Post on 17-Apr-2015
Geometria fractal, distribuição de partículas,distribuição de poros e condutividade hidráulica
em solos
• Conceituação básica de geometria fractal
• Aplicação do conceito na análise das relações entre textura, porosidade e condutividade hidráulica de solos
Bibliografia recomendada:
ARYA, L.M., J.F. PARIS. 1981. A physicoempirical model to predict the soil moisture characteristic from particle-size distribution and bulk density data. Soil Sci. Soc. Am. J. 45:1023-1030.
PERFECT, E.; KAY, B.D. 1995. Applications of fractals in soil and tillage research: a review. Soil & Tillage Research 36:1-20.
PUCKETT, W.E.; DANE, J.H.; HAJEK, B.F. 1985. Physical and Mineralogical Data to Determine Soil Hydraulic Properties. Soil Sci. Soc. Am. J. 49(4) 831-836.
TURCOTTE, D.L. 1986. Fractals and fragmentation. Journal of Geophysics Research, p.91, n.b2, p.1921-1926.
TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT.1989. Application of fractal mathematics to soil water retention estimation. Soil Science Society of America Journal, v.3, p.987-996.
TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT. 1990. Fractal Processes in soil water retention. Water Resources Research, v.26, n.5, p.1047-1054.
TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT. 1992. Fractal Scaling of Soil Particle-SizeDistributions: Analysis and Limitations, Soil Science Society of America Journal, v.56, p.362-369.
BACCHI, O.O.S.; REICHARDT, K. 1993. Geometria fractal em física do soloSci. Agric., Piracicaba, 50(2):321-325, jun/set.
BACCHI, O.O.S.; REICHARDT, K., VILLA NOVA, N.A. 1996. Fractal scalingof particle and pore size distributions and its relation to soil hydraulicconductivity. Sci. Agric., Piracicaba, 53(2/3):356-361.
MANDELBROT, B.B. The fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Co., New York, 1982 Barnsley,M.F.; Devaney, R.L; Mandelbrot, B.B., Peitgen, H.O., Saupe, D., Voss, R.F. The Science of Fractal Images. Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe Ed., Springer-Verlag, New York, 1988.
O termo fractal é definido em Mandelbrot,1982, e vem do adjetivo em latin fractus, cujo verbo frangere significa quebrar, criar fragmentos irregulares. Etimologicamente, o termo fractal é o oposto do termo algebra ( do árabe jabara) que significa juntar, ligar as partes.
Fractal
Segundo Mandelbrot, fractais são objetos não topológicos, ou seja, objetos para os quais a dimensão de Hausdorff Besicovitch é um número real não inteiro que excede o valor da dimensão topológica.
Objeto topológica e objeto fractal
Objeto topológico = formas geométricas Euclideanas
Dimensões topológicas inteiras
Ponto = 0Linha = 1Superfície = 2Volume = 3
Objeto fractal = formas geométricas não Euclideanas
Dimensões fracionárias maiores que as dasformas geométricas Euclideanas
A dimensão fractal está relacionada à rapidez com que a medida estimada do objeto aumenta enquanto a escala de medida diminui.
Auto-similaridade ou escalonamento:
• Cada parte de um objeto fractal é geometricamentesemelhante ao todo
• A geometria do objeto é semelhante para qualquer escala
de observação do objeto
a)
L1=4/3Lo ; N=4
b)
c)
Lo=1 ; No=1
L2=16/9Lo ; N=16
d)Próximo estágio L3 = 64/27Lo ; N=64
N.rD=1
..26,127log64log
9log16log
3log4log
(1/r)logNlog
D
r1 =Lo/3
r2=Lo/9
r3=Lo/27
y = -1.2619x - 1E-15
R2 = 10
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0
log r
log
N
constante. DrNF
127
1.64
9
1.16
3
1.4.
26,126,126,1
DrNF
N.rD=1
L=1L=1 N=1
L=1N=2
N=3
r=1/2
r=1/3
13log
3log
2log
2log
)/1log(
log
r
NDL
Generalização da relação
Formas geométricas Euclideanas, ou de dimensões topológicas inteiras são casos particulares
N.r1=1
1) Objetos unidimensionais
r(linear) =1/2r(área) =1/4
N=1A=1
N=4A=1/4
r(linear) =1/4r(área) =1/16
N=16A=1/16
24log
16log
2log
4log
)/1log(
log
r
NDA
1 AL DD
A=1/4
N.r2=1
Nr
1
2) Objetos bidimensionais
L
L/2
N=1V=1
N=8V=1/4r(linear) =1/2
r(volume)=1/4
r(linear) =1/4r(volume)=1/16
N=64V=1/16
34log
64log
2log
8log
)/1log(
log
r
NDv
2 VL DD
N.r3=1
3
1
Nr
3) Objetos tridimensionais
N=8r=1/3
N=64r=1/9
8928,19log
64log
3log
8log
)/1log(
log
r
NDA
N.r1,8928 =1
Objetos “D dimensionais”
rNrL .)(
Dimensão fractal e retenção de água no solo
r
Poro capilar delineado por partículasde solo de diferentes tamanhos
comprimento L do poro depende da escalar de medida
Na geometria Euclideana constante.)( 1 rNrL
Da geometria fractal constante. DrNF1
.
DrFN
(1)
(2)
Substituindo (2) em (1)1)..()( rrFrL
D
Se D > 1, (linha tortuosa) L(r) aumenta mais que proporcionalmente adiminuição de r
1)..()(26,1
rrFrL
27/64)(27/1
9/16)(9/1
3/4)(3/1
33
22
11
rLr
rLr
rLr
Escala de medida
L medir para snecessária (r) de unidades de número
).(26,1
rF
Comprimento do poro em função da escala
Fazendo r = (2.Ri) = diâmetro de partículas na escala r
DiRFL
i
1* )2.(
constante DiRNF )2.(
Tomando-se em (2) um comprimento de poro Li = 2Ri
o número N de partículas envolvidas será N=1
(1)
(2)
DiLF )(
Portanto (1) será: Di
Di RLL
i
1* )2.(
iii NRL .2Como:D
ii NRLi
2*
(i) escala na poro do ocompriment *
iL
(i) escala na partículas de ráio iR
iR ráio de partículas de número iN
capilar do fractal dimensãoD
Volume de partículas e de poros em função da escala
iP NRVii..
3
4 3
iV LrVii.. 2
partículas de ráioR
partículas de volume
i
iPV
poros de ráior
poros de volume
i
iVV
Void ratio
ii
i
P
V
NR
Lr
V
Ve i
i
i
..34
..
3
2
Como: Diii NRL 2
212 ..2
3 iDii
P
V RNrV
Ve
i
i
2/11 )..3
2.( D
iii NeRr
Potencial da água no solo em função da escala
im rgi ..
cos..2
(1)
(2)
Subst. (1) em (2):
2/11
3
2
..
cos..2
D
ii
m eNRgi
Potencial mátrico do solo em função de R, N ( textura) e D (dimensão fractal dos capilares) ??
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0
log R
log
N
Determinação da dimensão fractal
N = número de partículasR = ráio de partículasDV= dimensão fractal “volumétrica”
RDaN V log.log
Dificuldade prática de se avaliar N(R)
)(log.)3()(
logl
iV
t
i
R
RDa
M
RRM
(Tyler & Wheatcraft, 1992)
(Tyler & Wheatcraft, 1989)
1) Pela distribuição de tamanho de partículas
2) Pela distribuição de massa de partículas
3) Pela distribuição de volume de poros
l
iV
s
i
R
RDa
RRlog.)3(
)(log
(Bacchi et al. 1996)
Um teste prático de avaliação dos modelos
Deve refletir a tortuosidade dos capilares
Reflexo na condutividade hidráulica do solo
Dimensão fractal dos capilares
)(log.)3()(
logl
iV
t
i
R
RDa
M
RRM
Pela distribuição de massa de partículas
Solos % areia % limo % argila % areia fina DV(m) Ks (m.s-1)1.0 70.9 17.3 11.8 36.4 2.7 7.94E-062.0 60.1 19.0 20.9 35.1 2.8 1.49E-053.0 58.2 18.6 23.6 33.5 2.8 1.43E-054.0 58.7 18.5 22.8 33.3 2.8 1.29E-065.0 62.9 16.3 20.8 38.7 2.8 1.42E-066.0 68.1 15.8 16.1 37.2 2.7 3.50E-067.0 74.7 15.4 10.2 25.8 2.7 2.54E-068.0 59.7 13.7 26.6 19.8 2.8 3.11E-079.0 54.7 11.9 33.4 18.4 2.8 7.11E-08
10.0 49.9 8.8 41.3 15.9 2.9 3.58E-0811.0 50.5 7.4 42.1 17.0 2.9 2.44E-0712.0 54.5 8.4 37.2 17.4 2.9 2.44E-0813.0 51.1 35.8 13.1 23.1 2.7 1.84E-0614.0 57.3 24.9 17.8 28.4 2.8 6.47E-0715.0 51.4 23.2 25.4 25.3 2.8 1.84E-0616.0 48.9 23.0 28.1 23.5 2.8 2.72E-0717.0 48.1 21.7 30.2 23.8 2.8 2.46E-0718.0 49.4 20.6 30.2 25.8 2.8 7.67E-0819.0 62.6 29.6 7.8 31.8 2.6 4.50E-0620.0 58.5 28.3 13.2 30.0 2.7 5.81E-0621.0 56.2 27.7 16.1 28.2 2.7 4.58E-0622.0 51.9 25.9 22.2 25.8 2.8 3.67E-0823.0 48.1 26.1 25.8 22.9 2.8 3.47E-0824.0 34.6 33.6 31.8 16.3 2.8 1.56E-0725.0 55.4 30.8 13.8 27.3 2.7 1.94E-0526.0 42.9 26.7 30.4 20.9 2.8 1.56E-0727.0 43.3 24.2 32.5 20.3 2.8 3.92E-0828.0 42.8 23.6 33.6 20.9 2.8 9.69E-0829.0 44.5 20.7 34.8 20.9 2.8 6.58E-0830.0 46.2 19.1 34.7 20.8 2.8 6.78E-0831.0 85.6 8.7 5.7 31.2 2.6 1.84E-0532.0 71.7 14.2 14.1 23.9 2.7 1.62E-0633.0 60.1 12.3 27.6 20.8 2.8 1.28E-0634.0 54.7 10.1 35.2 18.1 2.9 8.33E-1035.0 53.9 8.1 38.0 17.6 2.9 5.83E-0936.0 57.6 7.5 34.9 18.3 2.9 6.00E-0737.0 84.8 12.4 2.8 45.8 2.5 1.94E-0538.0 83.2 14.4 2.4 43.8 2.5 3.94E-0539.0 81.8 15.9 2.3 47.6 2.4 3.06E-0540.0 86.1 12.1 1.8 46.2 2.4 2.27E-0541.0 88.5 10.1 1.4 48.0 2.4 3.22E-0542.0 77.8 11.4 10.8 43.1 2.7 1.08E-06
l
iV
s
i
R
RDa
RRlog.)3(
)(log
Pela distribuição de volume de poros
Solos % areia % limo % argila % areia fina DV() Ks (m.s-1)1.0 70.9 17.3 11.8 36.4 2.9 7.94E-062.0 60.1 19.0 20.9 35.1 2.9 1.49E-053.0 58.2 18.6 23.6 33.5 2.9 1.43E-054.0 58.7 18.5 22.8 33.3 3.0 1.29E-065.0 62.9 16.3 20.8 38.7 3.0 1.42E-066.0 68.1 15.8 16.1 37.2 2.9 3.50E-067.0 74.7 15.4 10.2 25.8 2.9 2.54E-068.0 59.7 13.7 26.6 19.8 3.0 3.11E-079.0 54.7 11.9 33.4 18.4 3.0 7.11E-08
10.0 49.9 8.8 41.3 15.9 3.0 3.58E-0811.0 50.5 7.4 42.1 17.0 3.0 2.44E-0712.0 54.5 8.4 37.2 17.4 3.0 2.44E-0813.0 51.1 35.8 13.1 23.1 2.9 1.84E-0614.0 57.3 24.9 17.8 28.4 3.0 6.47E-0715.0 51.4 23.2 25.4 25.3 2.9 1.84E-0616.0 48.9 23.0 28.1 23.5 3.0 2.72E-0717.0 48.1 21.7 30.2 23.8 3.0 2.46E-0718.0 49.4 20.6 30.2 25.8 3.0 7.67E-0819.0 62.6 29.6 7.8 31.8 2.9 4.50E-0620.0 58.5 28.3 13.2 30.0 2.9 5.81E-0621.0 56.2 27.7 16.1 28.2 3.0 4.58E-0622.0 51.9 25.9 22.2 25.8 3.0 3.67E-0823.0 48.1 26.1 25.8 22.9 3.0 3.47E-0824.0 34.6 33.6 31.8 16.3 3.0 1.56E-0725.0 55.4 30.8 13.8 27.3 2.9 1.94E-0526.0 42.9 26.7 30.4 20.9 3.0 1.56E-0727.0 43.3 24.2 32.5 20.3 3.0 3.92E-0828.0 42.8 23.6 33.6 20.9 3.0 9.69E-0829.0 44.5 20.7 34.8 20.9 3.0 6.58E-0830.0 46.2 19.1 34.7 20.8 3.0 6.78E-0831.0 85.6 8.7 5.7 31.2 2.8 1.84E-0532.0 71.7 14.2 14.1 23.9 2.9 1.62E-0633.0 60.1 12.3 27.6 20.8 3.0 1.28E-0634.0 54.7 10.1 35.2 18.1 3.0 8.33E-1035.0 53.9 8.1 38.0 17.6 3.0 5.83E-0936.0 57.6 7.5 34.9 18.3 3.0 6.00E-0737.0 84.8 12.4 2.8 45.8 2.9 1.94E-0538.0 83.2 14.4 2.4 43.8 2.8 3.94E-0539.0 81.8 15.9 2.3 47.6 2.8 3.06E-0540.0 86.1 12.1 1.8 46.2 2.8 2.27E-0541.0 88.5 10.1 1.4 48.0 2.8 3.22E-0542.0 77.8 11.4 10.8 43.1 2.9 1.08E-06
y = -11637x + 2.812
R2 = 0.7439
2.8
2.9
2.9
3.0
3.0
0.00E+00
5.00E-06
1.00E-05
1.50E-05
2.00E-05
2.50E-05
3.00E-05
3.50E-05
4.00E-05
4.50E-05
K (solo saturado)
DV
(m)
y = -4771.6x + 2.9706
R2 = 0.8957
2.8
2.8
2.9
2.9
3.0
3.0
0.00E+00
5.00E-06
1.00E-05
1.50E-05
2.00E-05
2.50E-05
3.00E-05
3.50E-05
4.00E-05
4.50E-05
K(solo saturado)
DV
()
)(log.)3()(
logl
iV
t
i
R
RDa
M
RRM
l
iV
s
i
R
RDa
RRlog.)3(
)(log
y = 0.3401x + 2.0085
R2 = 0.7785
2.8
2.82
2.84
2.86
2.88
2.9
2.92
2.94
2.96
2.98
2.3 2.5 2.7 2.9
DV(m)
DV
()
Grupo de solos arenosos
y = 0.3426x + 2.0028
R2 = 0.2759
2.9
2.91
2.92
2.93
2.94
2.95
2.96
2.97
2.98
2.99
2.78 2.8 2.82 2.84 2.86 2.88 2.9DV(m)
DV
()
Grupo de solos argilosos
Outras aplicações
Avaliação de rugosidades no solo
Simulações da matriz do solo