Geometriai transzformációk

Számítógépes grafika, PPKE-ITK, Benedek Csaba, 2010

Számítógépes Grafika 2010, PPKE ITK, Benedek CsabaTanagyag forrás ® Szirmay-Kalos László, BME

Számítógépes grafika feladata

képszintézis

Virtuális világmodell

modellezés

Metafórák:• optika• 2D rajzolás• festés• analógiák

számítás

mérés

illúzió

Képpontok:• vörös• kék• zöld

számok

Mindent számmal

geometria

síkegyenes

metszi

illeszkedik

axiómák

algebra

számok

műveletek

egyenletmegfeleltetés

függvény

Koordinátageometriai gyorstalpaló -Pontok, alakzatok megadása

Mindent számmal! Koordináta rendszer Koordináták megadása

Koordináta rendszerek Descartes Polár Homogén

Koordináta rendszerek

Descartes Polár BaricentrikusHomogén

Pontfüggvények: Mozgatás Vektor = eltolás: v Iránya és hossza (|v|) van Helyvektor

De vektor ≠ pont !!! Vektorműveletek

v = v1 + v2 (kommutatív, asszoc) v1 = v - v2 (összeadásnak van inverze) v1 = av (összeadásra disztributív)

origó

helyvektor

Skaláris szorzás Definíció

v1v2 = |v1||v2|cos Jelentés

Egyik vektor vetülete a másikra x másik hossza Tulajdonságok

Kommutatívv1v2 = v2v1

Összeadással disztributív v3(v2+v1) = v3v2 + v3v1

vv = |v|2

|v1|cos

VektoriVektoriális szorzásális szorzás Definíció

– |v1 v2| = |v1||v2|sin – Merőleges, jobbkéz szabály

Jelentés– Paralelogramma területe, síkjára merőleges– (Egyik vektor vetülete a másikra merőleges síkra + 90 fokos

forgatás) x másik hossza

Tulajdonságok – Alternáló

v1 v2 = - v2 v1

– Összeadással disztributív v3 (v2+v1) = v3 v2 + v3 v1

|v1|cos

|v1|sin

90 fok

Descartes koordinátarendszer

origó i

jv = xi + yj

Egyértelmű (x = vi, y = vj) Műveletek koordinátákban

Összeadás: v1 + v2 = (x1+x2)i + (y1+y2)j

Skaláris szorzás: v1 v2 = (x1i + y1 j) (x2i + y2 j) = (x1 x2 + y1y2)

Vektoriális szorzás:v1 v2 = (x1i + y1 j + z1k) (x2i + y2 j + z2k) = (y1z2 – y2z1) i + (x2z1 – x1z2) j + (x1y2 – y1x2)k

Abszolút érték:|v| = vv = x2 + y2 + z2

i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2

Vektor és Pont nem ugyanaz!

2D: vektor (x, y) Pont (x, y) 3D: vektor (x, y, z) Pont (x, y, z) Műveletek:

Vektor + Vektor = Vektor Pont + Vektor =Pont (eltolás)

Vektor – Vektor = Vektor Pont – Pont = Vektor

Vektor Vektor = Vektor

Vektor Vektor = Skalár

Vektor * Skalár = Vektor

Vektor osztálystruct Vector { float x, y, z;

Vector(float x0, float y0, float z0) { x = x0; y = y0; z = z0;

} Vector operator*(float a) {

return Vector(x * a, y * a, z * a); } Vector operator+(Vector& v) { return Vector(x + v.x, y + v.y, z + v.z); } Vector operator-(Vector& v) { return Vector(x - v.x, y - v.y, z - v.z); } float operator*(Vector& v) {

return (x * v.x + y * v.y + z * v.z); } Vector operator%(Vector& v) {

return Vector(y*v.z-z*v.y, z*v.x - x*v.z, x*v.y-y*v.x); } float Length() { return sqrt(x * x + y * y + z * z); }};

2D egyenes

n(r – r0) = 0

nx (x – x0) + ny (y – y0) = 0

ax + by + c = 0

(x, y, 1) (a, b, c) = 0

v irányvektor

n normálvektor

r = r0 + v t, t [-∞,∞]

x = x0 + vx ty = y0 + vy t

SSíkík

n(r – r0) = 0

nx (x – x0) + ny (y – y0) + nz (z – z0) = 0

ax + by + cz + d = 0

(x, y, z, 1) (a, b, c, d) = 0

n normálvektor

… és akkor tényleg folytassuk a transzformációkkal Affin transzformáció:

Párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe viszi

Lineáris transzformációk ilyenek

Elemi affin transzformációk

Eltolás: r’ = r + p Skálázás: x’= Sx x; y’= Sy y;

Forgatás: x’= cosφ x- sinφ y; y’= sinφ x+ cosφ y;

r’ = rSx 0

r’ = rcos φsin φ

-sin φ cos φ

Fix pont: origó

Megj: r itt sorvektor

Elemi transzformációkElemi transzformációk

Nyírás: x’= x; y’= y + a x;

Tükrözés:

r’ = r1 a

r’ = r10

Transzformáció fix pontja: pivot point: (xp, yp)

Skálázás:x’= Sx (x-xp) + xp; y’= Sy (y-yp) + yp;

Forgatás:x’= (x-xp)*cos - (y-yp)* sin + xp;y’= (x- xp)*sin + (y- yp)* cos + yp;

Alapműveletek: eltolás origó fixpontú skálázás origó középpontú forgatás

Modellezési feladatα

vméret: s=1.5x

Alap objektummodell

Várt elhelyezés

Műveletek sorrendje

Modellezés: 2 csuklójú robotkar

Összetett transzformáció

Affin transzformáció: r’ = r A + p A: lineáris transzformáció

forgatás, skálázás, tükrözés, nyírás, stb.

p: eltolásAmíg lineáris transzformáció:

konkatenáció r’ = (...(r A1) A2)... An) = r (A1A2... An )

Homogén koordinátás transzformációk

Eltolás nem fér bele a 2x2-es mátrixba Dolgozzunk 3x3-as mátrixokkal

[r’, 1] = [r, 1] = [r A + p, 1]a11 a12 0

a21 a22 0

p1 p2 1

[r’,1] = (...([r,1] T1) T2)... Tn) = [r,1] (T1T2... Tn)

Transzformációk projektív geometriai megközelítése

Homogén koordináták – nem csak az eltolás egységes kezeléséért!

3D grafika központi eleme a 3D-s világ 2D-s megjelenítése Vetítés, mint dimenziócsökkentő művelet Centrális (középponti) vetítés

Az euklideszi térben nem minden pont vetíthető centrálisan -> euklideszi helyett un. projektív geometria

Képsíkkal párhuzamos vetítősugarakkal jellemzett pontok végtelenbe tűnnek C. projekció nem minden euklideszi pontot visz euklideszi pontba –

projektív geometria: tömjük be a lyukakat!

Centrális projekció

tárgysík

képsík

Vetítési középpont

Eltűnő egyenesIdeálispontok

Projektív geometria Euklideszi geometria

2 pont meghatároz egy egyenest 2 különböző egyenes legfeljebb 1 pontban metszi egymást 1 ponton keresztül pontosan 1 egyenes megy át, amely nem metsz egy, a

pontra nem illeszkedő másik egyenest (párhuzamosság) centrális projekcióra lyukas (ideális pontok) algebrai alap: Descartes koordináta rendszer

Projektív geometria Projektív sík = Euklideszi sík pontjai + ideális pontok Minden egyeneshez vegyünk hozzá egy ideális pontot úgy, hogy két

egyenes akkor kapja u.a. pontot, ha párhuzamos Az egyenesek halmazát egészítsük ki az ideális pontokat tartalmazó

egyenessel 2 pont meghatároz egy egyenest 2 különböző egyenes pontosan 1 pontban metszi egymást

algebrai alap: homogén koordináták

Homogén koordináták

Homogén

Szemléltetés: mechanikai rendszer súlypontja

Összsúly: h = Xh+ Yh + w

Pont homogén koordinátái:

[Xh ,Yh ,h]

[0,0,0] nem pont

Ha az összsúly h ≠ 0 a súlypont Ps euklideszi pont:Xh P1+Yh P2 +w P3

Xh+ Yh + wPs=

[Xh ,Yh ,h] és [λXh , λYh , λ h] súlypontja ugyanaz!

Homogén-Descartes kapcsolat affin pontokra

[0,0][1,0]

r(Xh ,Yh ,h) = Xh [1,0]+Yh [0,1]+w[0,0]

r(Xh ,Yh ,h) = ( , )Xh

x = Xh

•Keressük egy adott affin (h ≠ 0) projektív térbeli pont megfelelőjét az euklideszi térben (azaz a Descartes koordinátarendszerben)•Súlypont analógia: tegyük a súlyokat i=[1 0], j=[0 1] és 0=[0,0] pontokba, és olvassuk ki a súlypont koordinátáit

Következmények

Minden affin ponthoz van: [Xh ,Yh ,h] (x, y) [x, y,1]

Ha h 0, akkor [Xh ,Yh ,h] affin pont

( , )Xh

Mi az ideális pont?h=0

(x,y,1)(2x,2y,1) = (x,y,1/2)

(x,y,1/3)

(x,y,0)

),,(lim~)0,,( 1nn yxyx

Egyenes egyenlete

0 cybxa

átírás homogén koordinátás alakra:

Xa hh 0 hcYbXa hh

(a,b,c): egy egyenes; (Xh, Yh,h) egy pont

Dualitás: pont és egyenes formailag analóg – az összespontokra érvényes tétel igaz lesz az egyenesekre

Párhuzamos egyenesek metszéspontja Párhuzamos egyenesek metszéspontja Descartes koordinátákkalDescartes koordinátákkal

a1 x + b1 y +c1 = 0a2 x + b2 y +c2 = 0

a x + b y + c1 = 0a x + b y + c2 = 0

c1 - c2 = 0 nincs megoldás

a1 /b1 /≠ a2 /b2

Descartes: a x + by +c = 0a Xh/h + b Yh/h +c = 0

Homogén: a Xh + b Yh +c h = 0

a Xh + b Yh + c1 h = 0a Xh + b Yh + c2 h = 0

(c1 - c2) h = 0 h = 0, Xh = b, Yh = -a

Párhuzamos egyenesek metszéspontja Párhuzamos egyenesek metszéspontja homogén koordinátákkalhomogén koordinátákkal

[b ,-a ,0]

Beágyazott modell

[Xh ,Yh ,h]

[Xh ,Yh ,0]

[ , ]Xh

h(x, y) =

[0,0,0] nem pont

[Xh ,Yh ,h]·a u.a. pont

3D euklideszi tér

2D projektív sík

Projektív egyenes paraméteres egyenlete

[X1 ,Y1 ,h1]

[X2 ,Y2 ,h2]

[X(t) ,Y(t) ,h(t)]=[X1 ,Y1 ,h1]·t + [X2 ,Y2 ,h2]·(1-t)

Szakasz: Konvex kombináció!

Homogén lineáris transzformációk

Euklideszi sík affin transzformációi:

[x’, y’] = [x, y] A + p Homogén koordináták lineáris függvényei:

[Xh’ ,Yh’ ,h’] = [Xh,Yh,h] T + p Homogén lineáris transzformációk bővebbek:

a11 a12 0

a21 a22 0

p1 p2 1

Homogén lineáris transzformációk tulajdonságai Pontot-pontba, egyenest-egyenesbe

(pontba), konvex kombinációkat, konvex kombinációkba visznek át

Példa: egyenest egyenesbe:

[X(t) ,Y(t) ,h(t)]=[X1 ,Y1 ,h1]·t + [X2 ,Y2 ,h2]·(1-t)

P(t) = P1·t + P2·(1-t) // · T

P*(t) = P(t)·T = (P1·T) ·t + (P2·T) ·(1-t)

Példa: Euklideszi geometriában nem lineáris transzformáció: Q pont vetítése e egyenesre

0 0 0[x, y, 1] [ x, y, px+qy]

xpx+qy

ypx+qy

Q=[x, y]

Q’=[x’, y’]

e: px+qy=1

px’+qy’=1

x’y’

xy=Q’ a OQ egyenesen van

Q’ az e egyenesen van

xpx+qy

y’ =y

px+qyy’ =

Ugyanez mátrixokkal:

(x,y,1)(2x,2y,1) = (x,y,1/2)

(x,y,1/3)

(x,y,0)

(-x,-y,1)=(x,y,-1)

(-2x,-2y,1)=(x,y,-1/2)

(x,y,0)

Projektív egyenes: körszerű topológia

Ideális pont

Veszélyek: átfordulási probléma

=Projektív egyenes (topológia)

Ideális pont

Szakasz ?????

A projektív tér, 3D pontok homogén koordinátái

Homogén

Összsúly: h = Xh+ Yh + Zh + w

Pont homogén koordinátái:

[Xh ,Yh ,Zh,h]

A projektív tér egyenesei és síkjai

Egyenes:

[X(t),Y(t),Z(t),h(t)]=[X1,Y1,Z1,h1]·t + [X2 ,Y2,Z2,h2]·(1-t)

Euklideszi, Descartes koord: nx x + ny y + nz z + d = 0Euklideszi, homogén koord: nx Xh/h + ny Yh/h + nz Zh/h +d = 0

Projektív: nx· Xh + ny ·Yh + nz · Zh +d · h = 0

[Xh ,Yh ,Zh,h]· = 0

Invertálható homogén lineáris transzformációk síkot síkba visznek át

P·NT = 0

TP P* = P·T

(P*·T-1)·NT = 0P*·(T-1·NT) = 0P*·(N·(T-1)T)T = 0P*·N*T = 0

N*=N·(T-1)T Inverse-transpose

Projektív geometria a Projektív geometria a számítógépes grafikábanszámítógépes grafikában

Világ:Euklideszi tér Projektív tér

Projektív térKép:

Euklideszi tér

[x,y,z] (x, y,z,1)(Xh ,Yh ,Zh ,h) (T1T2... Tn)

[ , , ]Xh

Koordináta-rendszer transzformációk

Analógia a műtermi fényképkészítés és az OpenGL képalkotás között Fényképezőgép elhelyezése, ráirányítása a

lefényképezendő térrészre - nézőpontba transzformálás

A lefényképezendő objektumok elhelyezése a kívánt pozícióba –modell-transzformáció

A megfelelő lencse kiválasztása, zoom beállítása – vetítési transzformáció

Papírkép a negatívról – képmező transzformálás

OpenGL transzformációk Homogén lineáris transzformáció (p itt

oszlopvektor)

p’=Mp Transzformációk kompozíciója

p’=M1p és p’’= M2p’ → p’’=M2M1p

a közös transzformáció M2M1

OpenGL csővezeték

Virtuális világKamera transzformáció,illumináció

Perspektívtranszformáció +Vágás homogén koordinátákban

Képernyő transzf+Raszterizáció+interpolációmegjelenítés

szín mélység

MODELVIEW PROJECTION

Transzformációk

Modelviewmatrix

Projectionmatrix

Homogénosztás

Viewporttranszf.

window

Lokálismod. kamera homogén

Normalizáltképernyő

illumináció

vágás Backface cullingRaszterizáció,textúrázás

modellező, kamera

(nyírás), normalizáló perspektív

OpenGL transzformációs mátrixok kezelése

Műveletek: aktuális mátrix kijelölése, betöltése, vagy megszorzása jobbról egy új mátrixszal

OpenGL transzformációs mátrixok kezelése void glMatrixMode(GLenum mode);

Állapotváltozó: megadjuk, hogy melyik mátrixot akarjuk a következő parancsokkal állítani

mode lehet: GL_MODELVIEW – modell-nézeti transzformáció (objektumok

és a kamera elhelyezkedése és iránya) GL_PROJECTION – kamera modell kiválasztás és fókuszálás GL_TEXTURE – textúra

glLoadIdentity(); aktuális mátrix beállítása az egységmátrixra

Mátrix betöltése, szabad szorzása void glLoadMatrix{fd}(const TYPE *m);

m pointer által címzett 16 elemű vektor elemeit betölti az aktuális mátrixba oszlopfolytonosan

void glMultMatrix{fd}(const TYPE *m); m pointer által címzett 16 elemű vektor elemeiből

képzett mátrixszal szorozza az aktuális mátrixot

m1m5 m9 m13m2 m6 m10 m14m3 m7 m11 m15m4 m8 m12 m16

OpenGL transzformációs mátrixok kezelése void glTranslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z) előállítja az [x,y,z,1]T vektorral való eltolás mátrixát és

megszorozza vele (jobbról) a kurrens mátrixot void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z) előállítja az origón áthaladó, [x,y,z]T irányvektorú

egyenes körül angle szöggel elforgató mátrixot és megszorozza vele a kurrens mátrixot. A szög előjeles, fokban kell megadni

void glScale{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z); - skálázás

Nézőpont és nézeti irány beállítása Alapértelmezés: nézőpont a modellkoordináta-

rendszer origója, nézési irány a negatív z-tengely Új nézőpont megadása:

OpenGL: az objektumot toljuk/forgatjuk ellentétes irányban (glTranslate*, glRotate*)

GLU: a nézőpont és a kamera nézet iránya közvetlenül is megadható

Nézőpont és nézeti irány beállítása void gluLookAt(GLdouble eyex, GLdouble eyey, GLdouble eyez, GLdouble centerx, GLdouble centery, GLdouble centerz, GLdouble upx, GLdouble upy, GLdouble upz)

OpenGL transzform. kompozíció Forgatás (R) majd eltolás (T) elvégzése

p’=Rp és p’’= Tp’ → p’’=TRp a közös transzformáció TR: OpenGL mátrixszorzás jobbról történik, ezért a

mátrixokat a végrehajtás sorrendjével ellentétes sorrendben kell megadni:(1) lépés glLoadIdentity();

M:=E egységmátrix

(2) lépés glTranslated(x,y,z);

M:=M∙T=E∙T = T

(3) lépés glRotated(angle,x,y,z);

M:=M∙R=E∙T∙R = TR

MODELVIEW Transzformáció

sorrend

Kamera koordinátarendszer

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

glLoadIdentity( );gluLookAt(eyex, eyey, eyez, vrpx, vrpy, vrpz,upx, upy, upz); //VIEW

glTranslatef(px, py,pz); //MODELglRotatef(ang, axisx,axisy,axisz); glScalef(sx, sy, sz);

glMultMatrixf( mat[4][4] );

ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 0 eye 1

OpenGL vetítési transzfromációk Centrális vetítés (valószerű képek):

glFrustum() glPerspective()

Merőleges vetítés (méret/méretarány helyes képek): glOrtho() glOrtho2D()

Projektív transzformáció void glFrustum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far);

Projektív transzformáció void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble near, GLdouble far);

Merőleges vetítés void glOrtho(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far); a nézőpont helye itt közömbös, csak a nézési

irány számít

2D alakzatok ábrázolása void gluOrtho2D(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top); 2D: nem kell közeli és távoli vágósíkot megadni (automatikusan

[-1,1])

PROJECTION Transzformáció

glMatrixMode(GL_PROJECTION); glLoadIdentity( );

gluPerspective(fov, asp, fp, bp);

1/(tg(fov/2)·asp) 0 0 00 1/tg(fov/2) 0 00 0 -(fp+bp)/(bp-fp) -10 0 -2fp*bp/(bp-fp) 0

Kamera koordinátarendszer Homogén

(1, 1, 1, 1)

(-1,-1,-1, 1)

Projekció után homogén osztás: normalizált koordináták

Képmező transzformáció void glViewport(GLint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height); képmező:

téglalap alakú rajzterület a képernyőn oldalai párhuzamosak az ablak oldalaival (x,y): a képmező bal alsó sarka width, height: a képmező szélessége, hosszúsága

Képernyő Transzformáció

glViewport( 0, 0, width, height );

Normalizált képernyő:Vágás és homogén osztás után

1(-1,-1,-1)

(1, 1, 1)

Aktuális transzf. mentése és újra töltése void glPushMatrix(void);

A glMatrixMode() paranccsal beállított kurrens verem minden elemét egy szinttel lejjebb tolja. A legfelső (kurrens) mátrix a második mátrix másolata lesz

void glPopMatrix(void); A glMatrixMode() paranccsal beállított kurrens verem

legfelsőbb elemét eldobja, és minden további elemet egy szinttel feljebb tol.

Geometriai transzformációk

Documents

Transcript of Geometriai transzformációk

3D -geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatáscg.iit.bme.hu/portal/sites/default/files/oktatott-targyak/3d-geometria-mernoki... · 1 3D -geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció,

Idő-frekvencia transzformációk waveletekoldweb.reak.bme.hu/fileadmin/user_upload/felhasznalok/pokol/Oktatas... · • Energiasűrűség az idő-frekvencia síkon - peremeloszlások

11. Geometriai transzformációk...1 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési

Bels®pontos módszer geometriai programozási feladatraweb.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/msc_alkmat/2016/deak_attila.pdf · A geometriai programozás egy speciális típusa a nemlineáris

Geometriai szerkesztések

Transzformációk integrált alkalmazása a modellvezérelt szoftverfejlesztésben

Transzformációk, árnyalás, textúrák Szécsi László.

6-12. Általános tagozat matematikakrudy-nyh.sulinet.hu/docs/helyi_tanterv/08_matematika_alt_9-12.pdf · műveletek, transzformációk) automatizált végzése sem. A tanulás elvezethet

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

GEOMETRIAI FELADATOK ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉSE ELSŐ …publikacio.uni-eszterhazy.hu/4535/1/131_151_Tapoti.pdf · Geometriai feladatok összehasonlító elemzése első és második

3. Geometriai transzformációk

Geometriai t ranszformációk

A geometriai optika - ELTE

A szimmetrikus titkosítás első generációja és az alkalmazott transzformációk alaptípusai

Geometriai alapismeretek 1

Egybevágósági transzformációk a koordinátarendszerben

3d geometriai modellezés AutoCAD-ben - Dr. Varga Tibor

Geometriai transzformációk a felsőtagozaton

Tárgytematika / Course Description · Hornyos lap geometriai modellezése. Forgástestek modellezése, Befogócsap geometriai modellje - l. Forgástestek modellezése, Befogócsap

Optoelektronikai Kommunikáció Optikai alapismeretekmti.kvk.uni-obuda.hu/adat/tananyag/passziv/Optika_alapokKando.pdf · OK-4 Optikai alapismeretek _____ 2 Geometriai optika A geometriai