Il teorema di Il teorema di

PitagoraPitagora

Osservando un Osservando un pavimento…pavimento…

TEOREMA DI PITAGORA:TEOREMA DI PITAGORA:In un triangolo rettangoloIn un triangolo rettangolola somma delle aree dei la somma delle aree dei

quadratiquadraticostruiti sui cateticostruiti sui cateti

è uguale all’area del è uguale all’area del quadrato quadrato

costruito sull’ipotenusa.costruito sull’ipotenusa.

Ma sarà vero Ma sarà vero

per per qualsiasiqualsiasi triangolo? triangolo?

??

Dimostrare Dimostrare un teorema… un teorema…

… o fare un puzzle?… o fare un puzzle?

Una dimostrazione Una dimostrazione del teorema di del teorema di

PitagoraPitagora- Primo Metodo - Primo Metodo

“Puzzle” -“Puzzle” -

Un’altra Un’altra dimostrazione dimostrazione del teorema di del teorema di

PitagoraPitagora- Secondo Metodo - Secondo Metodo “Puzzle” -“Puzzle” -

Prolunghiamo il lato orizzontale superiore del quadrato costruito sul cateto maggiore

Prolunghiamo il lato verticale destro del quadrato costruito sul cateto minore, fino ad incontrare il segmento precedentemente costruito

Tracciamo la parallela al cateto maggiore a partire dal vertice in alto a destra, fino ad incontrare la perpendicolare

Misuriamo la lunghezza di quest’ultimo segmentoColoriamo con colori differenti le porzioni del quadrato costruito sull’ipotenusa così ottenute

Riportiamo questa lunghezza sul primo segmento costruito a partire dal piede della perpendicolare verso sinistra

Dall’estremo sinistro tracciamo verso l’alto il segmento perpendicolare fino ad incontrare il lato superiore del quadrato

Ruotiamo opportunamente ciascun pezzo per poter ricomporre il puzzle

Sistemiamo i pezzi del puzzle in modo da ricoprire i quadrati costruiti sui cateti

IL PUZZLE È IL PUZZLE È COMPLETO!!!COMPLETO!!!

E ancoraE ancoraun’altra un’altra

dimostrazione dimostrazione del teorema di del teorema di

PitagoraPitagora- Terzo Metodo “Puzzle” - Terzo Metodo “Puzzle” --

Tracciamo le diagonali del

quadrato costruito sul

cateto maggiore per individuarne

il centro

Tracciamo la parallela

all’ipotenusa passante per il

centro del quadrato

Tracciamo la perpendicolare all’ipotenusa

passante per il centro del quadrato

Coloriamo con colori

differenti le porzioni del

quadrato così ottenute e il

quadrato costruito sull’altro

catetoMuoviamo ora i

pezzi così ottenuti in modo da

ricoprire il quadrato costruito

sull’ipotenusa

IL PUZZLE È IL PUZZLE È COMPLETO!!COMPLETO!!!!

Osservazioni sulleOsservazioni sullecostruzioni delle costruzioni delle

dimostrazionidimostrazioniVariazione della misura Variazione della misura

dei catetidei cateti

Riconsideriamo la prima costruzione fatta…

Ora riduciamo la differenza fra le lunghezze dei cateti del triangolo e ripetiamo la suddivisione del quadrato costruito sull’ipotenusa

Si noti come il triangolo formatosi in alto a destra sia piccolo rispetto all’esempio precedente.

Si osserva quindi che la misura di tale triangolo dipende dalla differenza della lunghezza dei due cateti.

Consideriamo un triangolo rettangolo isoscele.I quadrati costruiti sui cateti, quindi, sono congruenti.

Ripetiamo la prima costruzione fatta…Prolunghiamo i lati dei quadrati costruiti sui catetiColoriamo con colori differenti le porzioni del quadrato costruito sull’ipotenusa così ottenute

Muoviamo ora i pezzi così ottenuti in modo da ricoprire i quadrati costruiti sui cateti

IL PUZZLE È IL PUZZLE È COMPLETO!COMPLETO!!!!!

In questo caso, i due segmenti sono sufficienti alla costruzione del puzzle.

Si ottengono così quattro pezzi fra loro congruenti!

e infine,e infine,con un po’ di con un po’ di

immaginazione,immaginazione,si possono creare si possono creare

disegni…disegni…un po’ particolari…un po’ particolari…

L’albero di PitagoraL’albero di Pitagora

““Le forme create dal matematico, Le forme create dal matematico,

come quelle create dal pittore o dal poeta, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; devono essere belle;

le idee, come i colori o le parole, le idee, come i colori o le parole,

devono legarsi armoniosamente. devono legarsi armoniosamente.

La bellezza è il requisito fondamentale: La bellezza è il requisito fondamentale:

al mondo non c'è posto perenne al mondo non c'è posto perenne

che per la matematica bella”che per la matematica bella”Godfrey Harold HardyGodfrey Harold Hardy, , Apologia di un matematicoApologia di un matematico, , 19401940