Post on 14-Apr-2017
Himpunan, Fungsi, Kardinalitas Himpunan, dan Matriks
Arfin (90116003)
HIMPUNAN(SETS)
Himpunan
Himpunan (sets) adalah kumpulan objek tak terurut.
Perhatikan kumpulan berikut:1. Kumpulan kucing berwarna hitam.2. Kumpulan kucing berkaki empat.3. Kumpulan kucing berkaki tiga.
Himpunan
Objek yang berada di dalam sebuah Himpunan dinamakan anggota atau elemen,
dan disimbolkan dengan .
Jadi, anggota dituliskan sebagai
Himpunan
Himpunan yang sama memiliki elemen yang sama.
Contoh: , , , Perhatikan bahwa , , dan memiliki elemen yang sama yaitu 1, 3, dan 4. Sementara D tidak. Oleh karena itu,
Menyatakan Himpunan
1. Menyatakan dengan kata-kata
Contoh:A adalah himpunan binatang berkaki empatB adalah himpunan bilangan bulat di antara 1 dan 5C adalah himpunan mahasiswa Pengajaran
Matematika angkatan 2016
Menyatakan Himpunan
2. Menyatakan dengan Notasi Pembentuk HimpunanDituliskan sebagai , dimana x adalah elemen dengan sifat
Contoh:A = {x | x adalah berkaki empat}B = {y | y adalah bilangan bulat di antara 1 dan 5}C = {z | z adalah mahasiswa Pengajaran
Matematika angkatan 2016}
Menyatakan Himpunan
B = {y | y adalah bilangan bulat di antara 1 dan 5}
Karena Himpunan B menyatakan bilangan, maka dapat disederhanakan dengan simbol matematika, yaitu:
merupakan himpunan bilangan bulat
Menyatakan Himpunan
3. Menyatakan dengan mendaftarkan semua anggotanya
Contoh:A = {sapi, kambing, domba, kucing, anjing, katak}B = {2,3,4}C = {Arfin, Salmun, Fajri, Sahat, Fahri, Boyke,
Adit, Erina}
Diagram Venn
Himpunan dapat digambarkan dengan menggunakan diagram Venn.
Contoh:
Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut Himpunan Kosong dan dilambangkan dengan atau
Contoh:M = himpunan kucing yang dapat terbang.
Karena tidak ada kucing yang dapat terbang, maka
Himpunan Bagian
Diberikan dua buah himpunan, dan . dikatakan himpunan bagian dari jika dan hanya jika setiap elemen juga merupakan elemen . Kondisi ini dapat dibaca sebagai
subset dan dilambangkan dengan .
• Himpunan kosong merupakan subset untuk sebarang himpunan
• Suatu himpunan merupakan subset dirinya sendiri
Himpunan Bagian
Diberikan dua buah himpunan, dan . dikatakan himpunan bagian dari jika dan hanya jika setiap elemen juga merupakan elemen . Kondisi ini dapat dibaca sebagai
subset dan dilambangkan dengan .
• Jika , maka dikatakan A adalah subset sejati dari B dan dilambangkan dengan
Himpunan Bagian
Diberikan dua buah himpunan, dan . dikatakan himpunan bagian dari jika dan hanya jika setiap elemen juga merupakan elemen . Kondisi ini dapat dibaca sebagai
subset dan dilambangkan dengan .
• Kondisi di atas juga dapat dibaca “superset ” dan dilambangkan
Himpunan Bagian
Contoh:C = {Arfin, Salmun, Fajri, Sahat, Fahri, Boyke, Adit, Erina}
Beberapa subset dari C adalah {Erina}, {Erina, Fajri}, {Fajri, Erina, Sahat}, dan {Fajri, Erina, Sahat, Salmun}
Kardinalitas Himpunan
Diberikan sebarang himpunan . Jika terdapat tepat elemen berbeda di dengan adalah bilangan bulat tak negatif, maka disebut himpunan terhingga (finite set) dengan
kardinalitas . Kardinalitas dilambangkan .
Contoh:A = {sapi, kambing, domba, kucing, anjing, katak}B = {2,3,4}C = {Arfin, Salmun, Fajri, Sahat, Fahri, Boyke, Adit,
Erina}Diperoleh, . , dan
Kardinalitas Himpunan
Diberikan sebarang himpunan . Jika bukan himpunan terhingga, maka dikatakan
sebagai himpunan tak terhingga (infinite set)
Contoh: merupakan himpunan tak terhingga.
Himpunan Kuasa
Diberikan sebarang himpunan . Himpunan Kuasa (power set) adalah himpunan semua
subset dari . Himpunan kuasa dari dilambangkan sebagai .
Jika mempunyai elemen, maka mempunyai elemen.
Himpunan Kuasa
Contoh:
Semua subset dari adalah:
Sehingga,}
Dengan
Cartesian Product
Diberikan sebarang himpunan dan . Cartesian Product dari dan , dilambangkan
dengan , adalah himpunan semua pasangan untuk setiap dan
Contoh:dan Sehingga,
Cartesian Product
Diberikan sebarang himpunan . Cartesian Product dari , dilambangkan dengan , adalah
himpunan semua untuk setiap untuk
Operasi Himpunan1. Gabungan
2. Irisan
3. Selisih
4. Komplemen
Operasi Himpunan
IdentitasHimpuna
n
Generalization Union and Intersecton
1. Generalized Union
2. Irisan
FUNGSI(MAPPING)
Fungsi
Diberikan himpunan tak kosong dan . Fungsi dari ke adalah relasi dari setiap
elemen ke tepat satu elemen .Penulisannya dilambangkan sebagai
, atau sehingga
FungsiDiberikan himpunan tak kosong dan . Untuk suatu ,
dengan untuk setiap dan .
Dalam hal ini: disebut domain dari () disebut kodomain dari
Range dari () didefinisikan sebagai:
Sementara itu, disebut prapeta dari dan disebut peta dari .
FungsiFungsi bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
Diberikan sebarang fungsi dan dari ke . Maka, dan juga merupakan fungsi
dari ke . Dengan , diperoleh:
Fungsi
Didefinisikan fungsi dan Maka,
Contoh:Jika dan , dengan , , dan , maka range dari subset adalah
Fungsi Injektif dan Surjektif
Didefinisikan fungsi dengan . disebut fungsi injektif (satu-satu) jika
dan hanya jika untuk setiap dan , berakibat
Didefinisikan fungsi . disebut fungsi surjektif (pada) jika
dan hanya jika untuk setiap terdapat , sehingga
Fungsi Injektif dan Surjektif
Fungsi Bijektif
Fungsi bijektif jika dan hanya jika injektif dan surjektif
Fungsi Bijektif
Fungsi bijektif jika dan hanya jika injektif dan surjektif
Invers Fungsi
Diberikan fungsi bijektif , sehingga . Invers fungsi dari atau didefinisikan
sebagai
Catatan:Fungsi yang invertibel bisa diperoleh dengan cara membatasi domain dari invers fungsi tersebut.
Fungsi KomposisiDiberikan fungsi dan . Komposisi dari fungsi dan ,
dilambangkan dengan , didefinisikan sebagai:
Fungsi Komposisi
Contoh: dan .Maka,
Grafik Fungsi
Diberikan fungsi . Grafik fungsi adalah himpunan pasangan berurut
Floor function
Floor function memetakan setiap bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari . Dinotasikan
Ceiling function memetakan setiap bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari . Dinotasikan
dan Ceiling function
Floor function dan Ceiling Function
Fungsi ParsialFungsi adalah fungsi parsial jika pemetaan setiap elemen subset (domain ) ke suatu elemen unik di sehingga terdefinisi. Oleh karena itu, tidak akan terdefinisi untuk elemen di yang tidak termasuk di domain terdefinisi dari .
Jika domain terdefinisi sama dengan , maka disebut sebagai fungsi total.
Fungsi ParsialContoh: untuk adalah fungsi parsial. Meski domain adalah , tetapi domain terdefinisi hanyalah . Oleh karena itu, domain terdefinisi atau adalah , bukan .
Sementara untuk adalah fungsi total karena domain terdefinisinya sama dengan domain asal.
KARDINALITAS HIMPUNAN
Kardinalitas HimpunanDiberikan himpunan dan .dan dikatakan ekuivalen atau mempunyai kardinalitas yang sama jika dan hanya jika terdapat korespondensi satu-satu (fungsi bijektif) dari ke . Jika dan mempunyai kardinalitas yang sama,
ditulis sebagai Jika fungsi dari ke adalah fungsi satu-satu (fungsi injektif), maka
Kardinalitas HimpunanContoh:
Dengan kondisi seperti itu, dapat dibentuk korespondensi satu-satu antara dan , sebagai berikut:
Dengan korespondesi seperti itu, maka dapat dikatakan bahwa ekuivalen dengan dan mempunyai kardinalitas yang sama yaitu
Countable Set
Skema HimpunanHimpunan
Uncountable Set
Empty set
Tidak mempunyai
anggota Mempunyai anggota
Denumerable Set
Terhingga
Finite set
Tak terhingga
Infinite set
Undenumerable Set
Kardinalitas Himpunan
Jika dan adalah himpunan terbilang, maka juga merupakan himpunan terbilang.
Teorema Schröder-Bernstein:Jika dan adalah himpunan dengan dan , maka
Himpunan Terbilang(Countable Sets)
Setiap himpunan yang terhingga (finite set) atau himpunan yang memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan bulat positif (denumerable set) merupakan himpunan terbilang (countable set).
Jika sebuah himpunan tak terhingga (infinite set) terbilang, maka kardinalitasnya ditulis sebagai
Himpunan Terbilang(Countable Sets)
Jika adalah himpunan terhingga dan , maka tentu saja . Tetapi, jika adalah himpunan tak terhingga, maka hal ini belum tentu berlaku.
Misalkan yang jelas merupakan subset dari . Tetapi dengan korespondensi satu-satu dari ke , terlihat bahwa dan ekuivalen.
Himpunan Terbilang(Countable Sets)
Himpunan tak terhingga dikatakan terbilang jika dan hanya jika terdapat fungsi bijektif dari ke , dimana
Himpunan Terbilang(Countable Sets)
Dengan contoh sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa , , , himpunan bilangan prima, himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan genap, himpunan bilangan bulat negatif, himpunan bilangan aljabar, semuanya ekuivalen, dengan kardinalitas .
Apakah mempunyai kardinalitas?
Untuk menentukan apakah himpunan terbilang, akan ditentukan dulu apakah merupakan himpunan terbilang atau bukan.
Andaikan terbilang, maka , sehingga:
Apakah mempunyai kardinalitas?
Tetapi, terdapat dengan untuk dan untuk , dengan Karena atau dan berbeda dengan untuk setiap , maka bilangan tidak termasuk dalam daftar , padahal merupakan elemen real di dalam interval . Jadi kita tidak mungkin mendaftarkan semua bilangan real pada interval karena akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan.
Dengan demikian, himpunan semua bilangan real pada interval tidak terbilang, dan akibatnya, juga tidak terbilang.
Berapakah kardinalitas ? Karena tidak terbilang, maka kardinalitasnya tentuk berbeda dengan . Jika , maka . Karena tak terbilang dan , maka atau .
Dengan menggunakan bantuan notasi biner, dapat ditunjukkan bahwa , dan juga dapat ditunjukkan bahwa terdapat korespondensi satu-satu antara dan sehingga
Berapakah kardinalitas ? Secara umum, jika , maka Karena , maka Sementara itu, , berlaku Maka dengan itu berlaku pula
Sebelumnya diperoleh . Karena , maka diperoleh
MATRIKS
Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
Matriks dengan baris dan kolom ditulis sebagai Matriks
Matriks
Bentuk matriks umum:
Elemen atau entri ke pada matriks dinyatakan sebagai , yaitu entri matriks pada baris ke dan kolom ke
Penjumlahan Matriks
Diberikan matriks dan . Penjumlahan matriks dan adalah
matriks dengan entri , atau dengan kata lain,
Perkalian Matriks
Diberikan matriks dan . Perkalian matriks dan adalah matriks
berukuran . Jika , maka:
Matriks Identitas
Matriks identitas berukuran adalah matriks berukuran , dimana:
dengan kondisi, jika , dan jika
Matriks Transpos
Diberikan matriks . Transpos matriks atau didefinisikan
sebagai dengan
Contoh:, maka
Matriks Simetris
Diberikan matriks persegi dikatakan simetris jika
Matriks Nol-Satu
Matriks nol-satu adalah matriks dengan entri nol (0) atau satu (1).
Aritmatika Boolean:
Perkalian Boolean
Diberikan dan adalah matriks nol-satu berukuran
Join dari dan adalah matriks dengan entri ke- senilai , atau:
Meet dari dan adalah matriks dengan entri ke- senilai , atau:
Perkalian Boolean
Diberikan matriks nol-satu berukuran dan dan matriks nol-satu berukuran
Perkalian Boolean dari dan , dilambangkan dengan , adalah matriks berukuran dengan entri ke- sebesar
dimana:
Perpangkatan Boolean
Diberikan matriks nol-satu berukuran dan suatu bilangan bulat positif
Perpangkatan Boolean ke- dari , dilambangkan dengan adalah perkalian
Bollean berulang sebanyak kali, sehingga:
Sumber
Rosen, K. 2012. Discrete Mathematics and It's Applications, 7th ed. New York: Mc-Graw Hill.
Gunawan, H. 2016. Menuju Tak Hingga. Bandung: Penerbit ITB
SEKIAN&
TERIMA KASIH
Kuis
Diberikan dan Tentukan dan .
Solusi Kuis
Syarat:
atau Akibatnya,
Solusi Kuis
Syarat: (kedua ruas ditambah ) (kedua ruas dikali )Akibatnya,
Karena , akibatnya , sehingga
Solusi Kuis
Solusi KuisKarena , maka , akibatnya:
(ketiga ruas dikuadratkan)(ketiga ruas ditambah )(letiga ruas dikali )Didapat
Solusi KuisKarena , maka , akibatnya:
(kedua ruas dikuadratkan)(kedua ruas ditambah )(kedua ruas dikali )
Didapat
Kesimpulannya,