Post on 15-Feb-2021
Guido BoffettaDipartimento di Fisica Generale
Universita’ di Torino
Il moto Browniano a cavallotra reversibilita’ ed irreversibilita’
Lo sviluppo della fisica porta ad unificare la visione del mondo:
* terra-cielo: gravitazione universale (Newton, 1687)* elettricita’-magnetismo: elettromagnetismo (Maxwell, 1873)* reversibile-irreversibile: teoria cinetica (Boltzmann, 1872)* elettromagnetismo-forza debole: modello elettrodebole
(Glashow, Weinberg, Salam, 1967)* grandi unificazioni ....
Una singola teoria e’ in grado di spiegare un maggior numero di fenomeni
Reversibile-irreversibile
A meta’ dell’800 la fisica era divisa su due fronti indipendenti:
fenomeni reversibili(meccanica, elettromagnetismo)
fenomeni irreversibili(termodinamica)
reversibile = direzione del tempo non privilegiata
Termodinamica: la fisica dell’irreversibile
II principio della termodinamica (Clausius, ~1860):
“Il calore non fluisce spontaneamenteda un corpo freddo ad uno caldo”
ovvero, esiste una variabile termodinamica, l’entropia che non diminuisce
PROBLEMA:
- come e’ possibile che un sistema macroscopico, composto daatomi che obbediscono a leggi reversibili (meccanica di Newton),si comporti in modo irreversibile?
- quale e’ l’origine dell’irreversibilita’?
Teoria cinetica: la meccanica della termodinamica
Boltzmann, Gibbs, Maxwell (1870-1900):e’ possibile costruire la termodinamica(cioe’ ritrovarne le leggi) a partire dalleleggi della meccanica Newtoniana.L’origine dell’irreversibilita’ e’ statistica,nel grande numero di atomi (o molecole)coinvolti.
Numero di AvogadroNumero di molecole in una moledi sostanza (=numero di grammi
pari al peso molecolare)NA = 6 X 1023
L’entropia e’ una misura del disordinedel sistema, che spontaneamente nonpuo’ che aumentare
L’entropia e’ una misura del disordine del sistema,che spontaneamente non puo’ che aumentare
Esempio di processo irreversibile: espansione di un gas
Inizialmente il gas si trova a sx e il contenitore a dx e’ vuoto
Aprendo il rubinetto, il gas si dispone in entrambi i contenitori(egual pressione)
Chiudendo nuovamente il rubinetto (reversibile) il gas non tornaindietro (irreversibile)
Interpretazione microscopica dell’espansione di un gas
A causa degli urti le molecole si muovono caoticamente nel recipiente.
La probabilita’ di trovare una molecola a sx (o dx) e’ 1/2
Se il moto delle molecole e’ indipendente, la probabilita’ di trovaren delle N molecole a sx vale
p(n) 12N
Nn
N !2N n!(N n)!
Per N grandi questa probabilita’ diviene piccolissima se n≠N/2
Espansione di un “gas” di 9 molecole
La probabilita’ che le palline tornino nella scatola di sx vale p=1/29≈0.002
L’”entropia” puo’ descrescere
Espansione di un “gas” di 512 molecole
La probabilita’ che le palline tornino nella scatola di sx vale p=1/2512≈10-154
Nel caso di un gas abbiamo N≈1023 molecole e quindi la probabilita’di ritorno diviene estremamente piccola
Boltzmann (1896): il ritorno di un cm3 di gas nel contenitore di sx non e’impossibile, ma il tempo medio di attesa vale circa 101019 anni
Teoria cinetica e moto Browniano
Malgrado gli innegabili successi, la teoria cinetica di Boltzmannincontra resistenze a causa del “paradosso dell’irreversibilita’”(o paradosso di Loschmidt: spiegare l’irreversibilita’ termodinamicaa partire dal moto reversibile delle molecole).
Ancora all’inizio del ‘900 la natura atomica della materianon e’ completamente accettata (“gli atomi non si vedono”, Mach).
Il moto Browniano permette di costruire un ponte tra il mondomicroscopico e quello macroscopico, tra il reversibile e l’irreversibile.
molecoleNewtoniane
termodinamicairreversibile
moto browniano
Il moto Browniano
Robert Brown (1773-1858)
Moto disordinato ed incessante di granellidi polline osservato casualmente al microscopiodal botanico scozzese R.Brown nel 1827.
Con una serie di esperimenti Brown esclude il carattere biologico del moto.
Cosa si vede al microscopio
nanoparticelle (circa 90 nm) in acqua
Cosa si vede al microscopio
particelle piu’ grandi si muovono meno
2005: anno mondiale della Fisica
Nel centenario del 1905, annus mirabilis della della fisica,che vide la formulazione da parte di Albert Einstein dellateoria della relatività ristretta, dell'ipotesi del quanto diluce e del moto browniano, l'UNESCO ha proclamato il 2005Anno Mondiale della Fisica.
Gli atomi: un’idea vecchia
Leucippo
L’idea che la materia sia composta da unita’ indivisibili nasce con Leucippo e Democrito (450 BC).
L’atomismo viene poi tramandato da Epicuro(300 BC) e poi Lucrezio (100 BC).
Atomismo ed etica: vincere la paura dellamorte e assumersi le proprie responsabilita’
Epicuro
San Girolamosu Lucrezio
Einstein ed il moto Browniano
Einstein vuole trovare una dimostrazione della realta’ degli atomi.
Un grano di polline immerso nel liquido si comportacome una grande molecola e puo’ fungere da “microscopio”per vedere il moto degli atomi previsto da Boltzmann.
La teoria del moto Browniano (1905)
Due tipi di forza agenti sul grano
* forza di attrito col fluido (Stokes) Fa=-6πaμV* forza dovuta agli urti con le molecole Fu
VFa
Fu
F = ma
La teoria del moto Browniano (1905)
Partendo da questo modello meccanico semplice e facendol’ipotesi fondamentale che il grano sia in equilibrio termicocon le molecole, Einstein riesce a trovare una previsione per cui
la distanza percorsa dal grano e’ proporzionalealla radice quadrata del tempo:
D2 kT6R
tT: temperaturaμ: viscosita’ del fluidoR: dimensioni grano
La velocita’ di diffusione e’ inversamente proporzionale alle dimensioni:i grani diffondono molto piu’ lentamente delle molecolee possono essere osservati
J.Perrin: conferma sperimentale
A partire dal 1908, Jean Perrin esegue una seriedi esperimenti quantitativi sul moto Browniano checonfermano la legge di Einstein della crescita linearedell’area (e che gli faranno ottenere il Nobel nel 1926)
Con la teoria di Einstein e gli esperimentidi Perrin la natura atomica della materia -
e la teoria cinetica - viene accettata.
Gli esperimenti di Perrin permettonoanche una misura precisa del numerodi Avogadro (numero di molecole inuna mole di gas)
tracce di particelle colloidali di raggio0.52 μm misurate da Perrin
Moto Browniano e diffusione
La legge di Einstein implica che l’area di una macchia di particelle(es. macchia di colorante) cresca linearmente nel tempo
D2 kT6R
t
La distribuzione dellaconcentrazione e’ Gaussiana
simulazione numerica del motoBrowniano di 10000 particelle
Un semplice modellodi moto Browniano
Il piu’ semplice modello di moto Browniano e’ il random walk in 1 dimensione
Ad ogni step la pallina salta a sx o dx di un passo con probabilita’ 1/2
Sia ui=±1 il salto al tempo i, la posizione dopo n salti sara’
x(n) uii1
n
0
x(n) u1 u2 ... un uii1
n
Il valor medio, essendo =0 sara’ ovviamente
mentre il quadrato dello spostamento (valore quadratico medio)
x2 (n) uii1
n
2
ui2
i1
n
n
cresce linearmente con il numero di passi (cioe’ col tempo)
Universalita’ del moto Browniano
Il comportamento diffusivo del random walk e’ una conseguenzadel teorema del limite centrale che asserisce che la somma di ungrande numero di variabili casuali indipendenti (i salti) tende aduna distribuzione Gaussiana con larghezza che cresce in mododiffusivo.
Pertanto non sorprende che il comportamento diffusivo venga osservatoin molti sistemi fisici diversi ove ci sia una qualche forma di “rumore”che genera le fluttuazioni casuali
Il moto Browniano oggi
In confronto con la relativita’ e con l’effetto fotoelettrico, il lavorodi Einstein sul moto Browniano puo’ sembrare minore (Einstein stessonegli ultimi anni dice che questo lavoro ha avuto poche implicazioni)
In realta’, con lo studio del moto Browniano nasce la teoria delruolo delle fluttuazioni casuali nei sistemi fisici che continua atrovare applicazioni in molti ambiti:
• modelli biologici
• teoria dei giochi
• fluidodinamica
• modelli finanziari
Moto Browniano e modelli finanziari
Louis Bachelier nel 1900 introduce un modello di moto Brownianoper spiegare le fluttuazioni delle stock options.E’ primo esempio di uso della matematica per l’analisi dei mercati finanziari.
L’idea alla base e’ che il prezzo (il grano) varia per effetto ditante piccole cause indipendenti (molecole).
Il modello di Bachelier viene poiripreso da Black e Scholes cheottengono il Nobel per l’economianel 1997
L’eredita’ del lavoro di Einstein
Le teorie della relativita’ e dei quanti di luce fecerofare alla fisica un grande balzo concettuale
A 100 anni di distanza, il lavoro sul moto Browniano appareuna rivoluzione piu’ sottile: non un grande salto, ma un lentodiffondere in nuovi campi sconosciuti della fisica.