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11
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Organização; Resumo; Apresentação.
Amostra ou
População
Grande Conjuntos de DadosGrande Conjuntos de Dados
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.......................................
MaiorMenorTortoDesenho
MenorMaior DesenhoTortoLascadoLascadoEsmalteTortoEsmalteDesenhoLascadoTorto MaiorDesenhoMenorLascado
Defeitos em uma linha de produçãoDefeitos em uma linha de produção
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22
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100500TOTAL5,4027Trincado
11,4057Torto 16,6083Menor 14,0070Maior19,4097Lascado19,0095Esmalte14,2071Desenho%FreqüênciaDefeito
Distribuição de freqüênciasDistribuição de freqüências
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SIMPLES
ACUMULADAS
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
ApresentaçãoFREQÜÊNCIAS Percentual
Apresentação
PercentualDecimal
Decimal
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1,000,020,030,050,150,200,250,30fri
100235
15202530fri
—20019619018015011060Fi
—100989590755530Fri
200TOTAL4665
104303402501600fiValores
Freqüências: representaçãoFreqüências: representação
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Defeitos em uma linha de produção
14%
20%
19%14%
7%
11%5%
Desenho
Esmalte
Lascado
Maior
Menor
Torto
Trincado
33
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Número de irmãos dos alunos da turma 450 - Estatística - PUCRS - 2002/02
01032112012234120114655111121314220111540113136110
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Distribuição de freqüências por ponto ou valores da variável: “Número de irmãos dos alunos Número de irmãos dos alunos da turma 450da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística PUCRS - 2002/02.
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50∑∑∑∑263544538221170
N0 de alunosN0 de irmãos
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44
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Diagrama de colunas simples da variável: Número de irmãos dos alunos da turma 450Disciplina: Estatística, PUCRS -2002/02
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0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
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Neste caso, a média a dada por:
nx.f
f...ffx.f...x.fxfx ii
k21
kk2211 ∑=++++++
=
A média AritméticaA média Aritmética
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9550∑∑∑∑1226153516441553168221211070
fixifixi
ExemploExemplo
55
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A média será, então:
irmãos 90,15095
nx.f x ii ==∑=
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Como n = 50 é par, tem-se:
irmão
2 me
xx
xxxx )/(/)/n(/n
1211
2
2
2625
1250250122
=+
=+
=
=+
=+
= ++
A MedianaA Mediana
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Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)
—50∑∑∑∑5026483545444153368228211770Fifixi
Metade Metade dos dados dos dados n/2 = 25n/2 = 25
ExemploExemplo
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mo = valor(es) que mais se repete(m)
A ModaA Moda
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50∑263544538221170fixi
A moda é A moda é igual aigual a1 (um)1 (um)
Pois ele se Pois ele se repete mais repete mais
vezesvezes
ExemploExemplo
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66
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h = xmáx - xmín
h = 6 - 0 = 6 irmãos
A AmplitudeA Amplitude
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Neste caso, o dma será dado por:
n|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
O Desvio Médio O Desvio Médio
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64,4050∑∑∑∑2.|6 – 1,90| = 8,20263.|5 – 1,90| = 9,30 354.|4 – 1,90| = 8,40445.|3 – 1,90| = 5,50538.|2 – 1,90| = 0,8082
21.|1 – 1,90| = 18,90 2117.|0 – 1,90| = 13,3070
fi|xi - | fixi x
ExemploExemplo
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O dma será, então:
irmãos 29,150
40,64n
|xx|.f dma ii ==−∑=
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xnxf
n)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
22
i
k211
−∑=∑ −=
=−++−+−=
Neste caso, a variância será:
A Variância A Variância
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29950∑∑∑∑62.2 = 722652.3 = 753542.4 = 644432.5 = 455322.8 = 3282
12.21 = 2121102.7 = 070
fixi2fixi
ExemploExemplo
77
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A variância será, então:
irmãos 3700,2
90,150
299 xnxfs
2
222i2 i
=
=−=−∑=
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O desvio padrão será dado por:
irmãos 1,54 1,5395
3700,2xnxfs 2
2ii
≅=
==−∑=
O Desvio Padrão O Desvio Padrão
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Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:
%03,8190,1
539480,1g ==
O Coeficiente de Variação O Coeficiente de Variação
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Idade (em meses) dos alunos da turma 450 da disciplina: Probabilidade e EstatísticaPUCRS - 2002/02
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276 245 345 240 270 310 368
334 268 288 336 299 236 239 355 330
287 344 300 244 303 248 251 265 246
240 320 308 299 312 324 289 320 264
252 298 315 255 274 264 263 230 303
369 247 266 275 281 230 234
88
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Distribuição por classes ou intervalos da variável “idade dos alunos da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística da PUCRS - 2002/02
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50Total3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250
Número de alunosIdades
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Histograma de freqüências da
variável “Idade dos alunos da turma
450” de Probabilidade e Estatística
da PUCRS - 2002/02
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
2 3 0 | - - - 2 50 2 5 0 | - - - 2 70 2 70 | - - - 2 9 0 2 9 0 | - - - 3 10 3 10 |- - -3 3 0 3 3 0 |- - - 3 50 3 50 |- - - 3 7 0
fi / hi
99
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Antes de apresentar as medidas,
i. é, representantes do conjunto, é
necessário estabelecer uma notação
para alguns elementos da
distribuição.
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xi = ponto médio da classe;
fi = freqüência simples da classe;
lii = limite inferior da classe;
lsi = limite superior da classe;
hi = amplitude da classe.
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—50∑∑∑∑3603350 |--- 3703405330 |--- 3503206310 |--- 3303007290 |--- 3102808270 |--- 2902609250 |--- 27024012230 |--- 250xifixi
O Ponto Médio da Classe O Ponto Médio da Classe
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1010
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50356789
12fi
∑∑∑∑360340320300280260240xi
142601080170019202100224023402880fi. xi
A Média da Distribuição A Média da Distribuição
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A média será:
meses 20,28550
14260n
x.f x ii ==∑=
ExemploExemplo
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Neste caso, utilizam-se as freqüências acumuladas para identificar a classe mediana, i. é, a que contém o(s) valor(es) central(is).
A Mediana A Mediana
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Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)
Metade Metade dos dados dos dados n/2 = 25n/2 = 25
—50∑∑∑∑503350 |--- 370475330 |--- 350426310 |--- 330367290 |--- 310298270 |--- 290219250 |--- 2701212230 |--- 250Fifixi
ExemploExemplo
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Portanto, a classe mediana é a terceira. Assim i = 3. A mediana será obtida através da seguinte expressão:
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meses 2808420 270
8
212
50
20702
8
21250
20702 f
F2n
hli mi
1i
iie
=+=
−+=
=
−+=
−+=
−
1111
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Neste caso é preciso inicialmente apontar a classe modal, i. é, a de maior freqüência. Neste exemplo é a primeira com fi
= 12. Assim i = 1.
A Moda A Moda
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Classe Classe modal, pois modal, pois
ffii = 12. = 12.
—7654321i
50∑∑∑∑3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 270
12230 |--- 250fixi
ExemploExemplo
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Portanto a moda poderá ser obtida através de uma das seguintes expressões:
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Critério de King:
meses 250 99.20023
90
9.20302 ff
fhli m1i 1i
1iiio
=
+=
=
++=
++=
− +
+
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Critério de Czuber:
meses 246 16230
924
12.20023
)90(12.2
012.20302
)ff(f.2
ffhli m1ii
i
1i
1iiio
=+=
=
−+=
=
+−
−+=
=
+−
−+=− +
−
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1212
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h = xmáx - xmín
h = 370 - 230 = 140 meses
A Amplitude A Amplitude
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Neste caso, o dma será dado por:
n|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
O Desvio Médio Absoluto O Desvio Médio Absoluto
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x
50356789
12fi
∑∑∑∑360340320300280260240xi
1621,603.|360 – 285,20| = 224,405.|340 – 285,20| = 274,006.|320 – 285,20| = 208,807.|300 – 285,20| = 103,608.|280 – 285,20| = 41,609.|260 – 285,20| = 226,80
12.|240 – 285,20| = 542,40fi.|xi - |
ExemploExemplo
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O dma será, então:
meses 32,43 50
60,1621n
|xx|.f dma ii
=
==−∑=
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xnxf
n)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
22
i
k211
−∑=∑ −=
=−++−+−=
Neste caso, a variância será:
A Variância A Variância
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5035678912fi
∑∑∑∑360340320300280260240xi
4 138 0003.3602 = 3888005.3402 = 5780006.3202 = 6144007.3002 = 6300008.2802 = 6272009.2462 = 60840012.2402 = 691200
fi. xi2
ExemploExemplo
1313
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A variância será, então:
meses 420,961
20,28550
4138000
xn
xfs
2
2
22i2 i
=
=−=
=−∑=
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O desvio padrão será dado por:
meses 37,70 37,6956
96,1420xnxfs 2
2ii
≅=
==−∑=
O Desvio Padrão O Desvio Padrão
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Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:
%22,1320,285
695623,37g ==
O Coeficiente de Variação O Coeficiente de Variação
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Skewness
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Primeiro Coeficiente ( de Pearson)
a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão
Segundo Coeficiente ( de Pearson)
a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão
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Coeficiente Quartílico
CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)
Coeficiente do Momento
a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(Σ(Σ(Σ(X - )3/nx
1414
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Coeficiente = 0Conjunto Simétrico
Provão 2000Curso: Odonto
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Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico
Provão 2000Curso: Jornalismo
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Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico
Provão 2000Curso: Eng. Elétrica
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(Kurtosis)
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Coeficiente de Curtose (momentos)
xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n
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Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico
Provão 2000Curso: Odonto
1515
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Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico
Provão 2000Curso: Matemática
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Coeficiente < 3 ou (< 0)Conjunto: Platicúrtico
Provão 1999Curso: Eng. Civil
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Então:
Se y = y = axax +b+b
b+xa=y
sa=s 2x
22y
s|a|=s xy
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Posições Relativas
A média e o desvio padrão são as duas principais medidas utilizadas para descrever um conjunto de dados. Elas, também, podem ser utilizadas para comparações, isto é, para fornecer a posição relativa de um valor em relação ao conjunto como um todo.
1616
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O escore “z”
Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra de “n”observações. Sejam e “s” a média e o desvio padrão da amostra. Então o escore zi
é o valor que fornece a posição relativa de cada xi da amostra, tendo como ponto de referência a média e como medida de afastamento o desvio padrão.
x
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O escore “z”
sx-x
z ii =
O escore z fornece o número de desvios padrão que cada valor está acima ou abaixo da média. O escore –1,5, significa que este valor está um desvio e meio abaixo da média.
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O escore Z é também uma variável, que é obtida pela transformação da amostra original. Ela apresenta média igual a zero e desvio padrão igual a um.
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Exemplo
Considere o seguinte amostra:
38
40
35
39
35 404835444541383936
34
44
42
40
4347393640374036
3837434146423845
4041394142433942
4439373837413640
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0
1
2
3
4
5
6
7
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
37,0-Curtose33,0Assimetria
==
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Calcular os escores “zz” para cada valor da amostra. Representar os valores da amostras e os escores em diagramas para verificar se houve alteração no formato da distribuição dos dados.
1717
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Solução: A média e o desvio padrão da amostra
são: 40 e 3,2619. Então os escores padronizados serão:
0,3066 0,9197 -0,9197 -0,6131 -0,6131-1,2263 -0,3066 -0,6131 0,3066 1,53281,2263 -1,5328 2,4526 -1,5328 0,00000,0000 0,0000 -1,2263 0,3066 -0,9197-0,6131 -0,9197 -0,3066 -0,3066 1,22630,6131 0,6131 -0,3066 0,9197 0,61310,3066 -0,3066 0,3066 -1,5328 0,00001,2263 -1,2263 0,0000 -0,9197 0,0000-1,2263 -0,3066 2,1460 0,0000 0,9197-1,8394 1,5328 -0,6131 0,6131 1,8394
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
0
1
2
3
4
5
6
7
-1,84 -1,23 -0,61 0,00 0,61 1,23 1,84 2,45
31,0-Curtose37,0Assimetria
==
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Propriedades
A média do escore padronizado ézero;
O desvio padrão do escore padronizado é um.
A forma da distribuição do escore padronizado é a mesma dos dados originais.
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Escalas
O escore Z não é utilizado normalmente da forma como écalculado. É comum a utilização de uma escala linear de transformação. As duas mais utilizadas são:
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EscalasA escala T que é obtida através da
seguinte transformação
T = 10.Z + 50T = 10.Z + 50
A escala “A” que é utilizada nos vestibulares é obtida por:
A = 100.Z + 500A = 100.Z + 500Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Teorema de Chebyshev
O teorema de Chebyshev permite verificar qual é o percentual mínimo de valores de um conjunto de dados que deve estar um “certo número” de desvios em torno da média.
1818
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Em qualquer conjunto de dados com desvio padrão “s”, pelo menos (1 – 1/z2) dos valores do conjunto devem estar entre “z” desvios em torno da média, onde “z” é um valor tal quez > 1.
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Exemplos:
Assim pelo menos:
75% dos valores estão dentro de z = 2desvios a partir da média;
89% dos valores estão dentro de z = 3desvios a contar da média;
94% dos valores estão dentro de z = 4desvios a contar da média.
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
1 - 1/4 = 75%.
S2<X-X