Post on 31-Jan-2018
1
GRAĐEVNA STATIKA II GRAĐEVNA STATIKA II –– 1. 1. VJEŽBEVJEŽBE
dr.sc.Tanja Kalman Šipoš, dipl.ing.građ.
Metoda pomaka – utjecaj temperature i prisilnih pomaka
GRAĐEVNA STATIKA IIGRAĐEVNA STATIKA II 8. 8. VJEŽBEVJEŽBE
Građevna statika II – 8. vježbe
Utjecaj prisilnih pomaka ležaja i temperature kod metode pomakauzima se pomoću MOMENATA UPETOSTI.
2
UTJECAJ PRISILNIH POMAKA LEŽAJA I TEMPERATURE UTJECAJ PRISILNIH POMAKA LEŽAJA I TEMPERATURE
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
1. PRISILNI POMACI: ∆∆∆∆v, ∆∆∆∆h, ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ
Prisilni pomaci se pri izračunu momenata upetosti množe sastvarnom krutošću elementa na koji djeluje pomak:
ik
ikik*ik l
Ek
Ι⋅=
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
2
Građevna statika II – 8. vježbe
3METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
a) Translacijski pomaci: ∆∆∆∆v, ∆∆∆∆h
JEDNOSTRANO UPETA GREDA
OBOSTRANO UPETA GREDA
ik
*ik
ki l
vk3M
∆⋅⋅=
ik
*ik
kiik l
vk6MM
∆⋅⋅==
Skica momenata upetosti se crta prema djelovanju pomaka, analognodjelovanju koncentrirane sile!
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 8. vježbe
4METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
b) Rotacijski pomak: ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ
JEDNOSTRANO UPETA GREDA
OBOSTRANO UPETA GREDA
ϕ∆⋅⋅= *ikki k3M
ϕ∆⋅⋅= *ikki k4Mϕ∆⋅⋅= *
ikik k2M
Vrtnja momenata upetosti jednaka je vrtnji ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ! Kod obostrano upetegrede moment na čijem kraju djeluje ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ biti će pomnožen sa faktorom 4,a suprotni kraj sa 2!
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
3
Građevna statika II – 8. vježbe
a ) Jednolika temperatura, ts
- uzrokuje promjenu duljine štapa za δδδδts koji se određuje premaizrazu:
gdje je:
ααααt – temperaturni koeficijent (αt =1×10-5C-1 za beton i čelik );
ts – jednolika temperatura;
l – duljina elementa na kojem djeluje jednolika temperatura.
Pomak δδδδts uzrokuje momente upetosti samo na susjednimelementima (!) u odnosu na element na koji djeluje temperatura.
5
ltstts ××α=δ
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
2. TEMPERATURA
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 8. vježbe
6
23stts lt ××α=δ
12
ts*12
21 l
k3M
δ⋅⋅=
PRIMJER 1PRIMJER 1
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
4
Građevna statika II – 8. vježbe
7
23
yts*23
3223 l
k6MM
δ⋅⋅==
PRIMJER 2PRIMJER 2
Uzima se u obzir samo ona projekcija pomaka δδδδts koja djelujeokomito na susjedni element jer samo ona izaziva momentsavijanja!
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 8. vježbe
8METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
b ) Nejednolika temperatura ∆∆∆∆t
JEDNOSTRANO UPETA GREDA
OBOSTRANO UPETA GREDA
h
tE5,1M t
ki
∆⋅α⋅Ι⋅=
h
tEMM t
kiik
∆⋅α⋅Ι=−=
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
5
Za prikazani sustav metodom pomaka odreditiM dijagram.
9
ZADATAK 1ZADATAK 1
STUP/GREDA:
b/h=40/40 cmE= 3×107 kN/m2
αt=1×10-5°C-1
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika II – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
1. Nepoznanice
10
2. Krutosti štapova
002 IEkNm64000EI:greda/stup ==
ϕϕϕϕ3
ϕϕϕϕ2222 , ϕϕϕϕ3333NEPOMIČAN
SUSTAV !
u=0
ik00
ikikik lE
Ek
⋅Ι
Ι=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
ϕϕϕϕ2
ik
ikikik l
E*k
Ι=
Građevna statika II – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
6
11
25,04
1k;33,0
3
1k
33,03
1k;33,0
3
1k
2534
2312
====
====
3. Momenti upetosti
kNm67,42k2M
kNm33,85k4M*1221
*1212
−=ϕ∆⋅⋅−=
−=ϕ∆⋅⋅−=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
kNm15M;kNm1512
iqM 32
2
23 −==⋅
=
kNm33,213333
64000*k12 ==
Građevna statika II – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
12
4. Jednadžbe momenata na krajevima štapova
( ) 1212211212 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0
( ) 33,8566,033,85233,0 22 −ϕ=−ϕ=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
kNm24h
tE5,1M t
34 =∆⋅α⋅Ι⋅
=
( ) 2112121221 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0
( ) 67,4232,167,42433,0 22 −ϕ=−ϕ=
kNm50M;kNm508
lPM 2552 −==
⋅=
0
0
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
7
13
( ) 2525522525 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0
( ) 5050425,0 22 −ϕ=−ϕ=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
( ) 2323322323 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0
( ) 1566,032,1152433,0 3232 +ϕ+ϕ=+ϕ+ϕ=
( ) 343433434 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=0
( ) 2424333,0 33 +ϕ=+ϕ=
( ) 3223232332 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0
( ) 1532,166,0154233,0 3232 −ϕ+ϕ=−ϕ+ϕ=
( ) 5225252552 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0
( ) 5050225,0 22 +ϕ=+ϕ=
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
14
5. Jednadžbe ravnoteže
0MMM0M 2523212 =++=∑0501566,032,167,4232,1 2322 =−ϕ++ϕ+ϕ+−ϕ
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
1...67,7766,064,3 32 =ϕ+ϕ
0MM0M 34323 =+=∑0241532,166,0 332 =+ϕ+−ϕ+ϕ
2...0,932,266,0 32 −=ϕ+ϕ
49,10
24,23
3
2
−=ϕ
=ϕ
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
8
15
kNm51,13M
kNm51,13M
kNm76,38M
kNm0,12M
kNm0,70M
34
32
23
21
12
=
−=
=
−=
−=
6. Konačni M dijagram
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
kNm62,61M
kNm76,26M
52
25
=
−=
kNm81,5562,61272,58M
kN72,58R0M
6
52
=−⋅=
=⇒=∑
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Za prikazani sustav odrediti M dijagram.
16
ZADATAK 2ZADATAK 2
GREDA:
b/h=30/30 cmE= 3×107 kN/m2
1. Nepoznanice
ϕϕϕϕ3 ϕϕϕϕ3333NEPOMIČAN SUSTAV !
ϕϕϕϕ2 nije nepoznanica, jer na tommjestu znamo vrijednost momenta!
Skice !
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
9
17
2. Krutosti štapova
002 IEkNm20250EI:GREDA ==
ik00
ikikik lE
Ek
⋅Ι
Ι=
4,05,2
1k
;33,03
1k
k
34
23
12
==
==
ik
ikikik l
E*k
Ι=
- Ne treba jer tu znamo vrijednost momenta – konzola!
kNm67503
20250*k23 ==
kNm81005,2
20250*k34 ==
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
18
3. Momenti upetosti
kNm50M21 −=
;kNm50M23 = kNm252
M)M(M 23
32 ==
M
M M/2
Moment se određuje kao na konzoli – GSI!
Prenosi se na susjedni element
zbog uvjeta krute veze!
Preneseni moment se mora prenijeti na drugi kraj elementa (uvijekjednostrano upeta greda) kao polovica vrijednosti M/2!
kNm5,67l
vk3)v(M
23
*23
32 =∆⋅⋅
=∆
( ) ( ) kNm5,92vMMMM 323232 =∆+=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
10
19
( ) kNm63,158
lqqM
2
34 =⋅
=
kNm2,97l
vk3)v(M
34
*34
34 −=∆⋅⋅
−=∆
( ) ( ) kNm57,81vMqMM 343434 −=∆+=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
20
4. Jednadžbe momenata na krajevima štapova
( ) 322332332 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=
0
( ) 343433434 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=
( ) 5,9225333,0 33 +ϕ=+ϕ=
0
( ) 57,812,1625,1534,0 33 −ϕ=+ϕ=
5. Jednadžba ravnoteže
50MM50M 34323 =+=∑
76,1707,392,2
5057,812,15,92
33
33
=ϕ⇒=ϕ⋅
=−ϕ⋅++ϕ
!
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
11
21
( )( ) kNm26,6057,8176,172,1M
kNm26,1105,9276,17M
21
32
−=−=
=+=
6. Konačni M dijagram
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Za prikazani sustav odrediti M dijagram.
22
ZADATAK 3ZADATAK 3
STUP:b/h=30/30 cm
GREDA:b/h=30/30cmE= 3×107 kN/m2
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATUREMETODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
12
1. Nepoznanice
23
2. Krutosti štapova
002 IEkNm20250EI:STUP ==
ϕϕϕϕ2
ϕϕϕϕ2NEPOMIČAN
SUSTAV !
u=0
ik00
ikikik lE
Ek
⋅Ι
Ι=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
2kNm48000EI:GREDA =
ik
ikik*ik l
Ek
Ι=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
24
25,04
1k;kNm9600
5
48000k
;47,0520250
48000k
23*12
12
====
=⋅
=
3. Momenti upetosti
( )
( ) kNm2,19k2M
kNm4,38k4M*1221
*1212
−=ϕ∆⋅⋅−=ϕ∆
−=ϕ∆⋅⋅−=ϕ∆
( )
( ) kNm25,31PM
kNm25,318
lPPM
21
12
−=
=⋅
=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
13
25
4. Jednadžbe momenata na krajevima štapova
( ) 1212211212 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=
0 0
( ) 15,794,015,7247,0 22 −ϕ=−ϕ=
kNm33,13M
kNm33,1312
lqM
32
2
23
−=
=⋅
=
( ) ( )
( ) ( ) kNm45,50PMMM
kNm15,7PMMM
212121
121212
−=+ϕ∆=
−=+ϕ∆=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
26
( ) 3223232332 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0
( ) 33,135,033,13225,0 22 −ϕ=−ϕ=
( ) 2112121221 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0
( ) 45,5088,145,50447,0 22 −ϕ=−ϕ=
( ) 2323322323 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0
( ) 33,1333,13425,0 22 +ϕ=+ϕ=
0
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
14
27
5. Jednadžba ravnoteže
0MM0M 23212 =+=∑
88,1212,3788,2
033,1345,5088,1
22
22
=ϕ⇒=ϕ⋅
=+ϕ+−ϕ⋅
( )( )
( )( ) kNm89,633,1388,125,0M
kNm21,2633,1388,12M
kNm24,2645,5088,1288,1M
kNm96,415,788,1294,0M
32
23
21
12
−=−=
=+=
−=−=
=−=
6. Konačni M dijagram
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
28
kNm9,465,2R96,4M
kN74,20R
05R5,25024,2696,4
0M
14
1
1
2
=⋅+−=
=⇒
=⋅−⋅+−
=∑
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
15
Za prikazani sustav odrediti M dijagram.
29
ZADATAK 4ZADATAK 4
STUP/GREDA:
b/h=40/40 cmE= 3×107 kN/m2
αt=1×10-5°C-1
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
1. Nepoznanice
30
2. Krutosti štapova
002 IEkNm64000EI:greda/stup ==
ϕϕϕϕ2
ϕϕϕϕ1111 , ϕϕϕϕ2NEPOMIČAN
SUSTAV !
u=0
ik00
ikikik lE
Ek
⋅Ι
Ι=
ϕϕϕϕ1
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
16
31
33,03
1k;33,0
3
1k
1k;25,04
1k
2514
2312
====
===
3. Momenti upetosti
kNm0,32M
kNm0,32h
tEM
21
t12
=
−=∆⋅α⋅Ι
−=
( )
m3l;m5,1c
kNm84,9cl2l8
cqM 22
2
2
14
==
−=−⋅
⋅−=
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
32
4. Jednadžbe momenata na krajevima štapova
( ) 1212211212 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=
0
( ) 0,325,00,322425,0 2121 −ϕ+ϕ=−ϕ+ϕ=
kNm125,2816
lP3M52 −=
⋅⋅−=
( ) 2112121221 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0
( ) 0,325,00,322425,0 2112 +ϕ+ϕ=+ϕ+ϕ=
( ) 2323322323 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0
( ) 22 441 ϕ=ϕ=
0
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
17
33
( ) 522552552 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=0 0
( ) kNm13,2813,28033,0 −=−=
( ) 3223232332 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0
( ) 22 221 ϕ=ϕ=
( ) 141411414 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=0
( ) 84,984,9333,0 11 −ϕ=−ϕ=
0
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
34
5. Jednadžbe ravnoteže
0MM0M 14121 =+=∑
084,90,325,0 121 =−ϕ+−ϕ+ϕ
1...48,415,02 21 =ϕ+ϕ
0MM0M 23212 =+=∑040,325,0 221 =ϕ++ϕ+ϕ
2...0,3255,0 21 −=ϕ+ϕ
71,8;09,23 21 −=ϕ=ϕ
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
18
35
( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) kNm26,1384,909,23M
kNm42,1771,82M
kNm84,3471,84M
kNm84,340,3271,809,235,0M
kNm26,130,3271,85,009,23M
14
32
23
21
12
=−=
−=−=
−=−=
=+−+=
−=−−+=
6. Konačni M dijagram
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
36
kNm88,1775,05,1205,1RM
kN92,26R0M
46
41
=⋅⋅−⋅=
=⇒=∑
kNm43,235,1RM
kN62,15R0M
27
25
=⋅=
=⇒=∑
METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE
Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku