NRCEST

Harmonic Analysis

Chang Hsien Kuo

國立交通大學土木工程學系中華民國一百零一年七月一十七日

2

調和分析之介紹

調和分析是以牛頓所提之平衡潮 (equilibrium tide) 理論為基礎，將潮汐表示為各分潮的線性相加，利用最小二乘法讓實際潮位與調和潮位的誤差值最小而求得分潮的待定係數，其表示式如下公式

M

iiii

iii

M

ii

tAa

tbtaatY

10

10

)cos(

)]sin()cos([)(

Algorithm AND programming?

調和分析與 Fourier series 之差異 ?

能譜分析

0 12 24 36 48 600

5

10

15

20

AP-2009-tide

T(hr)

|Sf(

y)|

0 12 24 36 48 600

20

40

60

80

100

120

140

160

180TC-2009-tide

T(hr)

|Sf(

y)|

0 12 24 36 48 600

2

4

6

8

10

12

14

16

18

KH-2009-tide

T(hr)

|Sf(

y)|

安平 台中

高雄

4

調和分析之介紹

Emery and Thomson(2001) 提出三個調和分析選用分潮的限制：

1. 最 低 頻 率 分 潮 的 週 期 需 小 於 或 等 於 資 料 長 度 ， 即Tmax N≦ Δt ，其中 Tmax 為分潮的最長週期， N 為資料數，Δt 為取樣間隔。其中最低角頻率分潮 (Sa) 的週期為365.24 天。

2. 最高頻率分潮的週期需大於或等於兩倍的取樣間隔，即 Tmin 2≧ Δt ，其中 Tmin 為分潮的最短週期。最高頻率分潮 (MSK6) 之週期為 4.04 小時。

3. 兩分潮的頻率差 Δf 的倒數需小於或等於資料長度，即1/Δf N≦ Δt 。 60 分潮有部分兩相臨頻率差之倒數超過365 天者，即為 Sa ， Ssa ； π 1 ， P1 ， S1 ， K1 ， ψ 1 ，φ 1 ； T2 ， S2 ， R2 ， K2 之間的分潮。

5

混疊 (aliasing)

取樣定理 : 取樣頻率至少為訊號最大頻率的兩倍或兩倍以上。取樣頻率 (sampling frequency): 每秒共取樣幾次。取樣週期 (sampling period): 每次取樣所間隔的時間。

快速傅立葉轉換 (FFT) 限制 :1. 滿足取樣定理。2. 取樣點數為 2 的 n 次方個。3. 訊號為周期性。

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*200*t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*25*t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*200*t)

Fs=500

0 50 100 150 200 2500

0.5

1cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*200*t)

0 50 100 150 200 2500

0.5

1cos(2*pi*25*t)

Am

plitu

de

0 50 100 150 200 2500

0.5

1cos(2*pi*200*t)

Frequency(Fs=500)

)200*2cos()25*2cos( tty

時間序列圖 (time series) 頻譜圖 (spectrum)

Fs=500 HzT=1/500 sL=100

滿足取樣定理

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*200*t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*25*t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*200*t)

Fs=300

0 50 100 1500

0.5

1cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*200*t)

0 50 100 1500

0.5

1cos(2*pi*25*t)

Am

plitu

de

0 50 100 1500

0.5

1cos(2*pi*200*t)

Frequency(Fs=300)

時間序列圖 (time series) 頻譜圖 (spectrum)

未滿足取樣定理，故無法完整描述訊號Fs=300 HzT=1/300 sL=100

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*200*t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*25*t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2cos(2*pi*200*t)

Fs=200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*200*t)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1cos(2*pi*25*t)

Am

plitu

de

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2cos(2*pi*200*t)

Frequency(Fs=200)

時間序列圖 (time series) 頻譜圖 (spectrum)

Fs=200 HzT=1/200 sL=100

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2

0

2cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*200*t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2

0

2cos(2*pi*25*t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2

0

2cos(2*pi*200*t)

Fs=40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*200*t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2cos(2*pi*25*t)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2cos(2*pi*200*t)

Frequency(Fs=40)

時間序列圖 (time series) 頻譜圖 (spectrum)

Fs=40HzT=1/40 sL=100

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2y(

t)

fs=500

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2

y(t)

fs=300

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2

y(t)

fs=200

noisettx )400*2cos(5.0)100*2cos(

Time series

STFT

0 0.06-2

-1

0

1

2y(

t)

dt=0.001

0 100 200 300 400 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Frequency (Hz)

Am

plitu

de

0 0.06-2

-1

0

1

2

y(t)

dt=0.0017

0 100 200 300 400 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Frequency (Hz)

Am

plitu

de0 0.06

-2

-1

0

1

2

y(t)

dt=0.0029

0 100 200 300 400 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Frequency (Hz)

Am

plitu

de

spectrum

研究生 李明憲13

取樣間隔之影響

'M2' 'K1' 'O1' 'Sa' 'P1' 'N2' 'S2' 'Q1' 'μ2' 'K2'

21.817 21.026 18.408 15.774 6.242 5.409 5.143 3.830 2.475 1.845 21.802 21.019 18.407 15.790 6.236 5.421 5.186 3.827 2.455 1.860

-200

-100

0

100

200

t(hr)

y(cm

)

0 3000 6000 9000-30

-20

-10

0

10

20

30

t(hr)

y(cm

)

高雄 dt σ R21hr 7.4257 0.93756min 7.4325 0.9374

研究生 李明憲14

取樣間隔之影響

中央氣象局所提供之潮汐資料有 6 分鐘及 1 小時二種的取樣間隔，本文首先探討二種取樣間隔對調和分析之影響。 分潮 取樣間隔 基隆 淡水 竹圍 高雄 蘭嶼 梗枋

K1

6min 21.03 19.88 24.35 19.06 14.52 15.87

1hr 21.04 19.87 24.34 19.05 14.52 15.85

差值 0.01 -0.01 -0.01 -0.01 0.00 -0.02

O1

6min 18.49 17.14 21.78 18.59 15.15 14.10

1hr 18.49 17.15 21.77 18.56 15.16 14.09

差值 0.00 0.01 -0.01 -0.03 0.01 -0.01

M2

6min 22.03 87.21 116.18 17.39 43.18 26.70

1hr 22.05 87.19 116.21 17.39 43.18 26.69

差值 0.02 -0.02 0.03 0.00 0.00 -0.01

S2

6min 5.42 25.77 34.64 6.89 19.18 12.12

1hr 5.40 25.75 34.64 6.89 19.17 12.11

差值 -0.02 -0.02 0.00 0.00 -0.01 -0.01

資料補遺

高雄 : 缺 3 筆 補遺三次之 STD 為 6.1, 6.1, 6.1, 6.1cm 若缺資料不比較時 6.1, 6.1, 6.1, 6.1cm

-200

-100

0

100

200KH2009

t(hr)

y(cm

)

0 3000 6000 9000-30

-20

-10

0

10

20

30

t(hr)

y(cm

)

資料補遺

Dev:6.12, R2=0.950

-40 -30 -20 -10 0 10 20 300

50

100

150

200

250

300

350

400

450

y(cm)

pdf(

norm

al)

0 12 24 36 48 600

2

4

6

8

10

12

14

16

18

KH2009

T(hr)

|Sf(

y)|

資料補遺

安平 : 缺 1924 筆 補遺三次之 STD 為 11.0, 6.4, 5.6, 5.2cm 若缺資料不比較時 7.7, 5.8, 5.4, 5.3cm

-200

-100

0

100

200AP2009

t(hr)

y(cm

)

0 3000 6000 9000-30

-20

-10

0

10

20

30

t(hr)

y(cm

)

資料補遺

Dev:5.98, R2=0.957

-30 -20 -10 0 10 20 300

50

100

150

200

250

300

350

400

y(cm)

pdf(

norm

al)

0 12 24 36 48 600

5

10

15

20

25AP2009

T(hr)

|Sf(

y)|

資料補遺

台中 : 缺 463 筆 補遺三次之 STD 為 30.1, 15.3, 14.3, 14.2cm 若缺資料不比較時 18.6, 14.4, 14.2, 14.2cm

-400

-200

0

200

400TC2009

t(hr)

y(cm

)

0 3000 6000 9000-30

-20

-10

0

10

20

30

t(hr)

y(cm

)

資料補遺

Dev:15.60, R2=0.989

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 1200

100

200

300

400

500

600

y(cm)

pdf(

norm

al)

0 12 24 36 48 600

20

40

60

80

100

120

140

160

TC2009

T(hr)

|Sf(

y)|

分潮的選擇

60 分潮 10 分潮 54 分潮 振幅 相位 振幅 相位 振幅 相位K1 19.21 -76.07 K1 19.21 -76.09 K1 19.21 -76.05O1 18.51 23.05 O1 18.53 22.98 O1 18.49 23.03M2 18.17 0.15 M2 18.17 0.06 M2 18.16 0.15Sa 15.03 48.17 Sa 15.00 48.28 S2 7.03 83.70S2 7.04 83.76 S2 7.02 83.73 P1 5.76 -56.35P1 5.76 -56.38 P1 5.75 -56.50 N2 4.45 53.53N2 4.45 53.54 N2 4.36 52.71 Saa 3.86 -10.96Ssa 3.90 -11.00 Ssa 3.86 -11.14 Q1 3.85 63.46Q1 3.84 63.49 Q1 3.74 63.12 K2 2.08 46.46K2 2.08 46.42 K2 2.10 46.83 Mm 1.03 54.73

分潮的選擇

潮汐資料個數 8760 ( 每小時 ) 分潮個數 : 60平均值 -0.03 (CM) R2: 0.950STD(ym-yp): 6.1071 (CM) 資料個數 8760 ( 每小時 ) 分潮個數 : 10 ( 選擇 60 個分潮最大10 個 )平均值 -0.01 (CM) R2: 0.942 STD(ym-yp): 6.5344 (CM)  刪除 6 個不滿足選擇資料長度之分潮 ( 雖然只少幾筆 )天文朝能量比 0.796 ( 此顯示濾出之天文潮不好 )平均值 -0.022 R2: 0.796STD(ym-yp): 12.269 ( 高雄若刪除 Sa 分潮則 STD 變大 )

23

資料補遺

採用內差方式 (polynomial Interpolation) 進行補遺。提出具體作業化之調和內差補遺方法： HIS (Harmonic Interpolation Supplements ) 。準確且有效率地一次完成潮汐之調和分析、預報、補遺、及相關之誤差分析。透過人造斷續缺漏的營造，應用 HIS ，提供純化的天文潮位。

Effect of length of missing data

Is it necessary for HIS?

24

壓力與溫度的影響

5040 5400 5760 6120Time (h rs)

-1

-0 .5

0

0.5

1

1.5

2

Tid

e E

le.

(m)

H uaL ien T ides Y2K 4H L2K4M 12D 365L22.dat

H IS S upplem ent

M easurem ent

.

.

-0 .2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Diff

.(M

eas.

-HIS

) (m

)

RANANIM

RANANIM

AERE

AERE

HAIMA

Surg Analys isD iff. o f (M eas.-H IS P red.), Suppl.

24hrs M A vg of S uppl. D iff.

24hrs M A vg of O rig inal D iff.

(24-2160)h rs M Avg o f M eas.

E rror Analyses:M eas. R M S=0.06584 (m ); C ore l. C oef.=0.98687S upple . R M S=0.18084 (m ); C ore l. C oef.=0.93389

0 3000 6000 9000-300

-200

-100

0

100

200

300KH-2009-tide

t(hr)

y(cm

)Storm surge: 張永欣論文Temperature+ multi-point predication: 林立青博士論文