Die Fassregel von Johannes Kepler

GFS in Mathematikvon

Leonie F.Carlo-Schmid Gymnasium Tübingen

Inhalt der GFS• Zur Person Johannes Kepler• Hintergrund:

– Keplers Schrift „Nova Stereometria Doliorum Vinariorum“ (Neue Inhaltsberechnung von Weinfässern)

– Visiermethode

• Die Fassregel von Kepler• Andere Näherungsverfahren

– Obersumme und Untersumme– Tangententrapezregel, Sehnentrapezregel

• Vergleich verschiedener Näherungsverfahren der numerischen Integration an einem Beispiel

• Höhere Genauigkeit der Schätzung mit Näherungsverfahren durch mehr Intervalle

Johannes Kepler

Astronom und Mathematikergeb. am 27.12.1571 in Weil der Stadtgest. am 15.11.1630 in Regensburg

• Ab 1589:Theologiestudium am Evangelischen Stift in TübingenKepler studierte bei dem Mathematiker und Astronomen Michael Mästlin und lernte das heliozentrische System der Planetenbewegungen des Nikolaus Kopernikus kennen.

• Ab 1594: Lehrer der Mathematik und der Moral an der evangelischen Stiftsschule in GrazKepler wurde dort durch seine Prognostica für das Jahr 1594 mit Vorhersagen über einen kalten Winter und den Türkeneinfall als Astronom schnell berühmt.

Quellen: http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler und Duden, 2001.

Johannes Kepler

• 1600-1612: Kaiserlicher Mathematiker Rudolfs II.Einen wichtigen Schritt für die Naturwissenschaften legte er in dieser Zeit damit, dass er die Empirie über die Autoritäten und die Bibel stellte. In den Jahren 1606 und 1609 veröffentlichte er die Werke Astronomia nova und Harmonices mundi in denen die Keplerschen Gesetze enthalten sind.Das heliozentrische Weltbild als eine physikalische Tatsache zu sehen stieß nicht nur bei der katholischen Kirche, sondern auch bei Keplers protestantischen Vorgesetzten auf erbitterten Widerstand. Denn auf beiden Seiten galten die Lehren von Aristoteles und Ptolemäus als unantastbar. Im Jahr 1612 starb der Kaiser.

• 1612-1627: Provinzmathematiker in Linz(An der Universität Tübingen hielt man wenig von seinen antiaristotelischen Ansichten und ließ ihn 1911 nicht als Professor zu.) Veröffentlichung von Dioptice über geometrische Optik. Sein im Hinblick auf die Mathematik wichtigster Beitrag war sein 1615 erschienenes Nova stereometria doliorum vinariorum.

• 1627-1630: Schlesien, Leipzig, Nürnberg und RegensburgIm Jahr 1627 fand er in Albrecht von Wallenstein einen neuen Förderer, der von Kepler zuverlässige Horoskope erwartete.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

Hintergrund

Wie Johannes Kepler 1613 nach der Hochzeit mit seiner zweiten Frau Susanne Reuttinger zu mathematischen Überlegungen angeregt wurde, hören wir von ihm selbst:„Als ich im vergangenen November eine neue Gattin in mein Haus eingeführt hatte, gerade zu der Zeit, da nach einer reichen und ebenso vorzüglichen Weinernte viele Lastschiffe die Donau herauffuhren und Österreich die Fülle seiner Schätze an unser Norikum verteilte, so daß das ganze Ufer in Linz mit Weinfässern, die zu erträglichen Preisen angeboten wurden, belagert war, da verlangte es meine Pflicht als Gatte und guter Familienvater, mein Haus mit dem notwendigen Trunk zu versorgen. Ich ließ daher etliche Fässer in mein Haus schaffen und daselbst einlegen. Vier Tage hernach kam nun der Verkäufer mit einer Meßrute, die er als einziges Instrument benutzte, um ohne Unterschied alle Fässer auszumessen, ohne Rücksicht auf ihre Form zu nehmen oder irgendwelche Berechnungen anzustellen. Er steckte nämlich die Spitze des Eisenstabs in die Einfüllöffnung des vollen Fasses schief hinein bis zum unteren Rand der beiden kreisförmigen Holzdeckel, die wir in der einheimischen Sprache die Böden nennen. Wenn dann beiderseits diese Länge vom obersten Punkt des Faßrunds bis zum untersten Punkt der beiden kreisförmigen Bretter gleich erschien, dann gab er nach der Marke, die an der Stelle, wo diese Länge aufhörte, in den Stab eingezeichnet war, die Zahl der Eimer an, die das Fass hielt, und stellte dieser Zahl entsprechend den Preis fest ... Ich wunderte mich, dass die Querlinie durch die Fasshälfte ein Maß für den Inhalt abgeben könne und bezweifelte die Richtigkeit der Methode, denn ein sehr niedriges Fass mit etwas breiteren Böden und daher sehr viel kleinerem Inhalt könnte dieselbe Visierlänge besitzen.“

Nova Stereometria Doliorum Vinariorum

Quelle: Fürst-Johann-Ludwig-Schule Hadamar, 2009.

s

Spundloch

Visiermethode

Visierstab

V = 0,6 s³

Schätzformel für das Volumen des Fasses:

Fass, wie es zur Zeit Keplers in Gebrauch war.

Quelle: Fürst-Johann-Ludwig-Schule Hadamar, 2009.

Quelle: Eigene Darstellung.

s

Visiermethode – Erklärung der Schätzformel

a

a

Ersetzt man das Fass durch einen Zylinder dessen Höhe 2mal so groß ist wie der Durchmesser des Zylinderbodens (h = 2a) ...

... dann ergibt sich für das Volumen des Zylinders:

V = Grundfläche x Höhe

Nach dem Satzdes Pythagoras gilt:

2s

2sa

2

22

2

32 aaaV

2222 a2aas 33

3

s60s5555024

sV

,,

bzw.

Quelle: Eigene Darstellung, Herleitung nach Keles & Kubach, 1998.

Auf die Fassform kommt es an

a

a

3s7290V ,a

a

3/2 a

2 a

3s5550V ,

3s6030V ,

s

s

s

Tatsächliches Zylindervolumen

Quelle: Eigene Darstellung

AB

xa ba+b2

f(x)

Cf(x)

f(b)f(a)a+b

2f

Keplersche Fassregel

Parabel

)(4)()(61)( 2 bffafabdxxf ba

b

a

Keplers Ansatz: Annäherung der Fasskrümmung durch eine Parabel und Berechnung der Fläche unter der Parabel.[Seit Archimedes konnten Inhaltsberechnungen mit Parabeln exakt durchgeführt werden.]

Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Lambacher Schweizer, 2004 und Uckelmann, 2003.

x

f(x)

q(b)q(a)a+b

2q

Keplersche Fassregel: Berechnung des Fassvolumens

)(4)()(61

2 bqqaqabV baFass

Entsprechende Formel für das Fassvolumen verwendet anstatt der Funktionswerte f( ) die Querschnittsflächen q( )

ba+b2

a

2

2

)(

..

araq

BzreKreisfläch

ra

Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Lambacher Schweizer, 2004.

Nachweis: Berechnung der Fläche unter einer Parabel

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

tsxrxxg 2 )(

Kepler: Fasskrümmung: f(x) Parabel: g(x)

Allgemeine Gleichung einer Parabel:

Fläche unter einer Parabel:

b

a2

213

31

b

a

2b

a

txsxrxdxtsxrxdxxg )(

abtabsabr 222133

31

)(4)()(61)( 2 bffafabdxxg ba

b

a

gleich ??

Kepler:

Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Uckelmann, 2003.

Schrecklich viele Umformungen führen ans Ziel …

abtabsabrdxtsxrxb

a

222133

312 )(

t6bas3babar2ab 2261

t6sb3sa3rb2rab2ra2ab 2261

)()( tsbrbtsaraab 2261 t4bas2bab2ar 22 )()(

tsxrxxg 2 )(Parabel

22222

24

4)(4)()2(

barbarbarbabar)()(

bgtsbrbagtsara

2

2

24)(2 basbas

2

2

442

42

4 bagtbasbar

)(4)()()( 2612 bggagabdxtsxrxdxxg ba

b

a

b

a

Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Uckelmann, 2003.

Numerische Integration: Näherungsverfahren

Die Fassregel von Kepler beschränkt sich natürlich nicht auf die Volumenberechnung von Fässern, sondern ist ein allgemein anwendbares Verfahren der sogenannten numerischen Integration.

Numerische Integration heißt, dass ein Integral näherungsweise berechnet wird, wenn man keine Stammfunktion angeben kann und das Integraldaher nicht exakt berechnet werden kann.

Es gibt mehrere weitere Näherungsverfahren, z.B.

Tangententrapezregel Sehnentrapezregel Obersumme Untersumme

Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Lambacher Schweizer, 2004.

AB

xa ba+b2

f(x)

Cf(x)

Tangententrapezregel

2bafab

2)()( bab

a

fabdxxf Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Lambacher Schweizer, 2004.

AB

xa ba+b2

f(x)

Cf(x)

2)(

22 affab ba

2)(

22 bffab ba

Sehnentrapezregel

2

)(2

)(2

)( 2bffafabdxxf ba

b

aQuelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Lambacher Schweizer, 2004.

A

B

xa ba+b2

f(x)

f(x)C

Obersumme

22bafab

2)( bab

a

fabdxxf bei einem Fassgleiches Ergebnis wirTangententrapezregel

22bafab

Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Lambacher Schweizer, 2004.

AB

xa ba+b2

f(x)

Cf(x)

Untersumme

)(2

bfab

)(af

2ab

)()()( bfaf2

abdxxfb

a

Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Lambacher Schweizer, 2004.

Eine andere Möglichkeit, die Fassregel herzuleiten

Die Fassregel von Kepler kann – wie im Buch - auch als "Mischform" von Sehnentrapezregel und Tangententrapezregel erklärt werden:

rapezregelTangentent1ezregelSehnentrap2Fassregel 31

2

)(2

)(2

)( 2bffafabdxxf ba

b

a

2)()( bab

a

fabdxxf

)()(

2)()(

2)()()( 223

1 babaa

b

fabbffafabdxxf

2

)(22

)()()( 231 bffafabdxxf ba

a

b

)(4)()()( 261 bffafabdxxf ba

a

b

Regeln einsetzen:

"(b-a)" ausklammern:

"(1/2)" ausklammern:

Quelle: Eigene Darstellung, Inhalte nach Lambacher Schweizer, 2004.

Vergleich der Näherungsverfahren an einem Beispiel

Gegeben ist die Funktion

2x11xf

)(

Gesucht:0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5

x

f(x)

dxxf2

0 )(

Funktionswerte für die Schätzformeln:

10faf )(:)(

501ff 2ba ,)(:)(

202fbf ,)(:)(

1,1071Mit GTR ausgerechnetFast exaktes Ergebnis

1,0667Keplersche Fassregel

1,5000Obersumme

0,7000Untersumme

1,1000Sehnentrapezregel

1,0000Tangententrapezregel

Ergebnisse:

2)()( bab

a

fabdxxf

)(4)(61)( 2 bffafabdxxf ba

b

a

)(2

)( 2 bffabdxxf bab

a

2

)(2

)(2

)( 2bffafabdxxf ba

b

a

2)(2

)( bab

a

fafabdxxf

Quelle: Eigene Darstellung.

Mehrere Intervalle Bessere Schätzung mit der Fassregel

2 Intervalle [0;1] und [1;2]

78330508041611f50f40f01

61dxxf

1

0

,,,)(),()()( [0;1]

321702030770450612f51f41f12

61dxxf

2

1

,,,,)(),()()( [1;2]

[0;2] 10513217078330dxxf2

0

,,,)(

4 Intervalle [0;0,5], [0,5;1], [1;1,5] und [1,5;2]

[0;2] 10711124360197390321670463720dxxf2

0

,,,,,)(

zum Vergleich dasfast exakte Ergebnis: 1,1071

Bei den anderen Verfahren würde man den gleichen Effekt sehen!

Quelle: Eigene Darstellung.

• DUDEN, 2001. Basiswissen Schule – Mathematik. PAETEC Verlag, 390 S.• Fürst-Johann-Ludwig-Schule Hadamar, 2009. Keplers Hochzeit: Auszug aus

„Stereometria“. (vom Dateiserver, Autor unbekannt)• Lambacher Schweizer Kursstufe – Mathematisches Unterrichtswerk für das

Gymnasium, Ausgabe Baden-Württemberg, Klett Verlag, Stuttgart, 2004, 329 S.

• Uckelmann, Thomas, 2003. Die Fassregel von Kepler: Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Alexander-Hegius-Gymnasium Ahaus, http://www.ahg-ahaus.de/files/wissenspool/mathematik/Facharbeit - Fassregel von Kepler.pdf.

• Wikipedia – Die freie Enzyklopädie, http://de.wikipedia.org.• Keles, Dogan & Kubach, René, 1998. Volumenbestimmung eines Fasses im

Rahmen des GK CAS 1998 des C.-F.-Gauß-Gymnasiums Hockenheim, http://sneaker.cfg-hockenheim.de/referate/inhalt/fassvolumen/index.html

Verwendete Quellen