İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

İki Boyutlu Yapılar için Doğrudan Rijitlik Metodu (Direct Stiffness Method)

(İleri Yapı Statiği – II. Kısım)

Doç. Dr. Özgür ÖzçelikDokuz Eylül Üniversitesi, Müh. Fak., İnşaat Müh. Böl.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduGenel

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduGenel

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduGenel

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduGenel

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduSistem Rijitlik Matrisi - K

Eleman (a):

(Node = Düğüm noktası)

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduYapı Rijitlik Matrisi - K

Eleman (b):

6

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduSistem Rijitlik Matrisi - K

Eleman (a): Eleman (b):

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduSistem Serbestlik Derecelerinin (S.D.’lerin) Numaralandırması

Serbest düğüm nok.

Engellenmiş düğ. nok.

Serbest düğ. nok. yerdeğiştirmeler

Engellenmiş düğ. nok. yerdeğiştirmeler

Temel Motivasyon:Eleman SD ile global SD arasında bir ilişki kurmak. Bunu yaparken serbest olan global SDler ile tutulmuş SDler arasındaki farkı da dikkate almak!

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduSerbest (Free) Serbestlik Dereceleri için Denge Denklemleri

Serbest S.D.’lerindeki dış kuvvetler

Yerdeğiştirmeleri bilinen S.D.’ndeki dış kuvvetler (mesnet reaksiyonları).

P4

P5

P6

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDenge Matrisinin Direkt Asembilasyonu (Direct Assembly)

Serbest (free dof’s) ve tutulmuş serbestlik dereceleri (restrained dof’s) için denge denklemleri:

Dış kuvvetler (P) veiç kuvvetler (F)

arasındaki dengeden. Matris formunda yazılırsa.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDenge Matrisinin Direkt Asembilasyonu (Direct Assembly)

Eleman dengesinden global eksenlerdeki tüm eleman uç kuvvetlerini, , temel

kuvvetler, , cinsinden yazabiliriz:

Burada, Birim matris çünkü

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDenge Matrisinin Direkt Asembilasyonu (Direct Assembly)

Pg3-9

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduUygunluk Matrisinin Direkt Asembilasyonu

Global eksenlerde serbest olan serbestlik derelerindeki yer değiştirmeleri ile eleman uçlarındaki yer değiştirmeler arasındaki uygunluk:

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduUygunluk Matrisinin Direkt Asembilasyonu

Yukarıdaki ilişkiler matris formda yazılırsa:

Boolean deplasman transformasyon matrisi (b elamanı için)

Boolean deplasman transformasyon matrisi (a elamanı için)

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduUygunluk Matrisinin Direkt Asembilasyonu

Eleman uygunlukları kullanılarak eleman temel deformasyonları ile global eksenlerdeki

eleman uç yer değiştirmeleri ilişkilendirilebilir.

burada

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduUygunluk Matrisinin Direkt Asembilasyonu

oluşturulabilir.

burada Serbest serbestlik dereceleri için yapı uygunluk matrisi

Pg3-11

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDoğrudan Rijitlik İmplementasyonu

Bu yöntemde aşağıdaki şekilde ilerlenecektir:

� Serbest serbestlik derecelerindeki denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılır:

� Temel eleman kuvvetleri ile temel deformasyonlar aşağıdaki gibi ilişkilidir (e: eleman anlamına geliyor):

� Temel eleman deformasyonları ile global eksenlerdeki serbest serbestlik dereceleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

� Başlangıç kuvvetlerinin olmaması durumunda (mesnet çökmesi, sıcaklık değişimi, fabrikasyon hatası):

Dengeden!

Uygunluktan! Hatırlatma!

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDoğrudan Rijitlik İmplementasyonu

� Burada aşağıdaki formdaki çarpımlara dikkat edilirse:

: a. elemanın global koordinatlardaki eleman rijitlik matrisi.

� Serbest serbestlik derecelerindeki yer değiştirmeleri ortak paranteze alırsak, aşağıdaki ilişki elde edilir:

� Parantez içindeki terimin global eksenlerdeki serbest serbestlik dereceleri için kurulmuş sistem rijitlik matrisi olduğu açıktır:

: Nel burada eleman sayısıdır.

Tekrar:

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDoğrudan Rijitlik İmplementasyonu

�Dikkat edilirse, sistem rijitlik matrisi eleman rijitliklerinin toplamından oluşmuştur. Toplama eleman rijitliklerinin tümünün global koordinatlarda ifadesi durumunda mümkündür.

�Ayrıca, Boolean matrisleri 1 ve 0’lardan oluşmuştur. 1’ler eleman lokal serbestlik dereceleri ile

global (sistem) serbestlik derecelerinin ilişkide olduğu satır ve sütün elemanlarını oluşturmaktadır. Her

satır ve kolon en fazla bir tane 0’dan farklı elemana sahiptir. Bu durumda, eleman rijitlik matrisleri ile

‘lerin çarpımı eleman rijitlik değerlerinin sistem rijitlik matrisinde (global eksenler) doğru yerlere

konumlanması ile sonuçlanır.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDoğrudan Rijitlik İmplementasyonu

�Eleman (a) için bunu gösterirsek:

Bu matris şunu gösterir: 4. global eleman S.D. 1. global serbest sistemS.D.’ne, 5. global eleman S.D. 2. global serbest sistem S.D.’ne, 6. global eleman S.D. 3. global serbest sistem S.D.’ne denk düşmektedir. Diğer S.D. ise sınırlandırılmış S.D.’lerine karşılık gelmektedir.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDoğrudan Rijitlik İmplementasyonu

�Bu durumda a. ve b. elemanlar için “ID array”’ler şu şekilde düzenlenir:

(a) (b)

(a) Elemanı için ID Array (b) Elemanı için ID Array

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

�Eleman rijitlik matrisinden, sistem rijitlik matrisine rijitlik elemanlarının elemanların konumlandırılması (a) elemanı için aşağıda gösterilmiştir:

Doğrudan Rijitlik MetoduDoğrudan Rijitlik İmplementasyonu

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduDış Kuvvetlerin Doğrudan Asembilasyonu

�Yukarıdaki incelemeden açıktır ki, sistemin iç kuvvet vektörünü direkt olarak oluşturmak ve böylece, sistem denge denklemlerini elde etmek mümkündür:

� Lineer elastik malzeme için:

Sistem iç kuvvet vektörü –denge durumu

Denge şartı!

Eleman uç kuvvetleri

Pr: Uf serbestlik derecelerindeki iç kuvvet vektörü

Pf: Uf serbestlik derecelerine etkiyen dış kuvvet vektörü

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduÖrneğe Geri Dönüş

Rijit off-set yok (rijit uç bölgesi yok)

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduÖrneğe Geri Dönüş

(a) Elemanının temel S.D.’deki eleman rijitlik matrisi

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduÖrneğe Geri Dönüş

(a) için ID array:

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduÖrneğe Geri Dönüş

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduÖrneğe Geri Dönüş

(b) İçin ID array:

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduÖrneğe Geri Dönüş

Sistem rijitlik matrisinin direkt asembilisi:

Denge denklemleri:

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Doğrudan Rijitlik MetoduÖrneğe Geri Dönüş

2. Nodun (düğüm noktasının), 1. serbest S.D.’sinin, yatay yöndeki dengesi.

2. Nodun, 2. serbest S.D.’sinin, düşey yöndeki dengesi.

2. Nodun, 3. serbest S.D.’sinin, dönme yönündeki dengesi.

Matlab kullanılarak hesaplanır:

Kontrol et:

Denge denklemi Matlab kullanılarak hesaplanır