GEOMETRIA DE POSIÇÃO

Matemática

Dorta

CONCEITOS PRIMITIVOS

As noções geométricas, em geral, são estabelecidas através de definições. Em particular, as

primeiras noções, os conceitos primitivos da Geometria, são

adotados sem definição.

ADOTAREMOS SEM DEFINIR OS CONCEITOS DE PONTO, RETA E

PLANO.

Ponto (representado por letra maiúscula)

Reta (representações usuais: letra minúscula ou da outra forma indicada

abaixo)

rAB

Plano (representado normalmente por uma letra

grega minúscula)

GEOMETRIA DE POSIÇÃO

No plano: estudo das posições relativas de pontos e retas de um mesmo plano;

Espacial: estudo das posições relativas de pontos, retas e planos do espaço.

PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS

As proposições (propriedades) geométricas são aceitas

mediante demonstrações. Em particular, as proposições

primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem

demonstração.

Postulados da existência

Da reta;

Do plano.

Postulado da existência da reta

Numa reta, bem como fora dela,

existem infinitos pontos.

rC

rB

rA

Postulado da existência do plano

Num plano, bem como fora dele,

existem infinitos pontos.

B

A

Postulados da determinação

Da reta

Do plano

Postulado da determinação da reta

Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

r

rB

rA

AB

Postulado da determinação do

plano

três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

ABC

Postulado da Inclusão

Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida

neste mesmo plano.

r)r AB e , ,( BABA

Postulado da intersecção

Se dois planos distintos tem um

ponto comum, então a intersecção

desses planos é uma única reta que passa por aquele

ponto.

Observação: Postulado da intersecção

reta. uma é e secantes planos os entre ointersecçãA

secantes. chamados são caso nesse , e planos Os

Postulados de separação

Da reta

Do plano

Do espaço

Postulado de separação da reta

Um ponto O de uma reta r divide-a em duas semi-retas de origem O.

opostas. retas-semi são mas

O, ponto no comum origem temOB e OA retas-semi As

Postulado de separação do plano

Uma reta r de um plano alpha divide-o em dois semiplanos de origem r.

r. reta a relação em

opostos, semiplanos são e

r

21

2

1

r1 2

Postulado de separação do espaço

Um plano alpha separa o espaço em dois semi-espaços de origem alpha.

2

1

21

. plano ao relação em

opostos, espaços-semi são e

E

E

EE

Posições Relativas

De ponto e reta; De ponto e plano; De uma reta e um plano; De duas retas no espaço; De dois planos no espaço.

Posição Relativa de ponto e reta

Dado um ponto P e uma reta r, temos:

rPou r P

rC

r B

rA

:exemplo No

Posição Relativa de ponto e plano

Dado um ponto P e um plano α, temos:

Pou P

B

A

:exemplo No

Posição Relativa de uma reta e um plano

Posição Relativa de uma reta e um plano

Posição Relativa de uma reta e um plano

Posição Relativa de duas retas no espaço

duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas.

retas coplanares que não tem ponto comum são chamadas de retas paralelas distintas.

retas coplanares que têm um único ponto comum são chamadas de retas concorrentes.

dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas de retas reversas (ou não coplanares).

Posição Relativa de duas retas no espaço: resumo

coplanares paralelas

Distintas concorrentes: perpendiculares ou não

reversas: ortogonais ou não

Coincidentes (paralelas iguais)

Posição Relativa de dois planos no espaço

dois planos que não têm ponto comum são chamados planos paralelos distintos

Posição Relativa de dois planos no espaço

dois planos distintos que têm uma reta comum são chamados planos secantes.

Posição Relativa de dois planos no espaço: resumo

iguais). (paralelos escoincident planos

secantes.

paralelos. distintos planos

EXERCÍCIOS – AULA 30

EXERCÍCIO 1

Assinale a alternativa correta:

EXERCÍCIO 1

a) Se duas retas não tem ponto em comum, então elas são reversas.

RESPOSTA: Falso. Podem ser paralelas distintas.

EXERCÍCIO 1

b) Duas retas que formam ângulo reto são perpendiculares.

RESPOSTA: Falso. Podem ser ortogonais (reversas

+ ângulo reto).

OBSERVAÇÃO: RETAS REVERSAS

Duas retas são denominadas reversas se, e somente se, não existe um plano que as contém. Se as retas reversas formam um ângulo reto, então elas são ortogonais.

EXERCÍCIO 1

c) Três pontos distintos determinam um plano.

RESPOSTA: Falso. Além de distintos devem ser não colineares, para determinar um plano.

EXERCÍCIO 1 d) Duas retas

perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

RESPOSTA: Falso, não necessariamente. No exemplo, s e t são perpendiculares r, mas não são paralelas entre si.

EXERCÍCIO 1

e) Duas retas ortogonais formam ângulo reto.

RESPOSTA: Verdadeiro. Ortogonais = reversas +

ângulo reto.

EXERCÍCIOS – AULA 30

EXERCÍCIO 2

A figura representa um cubo ABCDEFGH.

Assinale a alternativa falsa.

EXERCÍCIO 2

a) As retas BC e FG são paralelas.

RESPOSTA: Verdadeiro

EXERCÍCIO 2

b) As retas AC e CH são concorrentes.

RESPOSTA:

Verdadeiro. As retas se interceptam no ponto C.

EXERCÍCIO 2 c) As retas BC e HG são ortogonais. RESPOSTA: Verdadeiro. As retas são reversas e é possível

perceber o ângulo reto pela perspectiva proporcionada pela segunda figura da esquerda para direita

EXERCÍCIO 2 d) As retas AC e BD são perpendiculares. RESPOSTA: Verdadeiro. Como estas retas são as diagonais de

uma das faces de um cubo, que é um quadrado, elas se interceptam formando um ângulo reto. Observe na perspectiva da figura 2.

EXERCÍCIO 2

e) As retas AB e CH são concorrentes. RESPOSTA: Falso. Observe nas figuras, que as

referidas retas não se interceptam.

EXERCÍCIOS – AULA 31

EXERCÍCIO 1

Considere o cubo representado na figura:

Assinale a alternativa falsa.

EXERCÍCIO 1

a) A reta GB é secante ao plano ADC.

RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1 b) A reta DB está contida no plano ABC.

RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1 c) A reta EG é paralela ao plano ABC.

RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1

d) A reta AF é paralela ao plano HGC.

RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1

e) As retas EG e DB são paralelas

RESPOSTA: Falso. São reversas.

EXERCÍCIOS – AULA 31

EXERCÍCIO 2

Considere as proposições seguintes:

EXERCÍCIO 2

I. Se duas retas são paralelas a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si.

RESPOSTA: Falso.

es.concorrent são s er

)(//

)(//

ABCplanos

ABCplanor

EXERCÍCIO 2

II. Dois planos secantes tem como intersecção uma reta.

RESPOSTA: Verdadeiro

EXERCÍCIO 2 III. Dois planos paralelos não tem ponto em comum.

RESPOSTA: Falso, podem ser coincidentes.

EXERCÍCIO 2

IV.

paralelas. retas são esintersecçõ as

então , umplanopor dosintercepta são

distintos paralelos e planos dois Se

BCFG //

Então,

(FGC) plano

(EFG) plano

(ABC) plano

Se

Verdadeiro :Resposta

EXERCÍCIOS – AULA 32

EXERCÍCIO 1

Considere o cubo representado na figura:

Assinale a alternativa falsa.

EXERCÍCIO 1

a) A reta FB é perpendicular ao plano ADC.

RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1

b) A reta BC é perpendicular ao plano DHG.

RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1

c) As retas FB e DB são perpendiculares.

RESPOSTA: Verdadeiro, observe as figuras em perspectivas diferentes.

EXERCÍCIO 1

d) As retas BC e HC são perpendiculares.

RESPOSTA: Verdadeiro, observe as figuras em perspectivas diferentes.

EXERCÍCIO 1

e) A reta FD é perpendicular ao plano ABC.

RESPOSTA: Falso.