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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES (CICLO GENERAL)
ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA
GUIA Nº 1
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA
OBJETIVOS
Identificar el paso del modelo de Polya utilizado para resolver un problema.
Describir las estrategias para resolver problemas
Aplicar el modelo de Polya a la resolución de problemas.
COMPETENCIAS
Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.
Desarrollo y profundización del pensamiento lógico matemático.
Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y
situaciones problémicas.
Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.
Habilidad de conversión de un objeto matemático a los diferentes lenguajes,
registros y representaciones matemáticas, cuando sea posible.
DESARROLLO TEMÁTICO
GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de
Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fué
maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la
Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus
estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los
resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue
descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más
que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la
solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás
Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que
promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de
problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15
idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias
específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son
Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible,
Volúmenes I y II. Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las
matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver
problemas. El Método de Cuatro Pasos de Polya.
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece
importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un
ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver
un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales
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que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de
paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un
problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es
absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a
ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 +
2 o bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo
repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le
plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio
rutinario: "dividir ".
Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender
conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar
cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente,
la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de
Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de
cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas"
de este autor (Editorial Trillas).
Paso 1: Entender el Problema.
¿Entiendes todo lo que dice?
¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
¿Distingues cuáles son los datos?
¿Sabes a qué quieres llegar?
¿Hay suficiente información?
¿Hay información extraña?
¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un
artificio ingenioso que conduce a un final).
Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
Usar una variable.
Buscar un Patrón
Hacer una lista.
Resolver un problema similar más simple.
Hacer una figura.
Hacer un diagrama
Usar razonamiento directo.
Usar razonamiento indirecto.
Usar las propiedades de los Números.
Resolver un problema equivalente.
Trabajar hacia atrás.
Usar casos
Resolver una ecuación
Buscar una fórmula.
Usar un modelo.
Usar análisis dimensional.
Identificar sub-metas.
Usar coordenadas.
Usar simetría.
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Paso 3: Ejecutar el Plan.
Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el
problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita
una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te
prenda el foco" cuando menos lo esperes!).
No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una
nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
¿Adviertes una solución más sencilla?
¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita.
Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del
problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego
interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue, algunas
sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas.
Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este
apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de
problemas:
1. Acepta el reto de resolver el problema.
2. Reescribe el problema en tus propias palabras.
3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias.
5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no
dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
7. Analiza el problema desde varios ángulos.
8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar
una para tener éxito.
10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de
ellos, su confianza crecerá.
12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que
realmente entendiste el problema.
Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la
comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.
13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso
clave en tu solución.
14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas
entenderla si la lees 10 a años después.
15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran
ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias
significativas.
16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.
Tomado de I. E. S. Rosa Chacel. Dpto. de Matemáticas
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EJEMPLOS DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCION DE
PROBLEMAS
A continuación describiremos algunas estrategias para resolver problemas y enunciaremos
algunos ejemplos para su análisis:
Existen varias estrategias para resolver problemas. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos,
debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa, procede en
la forma que has pensado; comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación de
dos o más estrategias para resolver un problema.
Algunas de estas estrategias se describen a continuación:
Descubrir un patrón: Te ayuda a describir algo que ocurre en repetidas ocasiones. Un
patrón en un problema se puede presentar como un comportamiento en el cual una misma
cantidad se sume, reste, multiplique o divide. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver
con números, sino con figuras geométricas, letras o comportamientos.
Ejemplo:
Para cada uno de los patrones siguientes, determina los dos términos que siguen:
a. 1, 3, 5, 7, …
b. 1, -2, 3, -4, …
c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
d. 3, 12, 48, 192, …
e.
SOLUCIÓN:
a. 9 y 11. Cada número es impar positivo.
b. 5 y -6. El valor absoluto de cada número es uno más que el anterior. Los
números son alternos en signos.
c. 21 y 34. A partir del tercer número cada uno es la suma de los dos anteriores.
(Nota: este patrón se conoce como la sucesión de Fibonacci)
d. 768, 3072. Cada número es el producto de 4 por el número anterior.
e.
De atrás hacia adelante
Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes
que comenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante.
Ejemplo:
El manatí que cuidaban en la Parguera, atrajo a muchas personas. El primer día acudieron a
verlo 80 espectadores menos que el segundo. El segundo día fueron 250 personas menos
que el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Al cuarto día fueron 500
personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día?
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Solución:
Comprender el Problema
Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el manatí el primer día. Se
sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron 250 menos
que el tercero. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día, en el que se
presentaron 500 personas.
Desarrollar un Plan
Este problema se resuelve trabajando de atrás hacia adelante. Como se conoce la cantidad
que fue el cuarto día, se calcula cuantos fueron el tercero, el segundo y por último el primer
día.
Llevar a cabo el Plan
Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que ese
día hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250
personas menos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300
personas. Para determinar la cantidad que acudió el primer día, solo queda restar 80 a la
cantidad del segundo día. Esto da 220 personas.
Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración de
una tabla:
DIA ASISTENCIA
CUARTO 500
TERCERO 500 + 50 = 550
SEGUNDO 550 – 250= 300
PRIMERO 300 – 80 = 220
Comprobar:
Se puede revisar invirtiendo el proceso de adelante hacia atrás: si el primer día fueron 220
personas, el segundo día fueron 80 más, o sea 300. El tercer día acudieron 250 más que el
segundo; es decir 550. El cuarto día fueron 50 menos que el tercero. Lo cual coincide con el
hecho de que el cuarto día acudieron 500 personas.
Tanteo y error
Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar varios
intentos para llegar a la solución.
Ejemplo:
Escribe símbolos de suma y resta entre números compuestos de los dígitos
3 5 9 1 0 5 3
De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen
que presentar en el mismo orden que aparecen.
Solución:
Comprender el problema:
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Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolos de suma y
resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. 3,5,9,1,0,5y3.
Además, el resultado tiene que ser 257.
Desarrollar un Plan
El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en
posiciones diferentes. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menos
una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300.
Llevar a cabo el Plan
A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma:
359 + 10 – 53 = 316; entonces, esta combinación no funciona.
Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta;
35 + 9 + 105 – 3 = 146; este ejercicio tampoco da 257.
Por último, se prueba una combinación con 359 y 105:
359 – 105 + 3 = 257; ¡es el arreglo correcto!
Comprobar:
Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen.
Elaboración de una tabla:
Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones de
números en forma organizada. Una tabla es un arreglo rectangular de la información,
acomodada en filas y columnas.
EJEMPLO
Los estudiantes de una clase de Botánica llevaron 300 hojas para estudiar sus características
y propiedades curativas. La clase analizó 10 hojas el primer día, el segundo estudió 15, el
tercero 20 hojas y así sucesivamente. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas
las hojas?
Comprender el problema:
En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día, 15 el segundo, 20 el tercero
y así sucesivamente. Además, la cantidad total de hojas que tienen que estudiar es 300. Se
desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas.
Desarrollar un Plan
Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Esto define un
patrón. Una vez descubierto, se pueden organizar los datos en una tabla con tres columnas.
La primera se refiere al día que estudiaron las hojas, la segunda a la cantidad de hojas que
analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. De esta manera
se continúa el patrón hasta llegar a la solución.
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Llevar a cabo el Plan
En este paso se prepara la tabla mencionada:
DIA HOJAS ESTUDIADAS TOTAL DE HOJAS
ESTUDIADAS
1 1O 10
2 15 25
3 20 45
4 25 70
5 30 100
6 35 135
7 40 175
8 45 220
9 50 270
10 30 300
Comprobar
Revisa si la respuesta tiene sentido. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y
cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar.
En conclusión, el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300
hojas.
ACTIVIDADES
A continuación se presenta un conjunto de problemas, resuélvalos aplicando los pasos del
modelo de Polya.
1. Roberto y Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto está menos
alegre que Roberto pero más que Alfredo. ¿Quién está más alegre? ¿quién es
menos?
2. Cuándo en la ciudad de Barranquilla son las 12 del día en Moscú son las 8 de la
noche. Un avión sale de la Ciudad de Barranquilla a las 7 de la mañana (hora de
Barranquilla) y efectúa un viaje de 11 horas. ¿A qué hora aterrizó en Moscú (hora
de Moscú)?
3. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra.
¿Cuántos apretones de manos se dan en total?
4. Elabora un esquema para el siguiente problema que no incluya datos numéricos
Se tiene una cierta cantidad de posturas de árboles frutales, de las cuales una parte
corresponde a naranjas, otra a mangos y la tercera a guayabas. ¿Cómo se puede
saber qué parte corresponde a guayabas, si se conoce la de naranjas y la de mangos?
5. La figura representa datos respecto a la población de varias ciudades. Inventar un
problema que pueda resolverse con esa figura.
Bogotá Medellín Barranquilla Santa Marta
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6. Elaborar una misma situación que corresponda con un esquema dado.
a)
Una solución: Todos los alumnos de un aula están en un grupo artístico, 22 de ellos en
danza y 20 en teatro. ¿Cuántos están solo en danza, si en total son 30?
Segunda solución:
b)
7. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. Si dentro de 14 años el padre
tendrá el duplo de la edad del hijo, ¿cuál es la edad del padre?
8. Un autobús escolar con capacidad para 36 personas, en su primera parada recoge un
estudiante, en el segundo recoge dos, en la tercera recoge tres y así sucesivamente.
Sin ningún estudiante se baja del autobús, después de que parada se llenará el
autobús?
9. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta de rojo. El cubo pintado se
corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm por lado no
tienen pintada ninguna cara?
10. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las dos páginas donde se
abrió el libro 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro?
11. ¿Cuáles de las siguientes pelotas no pertenecen al mismo conjunto?
Una bola de billar.
Una pelta de beisbol.
Una pelota de baloncesto.
Una de futbol americano.
12. Para celebrar el inicio de las clases, los alumnos de sexto año deciden organizar una
fiesta en la casa de María. Su hermano observa que al abrir la puerta por primera
vez llega un invitado, la segunda vez llegan tres invitados, al abrir por tercera
ocasión la puerta entran cinco invitados, y así sucesivamente. ¿Cuántos invitados
abran entrado en la novena vez que se abre la puerta? ¿Cuántas veces se ha abierto
la puerta cuando han entrado 23 invitados?
13. José tiene menos de diez canicas. Si las arregla en grupo de tres, se da cuenta de que
no le sobra ninguna, sin embargo, cuando las agrupa de cuatro en cuatro se da
cuenta que le sobra una. ¿Cuántas canicas tiene José?
14. Luis pesa 40kg, y José y Mateo pesan juntos 80 kg. Si mateo pesa más que José,
¿Quién es el que pesa menos y quién es el que pesa más de los tres?
10 12
8
10
4 4 4
4
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15. En una tienda de discos los CD se venden a $5, $10 y $15. Si planeas gastar $30 en
la compra de CD. Muestra todas las combinaciones de CD que puedes comprar
16. Julia tiene un carro pequeño que le rinde 30 kilometros por galón en el pueblo, y 36
kilómetros por galón en el expreso. El tanque de su carro tiene capacidad de 15
galones, la gasolina regular cuesta a $ 0.28 el litro hy la premiun a $ 0.32 el litro.
¿Cuánto le costará llenar el tanque de su auto con gasolina regular? (ayuda: 1 galón
es aproximadamente equivalente a litros )
17. La señora Martínez desea sembrar amapolas en el patio de su casa de modo que
formen una verja recta. La distancia que desea cubrir mide 30 pies. El jardinero le
indica que estas flores deben sembrarse a 2 pies de distancia entre ellas. ¿cuántas
debe comprar para cubrir la verja de extremo a extremo si desea sembrar la primera
amapola en uno de los extremos?
18. Carlos y Juan ganan la misma cantidad de dinero al mes, a pesas que uno de ellos
trabaja 5 días más que el otro. Si Carlos gana $28 al día y Juan gana $48 al día,
¿cuántos días trabajan cada uno al mes?
19. En el salón de historia están estudiando las banderas de los países de las Américas.
Cada día estudian algunas y aprovechan para estudiar la topografía del país. El
quinto día estudiaron 2 países más que el cuarto día. El cuarto día estudiaron tres
países menos que el tercer día. El tercer día estudiaron la misma cantidad de países
que estudiaron el segundo día. El segundo día estudiaron cuatro países. El primer
día estudiaron un país menos que en segundo día. ¿Cuántos países estudiaron en
total?
20. En el mismo orden que aparecen, agrupa los siguientes dígitos 6 3 5 4 7 y escribe
los símbolos de suma y resta para que obtengas 534
21. En el verano de 1995, José viajó a varias ciudades de Europa. Antes de salir de
viaje, sacó una tarjeta de estudiante internacional con la cual le dan descuentos. La
visita al Museo Carolino Augusto en Salzburgo, cuesta $3.35 a los adultos y a
$1.25, a los estudiantes con identificación. ¿Cuál es el por ciento que se ahorró José
en su tarjeta?
22. En la escuela del 11 de Noviembre, se espera que la matricula aumente en 50
estudiantes al año durante los próximos 8 años. Si la matricula actual es de 672
alumnos. ¿Cuántos estudiantes habrá en la escuela al cabo de este período?
23. El sueldo anual de Miguel ha aumentado la misma cantidad en los últimos años. Su
sueldo era de $18 000 anuales el primer año de trabajo. Si el séptimo año ganaba
$24000. ¿Cuántos años lleva en el trabajo si ahora gana $30 000 anuales?
24. Las agendas para el próximo año escolar están en oferta. Los precios son
independientes del color, pero dependen del tamaño. Si copras entre una o tres
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agendas del tamaño regular, cuestan $47 cada una. Si compras entre 4 y 24 de las
mismas, cuestan $39.75 cada una. La agenda de bolsillo tiene los siguientes precios,
entre una y tres cuestan $16.95, entre 4 y 24 cuestan $13.50. Para el día del
ejecutivo, el presidente de JOTA MATEMAT decide comprar estas agendas para
sus empleados. Si compra diez agendas de bolsillo color marrón y dos agendas
negras de tamaño regular. ¿cuánto se ahorró?
25. Ricardo trabaja en el supermercado Grande, su sueldo es de $4.35 la hora por 20
horas a la semana, el doble desea cantidad por horas extras, más propinas. La
semana pasada ganó $72 en propinas y trabajo 31 horas. ¿cuánto ganó esa semana?
26. Muchas personas fueron al cine de Cine Mark a ver la última película de Harry
Potter: el primer día fueron 2000 personas, el segundo día 2500 y 3000 al tercero. Si
la asistencia continúa de esta forma en una semana. ¿en qué día habrán asistido en
forma acumulativa 19500 personas?
27. Conscientes de los problemas ambientales que causa la basura, en la Escuela IED 20
de Julio han iniciado un programa de reciclaje. Tony, uno de los estudiantes más
entusiasmados con la idea, recicla botellas de vidrio y de plástico. En la escuela han
decidido premiar al estudiante que acumule 2000 puntos. Se asignan 20 puntos por
reciclar una botella de plástico y 15 puntos por reciclar una de vidrio. Tony ha
acumulado 515 puntos, ¿cuántas botellas de cada clase ha reciclado?
BIBLIOGRAFIA
CAMPISTROUS, L., RIZO, C. “Aprende a resolver problemas aritméticos” (1996)
Editorial Pueblo y Educación.
RODRIGUEZ, J., CARABALLO, A., CRUZ, T., HERNANDEZ, O.
“Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones”. (1997). International
Thomson Editores.
SANTOS TRIGO, L. “La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos
Cognitivos”. (2007). Editorial Trillas.