Post on 22-Dec-2021
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Grundkurs Physik 2Schwingungen und Wellen, Thermodynamik, Elektrodynamik
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Termine
Vorlesung- Dienstags (alle 14 Tage), 9:15 Uhr
Seminarraum 1, Institutsgebäude- Mittwochs 13:30 Uhr,
Hörsaal Schutow, Schutower Straße 5
KontaktPD Dr. Josef TiggesbäumkerUniversitätsplatz 3Zimmer 210josef.tiggesbaeumker@uni-rostock.de
Übung (alle 14 Tage)/ Seminar (spezielle Termine)Dienstags 9:15 Uhr (alle 14 Tage)
Übungsgruppe, Seminarraum Didaktik, Schwaansche Strasse 3a Abgabe der Lösungen jeweils am Montag vor der Übung,
KontaktDipl. Phys. Johannes PassigUniversitätsplatz 3Zimmer 210johannes.passig@uni-rostock.de
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Scheine, Scheine, Scheine
Lösungen der Übungsaufgaben werden bewertet !!!
Kriterien
Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen50% der maximal erreichbaren Punkte
SeminarbeitragVortrag über ein gegebenes Thema (20 Minuten plus Diskussion)
Klausur am Ende des SemestersTeilnehmerschein/ Leistungsschein
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15a Schwingungen
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Bestimmung der geographische Längeberechnet aus Differenz von höchster Sonnenstand und 12 Uhr Zeitangabe
Fehler von einer Minute am Äquator entsprechen 28 km!
1714 Englisches Parlament Preisgeld von 20 000 Pfund(zum Vergleich Jahresverdienst eines Arbeiters 10 Pfund)
für eine Uhr mit einer Genauigkeit von 1 bis 2 Minuten nach mehreren Monaten Schiffsreise
Lösung des Problems erst 1761 durch Harrison
Seefahrt. Genau!
John Harrison(1693-1776)
H1
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Harmonische Schwingungen
DefinitionSich wiederholende zeitliche Änderung einer physikalischen Größe (Länge, Temperatur, Spannung, )
Stabiles GleichgewichtKraftwirkung in Richtung Ruhelage
Labiles GleichgewichtKraftwirkung in Richtung Ruhelage
Indifferentes GleichgewichtKeine Kraftwirkung bei Auslenkung
Alle System, die dem Hookschen Gesetz genügen, führen harmonische Schwingungen aus.
Harmonische Schwingungen sind die am häufigsten beobachteten Oszillationen im Alltag
Jedes System, das nur geringfügig aus seiner Ruhelage verschoben wird, schwingt harmonisch um den Ruhepunkt.
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SchwingungenKlassische Mechanik
Fadenpendel
Hydrometer
TorsionspendelCavendish Experiment
Masse an Feder
Helmholtzresonantor
Elektrischer Schwingkreis
Flüssigkeit in U-Rohr
Masse durch Zugkräfte gehalten
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SchwingungenRelevanz in der modernen Physik
Quantenmechanischer harmonischer Oszillator
PhononenSchwingungen eines Festkörpers
Schwingungen eines Moleküls Riesenresonanz in AtomkernenSchwingungen Neutronen und Protonen
Nb
Al
Mie Lichtstreuungan kleinen Teilchen
Schwingungen der Sonne
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Gekoppelte SystemeOszillationen im Tierreich
Alaska
Schneehase
Luchs
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Hase und Jägerim ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert
Schneehasen
S(t) Beutepopulation
dS(t)/dt zeitliche Änderung der Beutepopulation
S1S(t) natürliche Entwicklung der BeutepopulationVermehrung/ Sterben
S2S(t)L(t) Entwicklung der Beutepopulation in Abhängigkeit von der Anzahl der Räuber(Luchse)
Zeitliche Entwicklung der Population A hängt von der Entwicklung der Population B ab (und umgekehrt) und kann nicht unabhängig voneinander betrachtet werden
LuchseL(t) Räuberpopulation
dL(t)/dt zeitliche Änderung der Räuberpopulation
L1L(t) natürliche Entwicklung der RäuberpopulationVermehrung/ Sterben
L2S(t)L(t) Entwicklung der Räuberpopulation in Abhängigkeit von der Anzahl der Beutetiere(Schneehasen)
Gegenseitige Abhängigkeiten zwischen Hasen und Jäger
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Hase und Jägerim ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert
)()()()(
)()()()(
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21
tLLtLtSLdt
tdL
tLtSStSSdt
tdS
−=
−=
Gekoppelte Differentialgleichung
Schneehasen unter sich
gegenseitige Abhängigkeit
- Oszillation in der Population- Populationen gleichen sich an- Maxima und Minima
zu unterschiedlichen Zeitpunkten (Phase)
Ähnliche BeobachtungenLöwe-AntilopePanda-Bambus
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Hooksches GesetzKraftwirkung ist umgekehrt proportional der Auslenkung
Auslenkung aus der Ruhelage nach rechtsx positiv
Auslenkung aus der Ruhelage nach linksx negativ
Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetztF negativ (F~-x)
Gleichgewichtsposition (x=0)Kraftwirkung verschwindet
Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetztF positiv (F~x)
kxFS −=Gesetz Hooksches
Robert Hooke(1635-1703)
stets entgegengesetzt der Auslenkung linear der
Auslenkung
Proportionalitätskonstante
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
mN
xFk S
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Einfach harmonische Bewegungvertikale Auslenkung
Grundlage der BeschreibungNewtonsche Bewegungsgleichung
∑ = amF rr
Beschleunigung proportional der AuslenkungBeschleunigungsvektor entgegengesetzt zur Auslenkung
wechseltVorzeichen da ,0 Auslenkungminimaler bei maximalgkeit Geschwindi
Auslenkungmaximaler bei maximal gchleunigunAnfangsbes
ax
AmkAx
=
−⇒=→
betrachtevertikale Auslenkung reibungsfrei
Das Hooksche Gesetz beschreibt solche Bewegungsformen
wir werden sehen, dass in der Natur viele Systeme in so einer Weise auf äußere Störungen reagieren
xmka
kxma
x
x
−=
−=Komponenten
Direkte Konsequenzen aus dem Hookschen Gesetz
Schwingung heißt Energietausch zwischen Energieformen gekoppelte Systeme
kinetische Energie – potentielle Energieelektrische Energie – magnetische Energie
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Mathematische Beschreibungwelche Funktionen könnten solche physikalischen Phänomene beschreiben
xx
mk
xmkx
dtd
²dt²d²
:enzKreisfrequ Definiere
²²
2
ω
ω
−=
=
−=
gesucht eine Funktion, deren zweite Ableitung wieder sich selbst ergibt (mal einer Konstante)
( )
( )
( )
)(²)(²²
cos²)(²²
sin)(
cos)(
txtxdtd
tAtxdtd
tAtxdtd
tAtx
ω
φωω
φωω
φω
−=
+−=
+=
+=Ratesansatz Kosinusfunktion
Newtonsche Bewegungsgleichung
Amplitude A
φω +tPhase
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
sradEinheit
Vermutung Sinus und Kosinus
erfüllen die Anforderungen
Phasenwinkel[ ]radEinheit
0≠φ
0=φ
Ansatz sin Funktion liefert auch eine Lösung
Erinnerung
Radian[rad]
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Harmonische Bewegung eines Oszillators
Oszillierender Körper schreibt Sinus- bzwKosinusfunktion auf gleichmäßig bewegtem Papier
x-t Schreiber
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Jupitermonde
Aus Sicht der Erde führen die Jupitermonde eine harmonische Schwingung aus
Hinweis auf heliozentrisches Weltbild
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Definitionen
Amplitude
Die Amplitude definiert die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage
Auslenkung = Längenänderung (m)
Auslenkung = Winkeländerung (rad)
Der Wert der Auslenkung kann unterschiedlich bestimmt werden
( )φω += tAtx cos)(
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Definitionen
Phase
Violin Phase (1967)Musikstück für vier Violinen
oder für eine Violine und Tonband
Durch die Phase φ wird das Schwingungsverhalten unterschiedlicher Oszillatoren (gleicher Frequenz) verglichen
Position der größten Auslenkung ist gegenüber dem anderen
System um einen gewissen Betrag verschoben
gilt aber für jeden Wert der Auslenkung
Maximaler Unterschied (Phasenwinkel) ist 2π
π2
( )φω += tAtx cos)(
gleiche Amplitudegleiche Frequenz
aber unterschiedliche Phase
Steve Reich (1936-)
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Definitionen
Periode und Frequenz
Ein vollständiger Zyklus der Bewegung
Position des Körpers identisch bei t und t+T
Kosinus f(α)=f(α+2π)π2
( )( ) ( )
ωππω
πφωφω
22
2
=
=⇓
=+−++
T
T
tTt
πω2
1==
Tf
PeriodeSI Einheit [s]
FrequenzSI Einheit [1/s=1 Hz]
Tf ππω 22 == Kreisfrequenz
SI Einheit [1 rad/s]
mk
Tf
kmT
π
πωπ
211
22
==
==Frequenz der Oszillation hängt nur von der Masse m des Körpers und der Federkonstante k ab und nicht
von den Parametern der Schwingung wie Amplitude A und Phase φ
( )φω += tAtx cos)(
betrachte eine vollständige Schwingung
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Harmonische Schwingung
( )φω += tAtx cos)(
Diese Funktion beschreibt das Verhalten der Ortskoordinate
GESUCHTdas zeitliches Verhalten
von Geschwindigkeit und Beschleunigung
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Geschwindigkeit
( )( )
( )φωω
φω
+−=
+==
tA
tAdtdx
dtd
sinv
cosv
Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation
mkA
A
±=
±=
max
max
v
v ω
x(t)
v(t)
für eine willkürlich gewählte Phase
Geschwindigkeit maximalwenn Beschleunigung minimal
( )φω += tAtx cos)(
erste Ableitung
maximaler Wert
mk
=ω
Erinnerung
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Geschwindigkeit und Beschleunigung
( )( )
( )φωω
φω
+−=
+==
tA
tAdtdx
dtd
sinv
cosv
Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation Beschleunigung des Körpers bei der Oszillation
mkA
A
±=
±=
max
max
v
v ω
mkAa
Aa
±=
±=
max
max ²ω
( )( )
( )φωω
φω
+=
+==
tAa
tAdt²d²x
dt²d²a
cos²
cos
x(t)
v(t)
a(t)
für eine willkürlich gewählte Phase
Geschwindigkeit maximalwenn Beschleunigung minimal
( )φω += tAtx cos)(
Beschleunigung maximal, wenn Auslenkung maximal
erste Ableitung zweite Ableitung
maximaler Wert
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Anfangsbedingung IFeder gespannt
0sin)0(vcos0
ungenRandbeding
=−===φωφ
AAA)x(
Als Phase wählen wir φ=0,damit ist die Gleichung oben erfüllt
Ortskoordinate
x(t=0)=Α
tAx ωcos=Lösung
( )φω += tAtx cos)(
Geschwindigkeit
v(t=0)=0
Beschleunigung
a(t=0)=-a0
Verlauf der Schwingung bei unterschiedlichen Anfangsbedingungen
( )( )φωω
φω+−=
+=tAt
tAx(t)sin)(v
cosPhase?der mit ist Was
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Anfangsbedingung IIDurchgang durch die Gleichgewichtslage
ωφω
πφφ
ii AA
A)x(
vvsin)0(v
20cos0
m=⇒=−=
±=⇒==
2--1sin
positivA und 0vungRandbeding
πφφ =⇒=
↓
>i
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2cosv πω
ωtx i
Lösung
resultierende Amplitude
Phase um π/4 verschoben
Anfangsbedingung I (Feder gespannt)
( )φω += tAtx cos)(
Ortskoordinate
x(t=0)=0
Geschwindigkeit
v(t=0)=v0
Beschleunigung
a(t=0)=0
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Schlagloch
Masse des Trabant620 kg
Federkonstante der Einzelfederk=15 000 N/m
Fall BZusätzlich Fahrer und drei Mitfahrer
insgesamt 250 kg
Hz 23.1250kg620kg
mN 000 60
21
21
=
+=
+=
voll
PersonenTrabi
effvoll
fmm
kf
ππHz 75.1
620kgmN 00600
21
21
=
==
leer
Trabi
effleer
fmk
fππ
( )
mN 00600
mN 001504
=
⋅=
−=−=−= ∑∑
eff
eff
effres
k
k
xkxkkxF
Fall AOszillationsfrequenz des leeren Trabant
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EnergiebetrachtungEnergietransfer in schwingendem System
Erinnerung an die Vorlesung MECHANIKViele Probleme lassen sich unter Verwendung des Energiesatzes leichter lösen
Kinetische Energie des harmonischen Oszillators ( )
( )
( ) ( )( )
2
1cossin
222
222
222
21
cossin21
cos21
21
sin21²v
21
22
kAE
ttkAE
PEKEE
tkAkxPE
tAmmKE
=
⇓
+++=
+=
+==
+==
=Θ+Θ
φωφω
φω
φωω
Gesamtenergie des harmonischen Oszillators
Elastische Energie des harmonischen Oszillators
( )( )φωω
φω+=+=tAt
tAtxsin)(v
cos)(Ausgangslage schon berechnet
Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist eine Konstante der Bewegung und ist proportional zum Quadrat der Amplitude
BemerkungSowohl die kinetische Energie als auch die elastische Energie sind stets positiv
Gesamtenergie des harmonischen Oszillators
27
Energie des harmonischen Oszillators
2
222ax
21
21
21v
21
00Position Betrachte
kAE
AmkmAmmE
PEx
m
=
===
==
ω
0=x
Austausch von kinetischer und elastischer Energie im harmonischen Oszillator
Beitrag von kinetischer und elastischer/ potentieller Energie während der Schwingung
ωA=maxvErinnerung
Gesamtenergie
28
Energie des harmonischen Oszillators
0=x
2x
21
41
2
21
21
giltder bei Amplitude Suche
22
Bedingung
2
2
A
kxkA
PEE
kxPE
kAE
=
=
=
⇓
=
=
Bei welcher Auslenkung ist kinetische und potentielle Energie vom Betrag her gleich?
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Energietransfer
PE max
PE max
PE max
KE max
KE max
Pendel Feder
30
Geschwindigkeit v(x)
( )
( )22
²
22
222
v
mkv
21v
21
21
xA
xA
mxmkA
PEKEE
mk
−±=
⇓
−±=
=+=
⇓
+=
=
ω
ω
A
x
ω±=⇓
=
v
0
( ) 0v 22 =−±=
⇓
=
AAA
Ax
ω
Check für Extremalpositionen
Nutze Energiesatz um Geschwindigkeit des Körpers an beliebiger Position zu berechnen
Geschwindigkeit an Position x
Maximal am Gleichgewichtspunkt Minimal am Umkehrpunkt