Post on 19-Mar-2019
IF184923 Riset OperasiPertemuan ke-5
Misbakhul Munir IRFAN SUBAKTI司馬伊凡
Мисбакхул Мунир Ирфан Субакти
Teori Dualitas
• Persoalan dual didefinisikan secara sistematik dari model LP (linear programming) primal (atau program linier aslinya).
• Dua persoalan ini berkaitan erat→ solusi optimal dari satu problem secara otomatis akan menjadi solusi optimal yang lainnya
• Dual didefinisikan untuk berbagai bentuk variasi primal tergantungpada jenis optimisasi (maksimal atau minimal), jenis pembatas (≤, ≥, atau =), dan tanda dari variabel (nonnegatif atau tak terbatas)
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 2
Primal → Dual
• Primal → bentuk baku• Fungsi tujuan = maks→ seluruh pembatas→ ≤
• Fungsi tujuan = min → seluruh pembatas→ ≥
• Fungsi tujuan berubah bentuk• Primal →maks, maka dual →min
• Primal →min, maka dual →maks
• Konstanta kanan primal → koefisien fungsi tujuan dual
• Koefisien fungsi tujuan primal → konstanta kanan dual
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 3
Primal → Dual (lanjutan)
• Untuk tiap pembatas primal → 1 variabel dual
• Untuk tiap variabel primal → 1 pembatas dual
• Tanda pembatas pada dual akan tergantung pada fungsi tujuannya• Fungsi tujuan maks→ pembatas ≤
• Fungsi tujuan min → pembatas ≥
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 4
Primal → PT Barbika Indonesia
• Primal →mencari keuntungan optimal (yaitu: maksimal)• Berapa jumlah boneka Barbika dan Kenaka yang harus dihasilkan agar
mendapat keuntungan maksimal
• Dual →mencari berapa kebutuhan optimal (yaitu: minimal) darisumber daya yang ada• Berapa waktu minimal yang dibutuhkan untuk pembuatan boneka dasar dan
waktu minimal untuk penghalusan boneka jadi
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 5
Primal → PT Barbika Indonesia (persamaan)
• Maks• Z = 3x1 + 2x2
• Batasan• 2x1 + x2 ≤ 100• x1 + x2 ≤ 80• x1 ≤ 40• x1, x2 ≥ 0
• x1 = Barbika
• x2 = Kenaka
• Pembuatan boneka dasar maksimal 100 jam
• Penghalusan boneka jadi maksimal 80 jam
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 6
Primal → Dengan TORA (Grafik)
• Dengan TORA:
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 7
Primal → Dengan TORA (Metode Simpleks)
• Transformasi ke bentukbaku:• Maks
• Z = 3x1 + 2x2 + 0S1 + 0S2+ 0S3
• Batasan• 2x1 + x2 ≤ 100• x1 + x2 ≤ 80• x1 ≤ 40• x1, x2, S1, S2, S3 ≥ 0
• BV → S1, S2, S3
• NBV → x1, x2
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 8
Primal → Dengan Metode Simpleks (lanjutan)
• Nilai optimal (maksimal)
• Keuntungan optimal (maksimal) adalah180
• x1 = Barbika, diproduksi sebanyak20 buah
• x2 = Kenaka, diproduksi sebanyak60 buah
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 9
Dual dari Primal & TORA
• Min• W = 100y1 + 80y2 + 40y3
• Batasan• 2y1 + y2 + y3 ≥ 3
• y1 + y2 ≥ 2
• y1, y2 , y3 ≥ 0
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 10
Dual: TORA – Metode Simpleks (Teknik M)
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 11
Pembahasan
• Min• W = 100y1 + 80y2 + 40y3
• Batasan• 2y1 + y2 + y3 ≥ 3• y1 + y2 ≥ 2• y1, y2 , y3 ≥ 0
• Jawaban• y1 = 1• y2 = 1
• Maka Min W = 100.1 + 80.1 + 0 →W = 180
• Solusinya (180) sama dengan Max Z = 180• Ini artinya sumber daya (resource) pembuatan boneka dasar memerlukan waktu maksimal
100 jam & pembuatan boneka jadi memerlukan waktu maksimal 80 jam agar mendapatkanhasil optimal (yaitu nilai minimal dari W)
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 12
Primal Dual: Contoh 2
• Primal: Maks• Z = 60x1 + 30x2 + 20x3
• Batasan• 8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 → y1 ≥ 0• 4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20 → y2 ≥ 0• 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8 → y3 ≥ 0• x1, x2, x3 ≥ 0
• Dual: Min• W = 48y1 + 20y2 + 8y3
• Batasan• 8y1 + 4y2 + 2y3 ≥ 60• 6y1 + 2y2 + 1.5y3 ≥ 30• y1 + 1.5y2 + 0.5y3 ≥ 20• y1, y2, y3 ≥ 0
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 13
Primal: Contoh 2 dengan TORA (Simpleks)
• Primal: Maks• Z = 60x1 + 30x2 + 20x3
• Batasan• 8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 → y1 ≥ 0
• 4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20 → y2 ≥ 0
• 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8 → y3 ≥ 0
• x1, x2, x3 ≥ 0
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 14
Primal dengan TORA: Simpleks (lanjutan)
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 15
Primal dengan TORA: Simpleks (lanjutan)
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 16
Dual: Contoh 2 dengan TORA (Simpleks T. M)
• Dual: Min• W = 48y1 + 20y2 + 8y3
• Batasan• 8y1 + 4y2 + 2y3 ≥ 60
• 6y1 + 2y2 + 1.5y3 ≥ 30
• y1 + 1.5y2 + 0.5y3 ≥ 20
• y1, y2, y3 ≥ 0
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 17
Dual dengan TORA: Simpleks T. M
• Dual: Min• W = 48y1 + 20y2 + 8y3
• Batasan• 8y1 + 4y2 + 2y3 ≥ 60
• 6y1 + 2y2 + 1.5y3 ≥ 30
• y1 + 1.5y2 + 0.5y3 ≥ 20
• y1, y2, y3 ≥ 0
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 18
Dual dengan TORA: Simpleks T. M (lanjutan)
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 19
Primal Dual: Contoh 3
• Primal: Maks• Z = 160x1 + 200x2
• Batasan• 2x1 + 4x2 ≤ 40 → waktu kerja• 18x1 + 18x2 ≤ 216 → berat bahan kayu• 24x1 + 12x2 ≤ 240 → luasan tempat penyimpanan• x1, x2 ≥ 0 → di mana x1, x2 = jumlah meja & kursi yang diproduksi
• Dual: Min• W = 40y1 + 216y2 + 240y3
• Batasan• 2y1 + 18y2 + 24y3 ≥ 160• 4y1 + 18y2 + 12y3 ≥ 200• y1, y2, y3 > 0
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 20
Primal: Contoh 3 dengan TORA (Grafik)
• Primal: Maks• Z = 160x1 + 200x2
• Batasan• 2x1 + 4x2 ≤ 40 → waktu kerja
• 18x1 + 18x2 ≤ 216 → berat bahan kayu
• 24x1 + 12x2 ≤ 240 → luasan tempat penyimpanan
• x1, x2 ≥ 0 → di mana x1, x2 = jumlah meja & kursi yang diproduksi
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 21
Primal dengan TORA: Grafik (lanjutan)
• Solusi optimal• x1 = meja→ 4
• x2 = kursi→ 8
• Jadi keuntunganmaksimal• Z = 160x1 + 200x2
• Z = 160.4 + 200.8
• Z = 2240
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 22
Dual: Contoh 3 dengan TORA (Simpleks T. M)
• Dual: Min• W = 40y1 + 216y2 + 240y3
• Batasan• 2y1 + 18y2 + 24y3 ≥ 160
• 4y1 + 18y2 + 12y3 ≥ 200
• y1, y2, y3 > 0
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 23
Dual dengan TORA: Simpleks T. M (lanjutan)
• Solusi optimal• y1 = 20
• y2 → 6,67
• Jadi sumber dayaminimal• W = 40y1 + 216y2 +
240y3
• W = 40.20 + 216.6,67
• W = 2240
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 24
Contoh 4
• Carilah bentuk dual dari bentuk primal di bawah ini.
• Kemudian, carilah jawaban primal dan dual-nya.
• Fungsi Tujuan: Maks Z = -5x1 + 2x2
• Batasan/Kendala:-x1 + x2 ≤ -2
2x1 + 3x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0
2018/2019(1) - IF184923 Riset Operasi - MM Irfan Subakti 25