Post on 04-Jun-2015
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GEOMETRIA ESPACIAL
3º ANO
VESTIBULAR 2012
Prof. J.PORTAL
jonaspo@hotmail.com
GUARDE NA MENTE: 1 m
3= 1000 litros 1cm
3 = 1ml
1 litro = 1 dm3 = 1000 cm
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ALTURA E ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Área do Círculo= FÓRMULA MUITO USADA:
a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
POLIEDRO: Sólidos limitados por superfícies planas poligonais, nas quais podemos destacar os seguintes elementos:
E S T U D O D O S P R I S M A S
1- Classificação e elementos
Aresta da Base ( ) – É o lado do polígono da
base. Aresta Lateral (L) – É o lado de uma face lateral. Altura (h) – É a distância entre os planos das bases. Vértices – São as quinas (interseção entre duas arestas)
Área lateral (AL)
ÁREAS IMPORTANTES
Área da Base (Ab) Representa a área do polígono da base. Área lateral (AL) Representa a soma das áreas das faces laterais.
Área total (At ):
VOLUME: V = Ab.H
APLICAÇÕES 1- Qual o valor da altura e da área de um triângulo equilátero cujo lado mede 6cm? 2– Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5 cm de aresta da base. Calcular: a) área da base b) área lateral c) área total d) volume 3- um prisma triangular regular apresenta 9cm de aresta lateral e 4 cm de aresta da base. Calcular a) área da base b) área lateral c) área total d) volume
PARALELEPÍPEDO
Fórmulas:
Diagonal da face: d = √
Diagonal do Paralelepípedo: D = √
Área total: AT = 2(ab + ac + bc)
Volume: V = a.b.c
Exemplo: Para encher uma caixa d´água de 3m de comprimento por 2m de largura e 2 m de profundidade, quanto litros de água são necessários?
CUBO Fórmulas:
Diagonal: D = a√ Área: AT = 6a2
Volume: V = a3
Exemplo: Uma caixa cúbica tem 2 m de aresta. Determine a diagonal da caixa, a área total e a sua capacidade, em litros.
l
l l
h 𝒉 𝒍
√𝟑
𝟐 𝒆 𝑨 𝒍𝟐
√𝟑
𝟒
R A = 𝜋R
2
VÉRTICE
FACE AREST
A
Altura (c)
Largura (b)
Comprimento (a)
a
a
a
2
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1- Determine a área total e o volume do paralelepípedo abaixo:
2- Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu volume é: a) 9cm3. b) 81cm3. c) 180cm3. d) 243cm3. e) 729cm3. 3- (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: a) 3750. b) 37500. c) 375000. d) 3750000. e) 37500000.
C I L I N D R O
1- Área Lateral
2- Área Total
3- Volume
É igual ao volume do prisma
CONE
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1- Para um cone que tem geratriz g com 5cm e raio r da base com 3cm, calcular: a) área lateral b) área da base c) área total d) altura e) volume 2- Sabendo que num cone equilátero o raio da
base mede √ cm, determine: a) área total b) altura c) volume OBS: -A secção meridiana de um cone equilátero é um triângulo equilátero. - Num triângulo equilátero, o diâmetro da base é igual à geratriz, ou g = 2r.
h
AT = AL + 2Ab
V = Ab . h = πR2.h
h – altura; R – raio da base; g – geratriz; V – vértice;
O – centro da base.
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3- Para um cone reto com g = 10 cm e r = 6 cm, calcule: a) área lateral b) área da base c) área total d) altura e) volume
4- O cone da figura tem geratriz g=30cm e raio
R=40cm. Se fabricarmos um copinho com esta forma
e estas medidas, quantos litros de água caberá nele?
PIRÂMIDE
1- Uma pirâmide triangular regular tem todas as arestas iguais a 12cm. Determine: a) o apótema da base b) o apótema da pirâmide c) a área da base d) área total e) volume 2- Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base a = 3cm e altura h = 5 cm. O volume dessa pirâmide é de:
a) 13√ cm3 b) √
cm3 c)
√
cm3
d) 3√ cm3 e) 34 cm3
3-A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3 cm. Sabendo que a altura da pirâmide mede 10 cm, calcule a medida do apótema da pirâmide. 4- Um reservatório tem a forma de um tronco de pirâmide hexagonal regular. Sabendo que a altura do tronco vale 6 cm e as arestas das bases medem 2m e 4 m, determinar o seu volume.
ESFERA
Área da superfície: 2R..4A
Volume: 3
R..4V
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1- Para uma esfera de raio igual a 200cm,
calcule a área da superfície e o seu volume.
2- Se considerarmos esférica a forma da
terra, qual o volume do nosso planeta?
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ATIVIDADES – PROF.J.PORTAL
G.ESPACIAL
1. Qual o volume da caixa da figura abaixo?
2. Quantos litros de leite cabem na caixa da figura
abaixo?
3. A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande
Pirâmide do Egito. Sua base (quadrada) tem
aproximadamente 230 m de aresta e sua altura é de
147 m. Qual o volume dessa pirâmide?
4. A figura representa um tambor, desses que são
usados no transporte de óleo. O raio da sua base
mede 30 cm e a altura, 85 cm. Quantos litros de óleo
ele pode comportar aproximadamente?
5. Uma seringa tem a forma cilíndrica com 2 cm de
diâmetro por 8 cm de comprimento. Quando o êmbolo
se afastar 5 cm da extremidade da seringa próxima à
agulha, qual o volume, em mililitros, de remédio líquido
que a seringa pode conter?
6- Um produto é embalado em recipiente com formato de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20cm e raio da base 5cm. O cilindro B tem altura 10cm e raio da base de 10cm. a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material? b) O produto embalado no cilindro A é vendido a R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa? 7- Uma caixa de sapatos (com tampa) é confeccionada com papelão e tem as medidas, em centímetros, conforme a figura. Sabendo-se que à área total da caixa são acrescentados 2% para fazer as dobras de fixação. Qual o total de papelão empregado na confecção da caixa, em cm2?
8-(ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.