6 PROSTA GREDA 6.1 Statička metoda

Ako je jedna kruta ploča oslonjena na jedno nepokretno i drugo pokretno

ležište čiji su pravci okomiti na pravu koja spaja tačke oslanjanja, tada se

taj nosač naziva prosta greda.

Slika 6.1 Prosta greda

(6.1)

1 0

1 0

1

1

Ln

m m

m

Ln

m m

m

A P x p x x dxL

B P x p x x dxL

Kontrola postupka provodi se iz uslova ravnoteže

(6.2)

Transverzalna sila u proizvoljnom presjeku cjednaka je algebarskom zbiru

svih okomitih sila na osu štapa sila lijevo ili desno od tog presjeka.

(6.3)

Momenat savijanja u proizvoljnom presjeku c jednak je algebarskom zbiru

momenata svih sila lijevo ili desno od tog presjeka u odnosu na tačku c.

(6.4)

0Y

1 0

0

Ln

m

m

A B P p x dx

1 10

c

c

x Lk n

c m m

m m k x

T A P p x dx B P p x dx

1 0

1

c

c

xk

c c m c m c

m

Ln

c m m c c

m k x

M Ax P x x p x x x dx

Bx P x x p x x x dx

Ako je prosta greda opterećena samo raspodijeljenim opterećenjem, čija je

promjena duž štapa analitički definisana, tada se transverzalne sile i

momenti savijanja mogu odrediti:

(6.5)

(6.6)

Funkcija τF predstavlja odnos transverzalne sile u proizvoljnom presjeku

proste grede i reakcije A, a funkcija ωF odnos momenta savijanja na

posmatranom mjestu i momenta reakcije u odnosu na suprotan kraj.

Navedene funkcije zavise samo od oblika opterećenja.

F FT A M AL

0 0

1 1

c cx x

F F c cp x dx p x x x dxA AL

Tabela 6.1 Funkcije A, B, τF, ωF za razna podijeljena opterećenja

parabola sinusoida

Kada je prosta greda opterećena samo koncentričnim silama Pm u tačkama

nosača m=0,1,2... ...n u polju između dvije sile transverzalna sila je

Konstantna, a momenat savijanja se mijenja linearno.

Slika 6.2 Prosta greda opterećena koncentričnim silama

(6.7)

1

1

m m m

m m m m

T T P

M M T

Proračun se može provesti i tabelarno kao što je prikazano u tabeli 6.2.

Tabela 6.2 Tabelarni proračun proste grede opterećene sa koncentričnim

silama

(6.8)

0 0

1

n n

m m m

m m

A P x B P AL

Ukoliko imamo slučaj raspodijeljenog opterećenja prema proizvoljnoj funkciji,

a da pri tome koristimo postupak proračuna kao kod koncentričnih sila, tada

je pogodno izvršiti diskretizaciju opterećenja tj. Raspodijeljeno opterećenje

pretvoriti u koncentrično.

Slika 6.3 Diskretizacija proste grede

Kod trapeznog opterećenja reakcije od sekundarnih prostih greda dobijaju se

od donjeg i gornjeg trougaonog opterećenja.

Slika 6.4 Trapezno opterećenje proste grede

Reakcije od donjeg trougaonog opterećenja su:

(6.9)

2 m mm

pR

1, ,

2

3 6 3 3

m m m m m mm m m m

R p R pC C

1 1, 1 1, 1

3 6

m m m mm m m m

p pC C

Od gornjeg trougaonog opterećenja reakcije su:

(6.10)

Ukupna reakcija sa sekundarnih greda koja se predaje prostoj gredi u tački

m kao koncentrična sila je:

(6.11)

U tački 0 prva sekundarna greda će primarnoj gredi prenijeti reakciju:

(6.12)

1 1 1 1, 1 1, 1

6 3

m m m mm m m m

p pC C

1, , , 1 , 1 1 12 2

6 6

m m

m m m m m m m m m m m m mP C C C C p p p p

10 0 12

6 P p p

Ako se usvoji da su sva polja podjele jednaka dobija se:

(6.13)

Opterećenje čija je funkcija višeg stepena može se zamijeniti trapeznim, ali se

pri tome čini određena greška.

Zato je podesno funkcije opterećenja višeg stepena aproksimirati polinomom

drugog stepena.

(6.14)

0 0 1

1 1

1

26

46

6

m m m m

n n n

P p p

P p p p

P p p

21 1 1 1

2

2

2 2

m m m m mm

p p p p pp x p x x

Slika 6.5 Opterećenje aproksimirano polinomom drugog stepena

Površina paraboličnog segmenta dužine λ i strijele f je:

Prema tome na već gotove izraze za trapez treba dodati po pola površine sa

obadvije strane:

(6.15)

0 0 1 2

1 1

2 1

7 624

1012

6 724

m m m m

n n n n

P p p p

P p p p

P p p p

2

3F f

Slika 6.6 Skokovita promjena opterećenja

Ako se opterećenje mijenja skokovito a linearno je tada se može napisati:

(6.15)

10 0 1

11 1

1

26

2 26 6

26

L

D L D Lm mm m m m m

Dnn n n

P p p

P p p p p

P p p

6.2 Kinematska metoda

Reakcije oslonaca kinematskom metodom određujemo ako uklonimo

oslonac koji prenosi nepoznatu reakciju i time formiramo mehanizam sa

jednim stepenom slobode kretanja.

Slika 6.7 Mehanizmi proste grede

1 0 AY F

1 0 AX F u

1 0 BY F

Presječne sile kinematskom metodom se dobijaju uklanjanjem veze koja

prenosi nepoznatu silu, pri čemu se aplicira jedinično generalisano

pomjeranje u pravcu te sile.

Slika 6.8 Mehanizmi proste grede za određivanje M, T, N

6.3 Uticajne linije

Kada se na prostoj gredi kreće jedna jedinična sila analitički izrazi za uticajne

linije iznosiće:

(6.16)

Izrazi za transverzalnu silu:

(6.17)

Za momente savijanja:

(6.18)

u uA B

L L

c

uB u x

LT

uA u x

L

c c u x

u xB x u x

x xLM M

u x LA x u x

L

Slika 6.9 Uticajne linije proste grede

Ako je greda opterećena indirektno oblik uticajnih linija će biti poligonalan.

Slika 6.10 Uticajne linije proste grede opterećene indirektno

6.4 Granične vrijednosti transverzalnih sila

Za određivanje ekstremnih vrijednosti transverzalnih sila posmatrat ćemo

dva slučaja opterećenja, ravnomjerno raspodijeljeno i sistem koncentričnih

sila.

6.4.1 Ravnomjerno raspodijeljeno opterećenje

Slika 6.11 Uticajne linije za transverzalnu silu

Ekstremne vrijednosti transverzalnih sila za proizvoljan presjek dobijamo kao

proizvod intenziteta opterećenja i pozitivne, odnosno negativne površine

uticajne linije.

(6.19)

Uz pokretno opterećenje uvijek ide vlastita težina, od koje se transverzalna

sila računa po izrazu (6.20).

(6.20)

Ukupna transverzalna sila će biti:

(6.21)

22

22

max2 2

min2 2

p

p

x pLT p F p

L

x pLT p F p

L

1 22 2

g

gL gLT gx

2

2

max max 1 22

min min 1 22

g p

g p

LT T T g p

LT T T g p

Ako je greda opterećena indirektno oblik dijagrama transverzalnih sila je

stepenast.

Slika 6.12 Uticajne linije za transverzalnu silu kod indirektnog opterećenja

(6.22)

max2

m m

p

pe xT p F

L

Ako se za svako polje preko izraza (6.22) izračuna transverzalna sila dobija

se gornja stepenasta linija.

Transverzalna sila od stalnog opterećenja u polju (m-1, m) se dobije kada se

od reakcije oduzme dio sopstvene težine od početka nosača do polja (m-1,

m).

(6.23)

Sa ovim vrijednostima izračunatim za svako polje dobija se donja stepenasta

linija. Zasjenčeni dio je traženi dijagram maksimalnih transverzalnih sila.

11 1

2 2 2

m m

g m m m

x xgL gT gx g L x x

6.4.2 Sistem vezanih sila

Slika 6.13 Sistem vezanih sila iznad uticajne linije

Maksimalna transverzalna sila usljed sistema pokretnih vezanih sila će

nastupiti kada jedna od sila dospije iznad donjeg vrha uticajne linije.

(6.24) 1

c m mT A P xL

Slika 6.14 Grafičko rješenje maksimalnog uticaja T sila

(6.25)

(6.26)

m m

bm

P xy

L

1 b m my P x A

L

6.5 Granične vrijednosti momenata savijanja

Za ravnomjerno raspodijeljeno opterećenje ekstremna vrijednost momenata

savijanja se dobija za slučaj punog opterećenja nosača.

Maksimalni momenat savijanja u presjeku x od oslonca A jednak je:

(6.27)

Ukoliko je greda opterećena indirektno izraz daje maksimalne momente

ispod sekundarnih nosača, a između tih nosača dijagram je linearan.

U slučaju opterećenja sistemom vezanih sila maksimum tražimo za slučaj

kada je jedna sila iznad tjemena.

Slika 6.15 Uticajne linije za transverzalnu silu

2

max2 2

p R

R

p pLM x L x

Slika 6.15 Uticajna linije za momenat savijanja

Momenat savijanja u tački m je:

(6.28)

Tjeme parabole je u tački:

(6.29)

(6.30)

(6.31)

Paraboličnih funkcija ima onoliko koliko i sila na gredi.

2

L LRm m m m m m m

L

m m m m

Rx RM x M L a x x M

L L

R Rx L a x M

L L

02

m

m

L ax

2

1, 2 0 0

L

mm m m m

M Lx x x

R

2

max2

Lmm m

L aRM M

L

Specijalan slučaj je kada imamo dvije jednake sile na rastojanju e.

Slika 6.16 Slučaj za dvije jednake sile

(6.32)

(6.33)

02 4

m

L ex 1, 2

0

0

2

m m

m

xx

22

max2 4

P L eM

L