ fondamentale l’esperienza fisica del movimento per portare gli alunni ad intuire concetti come quelli di direzione, verso, angolo, assunti come primitivi nell’insegnamento della geometria dai 6 agli 11 anni

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Tuttavia…

• Nella trattazione delle trasformazioni si deve progressivamente astrarre dagli enti fisici a quelli ideali.

• Dal movimento alla corrispondenza, grafica e poi verbale

• Dal linguaggio comune a quello specifico

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Il gioco

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• I quattro cantoni• Individuiamo un rettangolo sul

pavimento della palestra• Quattro alunni si dispongono ai quattro

vertici• Un bambino al centro• I bambini ai vertici si scambiano di

posto, muovendosi sui lati del rettangolo; il bambino al centro cerca di occupare uno dei vertici

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La verbalizzazione del gioco

• Da quale posizione sei partito?• In quale direzione ti sei spostato?• Verso cosa ti sei spostato?• In quale posizione sei arrivato?

• Possiamo chiedere ai bambini anche di quanto ognuno si è spostato, prendendo come unità di misura le mattonelle

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La rappresentazione grafica• Si utilizzano frecce per indicare gli spostamenti

eseguiti: una freccia dà informazioni sia sulla direzione che sul verso (indicato dalla punta) ed anche sulla distanza percorsa

• Un movimento fisico è traslazione quando ogni parte dell’oggetto non cambia la sua posizione rispetto alle altre (movimento di scorrimento, trascinamento, sollevamento…su traiettorie rettilinee)es.: trenino, macchina

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In palestra

• Su un tappetino facciamo sedere un alunno

• Fissiamo una corda e trasciniamo il bambino con la corda

• Pensiamo ancora ad altre esperienze fisiche geometrizzabili con le traslazioni:

• Scivolamento nel pattinaggio su ghiaccio;sci; slitta; ascensore; funivia…

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Osserviamo• Motivi decorativi, facciate…

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Figure traslate e strumenti

• Su un piano mettiamo farina bianca• Appoggiamo una squadra e su un

suo lato una sagoma di cartone• Tenendo ferma la squadra facciamo

scorrere la sagoma di cartone (nella farina rimane la traccia dello spostamento)

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Con il ritaglio…• Otteniamo la figura traslata di un’altra, quando pieghiamo un

foglio in un numero di parti pari, lungo linee parallele: una figura e

la sua successiva sono simmetriche; le figure in ordine

alterno sono l’una traslata dell’altra.

• (laboratorio)

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Esempio

I soldatini in posizione dispari sono il traslato del precedente (vettore orizzontale verso destra lungo 5 cm)

I soldatini in posizione pari sono corrispondenti nella stessa traslazione

Il soldatino in posizione dispari e quello in posizione precedente o successiva sono tra loro simmetrici

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Traslazione e quadretti• Pensiamo alle cornicette• Abituano i bambini ad una corretta utilizzazione dello

spazio, ad applicare ritmi, ad utilizzare strumenti,a realizzare disegni periodici

• L’uso della carta quadrettata favorisce l’applicazione della traslazione:

• Stessa linea, stessa direzione (orizzontale o verticale)

• Stessa quantità di lati quadretto• I bambini colgono: una figura traslata è uguale in

tutto alla prima (nella simmetria la figura rimane “storta”, nella traslata rimane dritta)

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Un problema

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Esempio: esercizio guidatoLaura ama mandare molte lettere vere, nonmail, ai suoi amici, su carta che lei stessa decora. Laura lavora così:disegna lungo il bordo sinistro del foglio alcune figure

che vuole riprodurre; Laura prima racchiude tra due rette parallele il disegno,

poi prende un foglio di carta velina, lo appoggia su ogni figura e la ripassa.

Poi fa scivolare la carta velina in modo che la figura resti tra le due rette parallele e , quando raggiunge l’altra posizione, con uno spillo punteggia la figura. Infine toglie la velina e ripassa con una matita la traccia lasciata.

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Consegna

• Chiediamo ai bambini di procedere nello stesso modo in cui ha operato Laura; lasciamoli liberi di decidere di quanto vogliano far scivolare la carta velina, prima di punteggiare il disegno.

• Invitiamoli ad inventare altri disegni di fantasia.

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Altro problema• Gianni e Luca hanno visto al cinema un

film: una tempesta sospingeva delle barche sull’acqua. Dopo la visione del film, provano a riprodurre su carta quadrettata quanto hanno visto nel film-

• Gianni immagina che il forte vento abbia sospinto le barche in direzione orizzontale e verso destra; ma la lunghezza del percorso non è stato lo stesso per tutte: Luisa si è spostata di 15 lati quadretto, Caterina di 17 lati quadretto

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Il seguente disegno mostra le barche nella posizione iniziale; disegnale nella posizione finale

Luisa

Caterina

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Altre domande

• Invitiamo i bambini ad indicare con A’, B’, C’, D’ i punti corrispondenti dei punti A,B,C,D e di congiungere ogni punto al punto corrispondente. Chiediamo:

• Che direzione ha la freccia che congiunge A con A’? Che verso ha? Che lunghezza ?

• Che direzione ha la freccia che congiunge C con C’? Che verso ha? Che lunghezza?

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Un altro problema

• Giada sogna di essere in una bellissima isola e di prendere l’elicottero per tornare in continente.

• (vedi figura slide successiva)• Solleva la sagoma dell’elicottero

verticalmente di 15 lati quadretto.

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• Invitiamo i bambini a riprodurre i camioncini nella posizione finale occupata alla fine della manovra (devono guardare le frecce)

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Domandiamo• In che direzione avviene lo spostamento

del camioncino 1? In che verso?Di quanti lati quadretto?

• In che direzione avviene lo spostamento del camioncino 2? In che verso? Di quanti lati quadretto?

• In che direzione avviene lo spostamento del camioncino 3? In che verso? Di quanti lati quadretto?

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Ancora• Invitiamo a

disegnare ogni pesce nella sua posizione finale, seguendo le istruzioni della freccia

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Definizione costruttiva di una traslazione

• Gli alunni dovranno acquisire:• Le rette individuate da un punto e dal suo

traslato sono tra loro parallele e hanno la stessa direzione della freccia

• Ogni segmento ha come primo punto estremo un punto assegnato e secondo punto un suo traslato;

• HA lo stesso verso della freccia o del comando verbale

• -la lunghezza è uguale a quella della freccia o a quella data verbalmente

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Un gioco

• Lavoriamo in coppie• Ogni coppia ha a sua disposizione:• un geopiano• un dado a forma di tetraedro (con le

facce: verticale alto, verticale basso, orizzontale alto, orizzontale basso )

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Svolgimento del gioco• Con una cordicella un giocatore forma sul geopiano

un poligono.• Il secondo giocatore lancia il dado tetraedrico per

conoscere direzione e verso della traslazione e i dadi classici per la quantificazione dello spostamento (unità di misura è la distanza tra due chiodini)

• Se i comandi lo consentono il giocatore deve traslare la figura con un’altra cordicella; se non glielo consentono fa una penitenza

• Altri bambini possono controllare se il secondo poligono sul piano è corretto.

• Se la mossa è corretta possiamo far riflettere i bambini sulle relazioni tra la figura iniziale e quella traslata:i lati corrispondono alla stessa lunghezza? E gli angoli?

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Analisi delle proprietà di figure traslate

• Quanto abbiamo affermato per le invarianti di una simmetria assiale vale, a maggior ragione, per le traslazioni; non solo una figura e la sua corrispondente sono uguali dal punto di vista metrico, ma anche nell’orientamento

• L’unica differenza tra una figura e la sua traslata è la posizione nel piano; per rilevare tale invarianza dobbiamo porre l’attenzione non solo sulle due figure ma sui rapporti che esse hanno con gli altri enti del piano. Per questo motivo è importante fissare nel piano un reticolo avente per coordinate coppie di numeri naturali, per indurre gli allievi a cogliere i cambiamenti nelle coordinate

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Osserviamo

• La traslazione di vettore v, per esempio, equivale all’applicazione dell’operatore +5 all’ascissa di ogni punto del piano

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Esercizio• Chiediamo ai bambini di

osservare la figura rappresentata nel sistema di riferimento

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Chiediamo

• Di scrivere le coordinate dei vertici assegnati e poi di applicare all’ascissa l’operatore indicato dalla freccia:

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Chiediamo ai bambini:

Rappresenta nel riferimento i punti A’, B’, C’, D’ e congiungi tali punti in ordine.

Com’è la figura che hai ottenuto rispetto a quella data?

Proponiamo ora un secondo esercizio:

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Poniamo le stesse domande poste in precedenza.

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Le rotazioni

• La sperimentazione motoria e manipolatoria di movimenti rotatori fa parte dell’esperienza quotidiana di ogni alunno

• Numerosi i giochi in palestra che fanno compiere spostamenti sui traiettorie circolari

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Il gioco dell’orologio

• Due alunni hanno in mano una corda tesa, ciascuno ha un estremo della corda; altri bambini sono disposti in ordine sparso nella stanza. Uno dei due allievi, sia A, sta fermo, mentre l’altro si muove attorno ad A, mantenendo tesa la corda. I compagni che si trovano sulla traiettoria della corda devono abbassarsi al suo passaggio

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La rotazione del corpo• Assumiamo come riferimento quello dato

dalle quattro pareti dell’aula• Chiediamo al bambino di ruotare di un

quarto di giro in senso orario, di due quarti di giro in senso antiorario (angolo piatto), di tre quarti di giro…

• Osservando la realtà circostante vediamo molte situazioni legate al moto rotatorio: battenti di porte,finestre,girandole,ruote, lancette di orologi, elicotteri…

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• Nota bene:• Operiamo una distinzione tra le rotazioni

che avvengono intorno ad una retta, come quella della porta e quelle che possono essere rappresentate intorno a un punto, come la lancetta di un orologio

Ci sono altre situazioni nelle quali non c’è movimento, ma vi sono proprietà legate alla rotazione, come negli esempi che seguono:

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Se consegniamo…• ciascuna delle immagini precedenti ai

bambini in un formato quadrato, essi si rendono conto che nel tenerle in mano non c’è una posizione che possa essere definita dritta e una contraria; comunque si gira il foglio, l’immagine è sempre la stessa.

• Dunque può essere pensata ottenuta dalla rotazione attorno a un punto di una sua parte, fino a descrivere un intero giro.

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Da sperimentare in forma laboratorialePer realizzare figure ruotate possiamo utilizzare lucidi,

spilli, forbici

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• Una volta piegato il foglio, la riproduzione della figura data può essere ottenuta o punteggiandone il contorno con uno spillo oppure ritagliano lungo il contorno.

• Molto pratico è l’utilizzo di fogli di lucidi e carta velina: si sovrappone il lucido o la velina sul foglio e lo si fissa con uno spillo posto nel centro di rotazione. Su di esso si ricalca la figura da ruotare, poi si ruota attorno al centro il lucido o la velina, quanto è necessario. Si ripassa la copia della figura, interponendo la carta copiativa o la si punteggia: ciò che viene riprodotto sul foglio di partenza è la figura ruotata rispetto a quella assegnata

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Scheda: Osserva le coppie di bandierine: in ognuna, una bandierina corrisponde all’altra in una rotazione

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Studio di figure piane rispetto alle rotazioni

• Osserviamo immagini di rosoni, di motivi decorativi, stemmi, simboli, forme della natura. Vediamo che esistono configurazioni, non necessariamente circolari che, se fatte ruotare intorno a un centro fissato e con un’ampiezza opportuna, rimangono uguali a se stesse, si sovrappongono a se stesse. Facciamo tracciare linee che suddividono la figura complessiva nelle parti componenti, in modo da rilevare che gli angoli:

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• Hanno il vertice nel centro di rotazione• Sono uno consecutivo all’altro• Hanno la stessa ampiezza• Formano l’angolo giro• Se portiamo i bambini a ragionare

possiamo rilevare che le ampiezze degli angoli nelle diverse immagini sono sempre particolari: 90°, quando la figura è composta da quattro settori; 72° quando la figura è composta da cinque settori…

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Attività con moduli decorativi• Proponiamo attività di ricostruzione di un’immagine

dotata di simmetria rotazionale a partire da un modulo iniziale

• Possiamo proporre di effettuare la riproduzione con spilli,veline, carta copiativa

• Più agile può essere fotocopiare l’immagine, inserita nell’angolo, in modo tale che gli alunni debbano solo ritagliare i diversi settori e incollarli di seguito con il vertice in comune

• L’uso della fotocopiatrice, con rapporto di riproduzione 100% conferisce una prova che in una rotazione tutte le proprietà metriche di una figura si conservano.

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Attività con i poligoni• Prendiamo come modulo iniziale un

poligono, come centro di rotazione il vertice di un suo angolo interno, la cui ampiezza sia un divisore di 360°.I poligoni che si ottengono sono possono essere di diversi tipi: concavi, convessi, con o senza assi di simmetria

• Hanno tutti un centro, inteso come punto privilegiato che può essere assunto come centro delle rotazioni:

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Esempi

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La rotazione di un triangolo isoscele con angolo al vertice di 72° attorno a tale vertice genera un pentagono regolare, dato che per completare l’angolo giro è necessario applicare per cinque volte consecutive la rotazione di ampiezza 72°, nello stesso verso

Il pentagono regolare non ha centro di simmetria, in quanto tra le rotazioni nessuna ha ampiezza 180°, dato che 72° non è sottomultiplo di 360°

La rotazione di un triangolo isoscele con angolo al vertice di 30° attorno a tale vertice genera un dodecagono regolare, dato che per completare l’angolo giro è necessario applicare dodici volte consecutive la rotazione di ampiezza 30°, nello stesso verso. Il dodecagono regolare ha centro di simmetria in quanto 30 è un divisore di 180

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Scheda• Chiediamo ai bambini di evidenziare la parte

che può generare l’intera figura; poi di segnare il centro di rotazione. Infine invitiamoli a ritagliare ogni immagine e a inserirla nella zona giusta della tabella (vedi slides successive)

• (per individuare il centro di rotazione può essere di aiuto la forma quadrata in cui è contenuta ogni figura)

• n.b.: nel quadrato il centro di rotazione si individua con facilità, in quanto è il punto di intersezione delle diagonali

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• Le illustrazioni sono tratte dal testo:• “La scoperta del pentagono e la scoperta

del quadrato”, a cura di Bruno Munari (1981), Zanichelli, Bologna.

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Trasformazioni per risolvere problemi

• La maestra Linda consegna delle figure ai suoi alunni, per poterle frazionare (in mezzi, in quarti…)Ma i bambini potranno utilizzare solo righello e matita. Dunque chiede ai bambini di mettere da parte quella che sono facilmente frazionabili.

• Quali figure sceglieranno i bambini? Perché?

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Simmetrie per le aree

• Invitiamo i bambini ad osservare i seguenti poligoni, a descrivere le proprietà e a tracciare tutti i possibili assi di simmetria

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Conosci una formula che ti fa calcolare l’area del poligono?

Traccia gli assi di simmetria del poligono

Utilizzando la suddivisione della figura, indica con una crocetta a cosa corrisponde l’area del poligono:

Area di un trapezio

Somma dell’area di un triangolo con quella di un rettangolo

Doppia area di un rettangolo

Conosci una formula che ti fa calcolare l’area del poligono?

Traccia gli assi di simmetria del poligono

Utilizzando la suddivisione della figura, indica con una crocetta a cosa corrisponde l’area del poligono:

Area di un triangolo

Differenza tra aree di due triangoli

Metà area di un rettangolo

Doppia area di un triangolo

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Conosci una formula che ti fa calcolare l’area del poligono?

Traccia gli assi di simmetria del poligono

Utilizzando la suddivisione della figura, indica con una crocetta a cosa corrisponde l’area del poligono:

Area di un esagono

Doppia area di un parellogramma

Area di un trapezio

Area di un triangolo più area di un rettangolo

Conosci una formula che ti fa calcolare l’area del poligono?

Traccia gli assi di simmetria del poligono

Utilizzando la suddivisione della figura, indica con una crocetta a cosa corrisponde l’area del poligono:

Somma area di un rettangolo con quella di due triangoli

Area di un esagono

Quadruplo area di un trapezio

Doppia area di un trapezio

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Trasformazioni per classificare

• Osserva le figure, traccia gli assi di simmetria e inserisci nella zona giusta del diagramma di Carroll, dopo aver contrassegnato ogni figura con una lettera diversa

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Grazie per l’attenzione!

Annarita Monaco

annarita.monaco@tin.it