FUZZY LOGIC

ฟซซลอจก (fuzzy logic) ศาสตรดานการค านวณทเขามามบทบาทมากขนในวงการวจยดานคอมพวเตอร และไดถกน าไปประยกตใชในงานตาง ๆ มากมาย เชน ดานการแพทย ดานการทหาร ดานธรกจ ดานอตสาหกรรม เปนตน มความจ าเปนอยางยงทนกศกษาดานวศวกรรมคอมพวเตอร วทยาการคอมพวเตอร และเทคโนโลยสารสนเทศ ควรจะไดศกษาเพอท าความเขาใจในศาสตรฟซซลอจกและโครงขายประสาทเทยมใหลกซง ทงนเพอน าไปประยกตใชงานดานตางๆซงนบวนจะยงมความตองการระบบคอมพวเตอร ทมความสามารถในการปรบเปลยนระบบไดโดยอตโนมตตามสภาพแวดลอมทเปลยนไป มการตดสนใจแบบชาญฉลาดเยยงมนษยไดมากขน ซงมนษยสามารถแกปญหาตาง ๆ ทไมเคยพบไดโดยอาศยความรเกาทไดเรยนรมาประยกตในการแกปญหาไดอยางมประสทธภาพ ระบบฟซซ

เปนระบบดานคอมพวเตอรทท างานโดยอาศยฟซซลอจกทคดคนโดย L. A. Zadeh ในป ค.ศ. 1965 ซงเปนผลงานวทยานพนธระดบปรญญาเอก ฟซซลอจกเปนตรรกะทอยบนพนฐานความเปนจรงทวา ทกสงบนโลกแหงความเปนจรงไมใชมเฉพาะสงมความแนนอนเทานน แตมหลายสงหลายเหตการณทเกดขนอยางไมเทยงและไมแนนอน (uncertain) อาจเปนสงทคลมเครอ (fuzzy) ไมใชชดเจน (exact) ยกตวอยางเชน เซตของอายคน อาจแบงเปน วยทารก วยเดก วยรน วยกลางคน และวยชรา จะเหนไดวาในแตละชวงอายคนไมสามารถระบไดแนชดวาวยทารกกบวย เดกแยกจากกนแนชดชวงใด วยทารกอาจถกตความวาเปนอายระหวาง 0 ถง 1 ป บางคนอาจตความวาวยทารกอยในชวงอาย 0 ถง 2 ป ในท านองเดยวกน วยเดกและวยรน กไมสามารถระบไดชดเจนวาชวงตอของอายควรจะอยในชวงใด อาจตความวาวยเดกมอายอยในชวง 1 ถง 12 ป หรออาจเปน 2 ถง 10 ป เปนตน สงเหลาเปนตวอยางของความไมแนนอน ซงเปนลกษณะทางธรรมชาตทเกดขนทวไป เซตของเหตการณทไมแนนอนเชนนเรยกวาฟซซเซต (fuzzy set)

จากแนวความคดของ Zadeh เกยวกบความไมแนนอนไดมการขยายแนวคดเพอน าไปประยกตใชในดานตาง ๆ มากมายจนนบไมถวน ไดมนกวจยไดคดคนทฤษฎเสรมกบแนวคดเดมจนท าใหฟซซเซตโดดเดนในวงการคอมพวเตอร ถงแมวาฟซซเซตจะน าเสนอจากคนอเมรกนแตประเทศอเมรกากไมไดน าไปประยกตใชอยางจรงจงในชวงตน ๆ แตประเทศญปนเลงเหนคณคาของศาสตรดานนไดเปนผบกเบกฟซซเซตทางการคา โดยไดน าไปประยกตใชในเครองใชไฟฟามากมาย เชน เครองปรบอากาศ เครองซกผา หมอหงขาว และอน ๆ อกมากมาย ในยคปจจบนประเทศสหรฐอเมรกาไดในความส าคญกบศาสตรนมากขน โดยไดมการทมงบประมาณใหกบการวจยมากขน และฟซซ

2

ลอจกถกน าไปประยกตใชงานตาง ๆ มากมาย ตวอยางเชน ในโครงการอวกาศ NASA และโครงการดานการทหาร โครงขายประสาทเทยมแบบฟซซ

ฟซซลอจกและโครงขายประสาทเทยมตางกมขอดและขอเสยทแตกตางกน ฟซซลอจกมขอดในเรองการมเหตผลเชงตรรกะ โครงสรางของระบบฟซซสามารถเขาใจไดเนองจากสามารถตความใหในรป If-Then ซงสอดคลองกบตรรกะความคดของมนษย และนอกจากนนฟซซลอจกยงชวยในการตดสนใจทคลมเครอทยอมใหการตดสนใจเปนแบบสวน ไมใชผดหรอถกเพยงสองสถานะ แตจะเปนดกรของความถกหรอผด ซงเปนเหตการณทเกดขนในธรรมชาตอยแลว

ส าหรบขอเสยของระบบฟซซกคอ ไมมกระบวนการเรยนรในการปรบแตงโครงสรางซงกฎและตวแปรตาง ๆ ในตวระบบเอง โครงสรางของระบบจะถกก าหนดโดยผเชยวชาญในโดเมนทก าลงพจารณารวมกบนกเขยนโปรแกรมคอมพวเตอร เชน ถาหากตองการสรางระบบเพอการวเคราะหโรคมะเรง แพทยผเชยวชาญดานโรคมะเรงจะตองเปนผก าหนดกฎและตวแปรตาง ๆ ของระบบ และนอกจากนนแพทยผเชยวชาญตองตรวจสอบประเมนความถกตองของระบบ ซงบอยครงในการสรางระบบฟซซอาจไมมผเชยวชาญในโดเมนดงกลาว การสรางระบบจงอาจไมสมฤทธผล การทระบบฟซซไมมกระบวนการเรยนรดวยตนเองจงถอเปนขอดอย แตอยางไรกตามปจจบนนกวจยไดมการใสกระบวนการเรยนรเขาไปในระบบฟซซโดยอาศยทฤษฎการเรยนรของโครงขายประสาทเทยม

โครงขายประสาทเทยมมจดเดนดานการเรยนรจากขอมล โครงขายประสาทเทยมมการปรบแตงความรทซอนอยภายในเครอขายทมการตอเชอมโยงกนอยางหนาแนน มการสงผานขอมลทจะประมวลผลจากอนพตไปยงเอาตพตแบบขนาน การประมลผลของโครงขายประสาทเทยมจงเปนไปอยางรวดเรว แตถงอยางไรกตาม โครงขายประสาทเทยมกมจดดอยในดานการตความหาเหตผล โครงขายประสาทเทยม ไมสามารถใหเหตผลไดวาเพราะเหตใดจงมขอสรปออกมาดงทปรากฏทเอาตพตของโครงขาย จดดอยขอนเปนทรจกกนดในนาม “black box” หรอกลองด า จากขอดของฟซซ ในดานการใหเหตผลเยยงมนษยและขอดโครงขายประสาทเทยมดานการเรยนรจากขอมล เมอน าสองศาสตรนมารวมกนจะกลายเปนโครงขายประสาทเทยมแบบฟซซ ซงเปนระบบทกระบวนการเรยนรในตวเอง และโครงสรางของระบบสามารถตความหมายและใหเหตผลได เชนเดยวกบระบบฟซซ

3

แนวคดพนฐานเกยวกบฟซซลอจก พนฐานแนวคดแบบฟซซ

ตรรกะแบบฟซซ(fuzzy logic) เปนเครองมอทชวยในการตดสนใจภายในใตความไมแนนอนของขอมลโดยยอมใหมความยดหยนได ใชหลกเหตผลทคลายการเลยนแบบวธความคดทซบซอนของมนษย ฟซซลอจกมลกษณะทพเศษกวาตรรกะแบบจรงเทจ (Boolean logic) เปนแนวคดทมการตอขยายในสวนของความจรง(partial true) โดยคาความจรงจะอยในชวงระหวางจรง (completely true) กบเทจ (completely false) สวนตรรกศาสตรเดมจะมคาเปนจรงกบเทจเทานน แสดงดงภาพท 2-1

ความเปนฟซซ (fuzziness) มชอเรยกวา มลตวาลานซ (multivalance) ซงมคาทความเปนสมาชกมากกวา 2 คา และแตกตางกบไบวาลานซ (bivalance) ทมความเปนสมาชกเพยง 2 คา ฟซซเซต (Fuzzy set) เปนเครองมอทางคณตศาสตรทสอถง “ความไมแนนอน (uncertainty)” สามารถท ไมใช เพยง 2 กรณ ซงหากก าหนดวา คนทอวนคอคนทมน าหนกมากกวา 75 กโลกรม คอมพวเตอรจะใหผลวาคนทมน าหนก 74.50 กโลกรม ไมจดเปนคนทอวน จะสรางและก าหนดรปแบบ (modeling)

ของลกษณะความไมแนนอนทเปนความคลมเครอ ความไมตายตว รวมถงความขาดขอมลบางสวน โดยทฤษฎของฟซซเซตจะใชลกษณะความหมายตวแปร (linguistic) มากกวาปรมาณ (quantitative) ของตวแปร เชน การหาความหมายของ “คนทอวน” เราไมสามารถนยามคาความอวนทตรงกนและระบเปนหนงเดยว (identical) ส าหรบคนทอวน นาย ก. จะใหความหมายของ “คนอวน” หมายถงคนทมน าหนกมากกวา 70 กโลกรม นาย ข. ใหความหมายวาเปนคนทมน าหนกมากกวา 75 กโลกรม ซงทงสองคนตางแสดงความหมายของค าวาคนทอวนโดยเปรยบเทยบและในมมมองของตวเองตามน าหนกของตน ในการท างานในมมมองแบบฐานสอง (Binary sense) จะไดผลเปน ใช หรอ แตจะเหนวาบคคลนเปนคนอวนน าหนกเกอบจะ 75 กโลกรม และถงแมวาบคคลนจะมน าหนก 75 กโลกรม แต

4

หากพจารณาจากกลมคนทมน าหนกเฉลย 90 กโลกรม บคคลนกจะไมจดอยในกลมคนทอวน แสดงใหเหนวา ความอวนไมไดมลกษณะความไมแนนอนแบบสม จากการศกษาปญหาทว ๆ ไปจะแสดงถงรปแบบลกษณะการกระจายของปญหา

ภาพท 2-2 เปนการแสดงใหเหนวาแนวทางในการตดสนใจของปญหาทงหมดมเพยงสวนนอยทเปนสงทแนนอน (certainty) ทเหลอคอสงทไมแนนอนซงประกอบดวยความไมแนนอนทมลกษณะแบบสม และความไมแนนอนทมลกษณะเปนฟซซ หรอคลมเครอ ซงมมากกวารอยละ 40 เพราะปญหาสวนมากเกยวของกบการตดสนใจของมนษยซงจะตดสนใจตามพนฐานความคดของตนเปนหลก

ฟซซจะสรางวธทางคณตศาสตรทแสดงถงความคลมเครอ ความไมแนนอนของระบบท

เกยวของกบความคดความรสกของมนษย เมอพจารณาสวนประกอบตาง ๆ ในความไมแนนอนเพอก าหนดเงอนไขในการตดสนใจ (Decision making) โดยอาศยเซตของความไมเปนสมาชก (Set

membership)

เซตแบบฉบบ

ในเซตแบบฉบบ (classical set) หรอเซตทวนย (crisp set) เปนเซตทมคาความเปนสมาชกเปน 0 หรอ 1 {0, 1} เทานน เซตในทฤษฎเซตแบบฉบบจะมขอบเขตแบบแขง (sharp boundary) ซงเปนขอบเขตทตดขาดจากกนแบบทนททนใด เซตแบบฉบบมการก าหนดคาความเปนสมาชกตามแนวคดเลขฐานสอง โดยทตวแปรหนง ๆ จะมคาความเปนสมาชกเพยงสองคา คอ 0 ไมเปนสมาชก และ 1 เปนสมาชก ตวอยางเชน เซตของคแตงงาน จะสามารถบอกไดวาอยางแนชดวาเปนกลมผแตงงานหรอไมแตงงาน

5

ภาพท 2-3 แสดงตวอยางของเซตยอยสองเซต คอเซตของผทแตงงานและเซตของผทไม

แตงงาน จะเหนไดวาคนหนงคนจะเปนสมาชกภาพไดเพยงเซตเดยวเทานน แตงงานหรอไมแตงงาน ในภาพท 2-4 แสดงฟงกชนความเปนสมาชกของเซตผทไมแตงงาน จากภาพจะเหนไดวา ผทแตงงานแลวจะมคาความเปนสมาชกในเซตของผไมแตงงานเปน 0 สวนผทไมแตงงานมคาความเปนสมาชกภาพของเซตผทไมแตงงานเปน 1 คาความเปนสมาชกของทงสองเซตจะตดขาดจากกนอยางทนททนใด รปแบบคณตศาสตรของเซตแบบฉบบมรปดงน

เมอ A เปนเซตแบบฉบบหรอเซตแบบทวนย x เปนสมาชกในเซต μA เปนคาความเปนสมาชก

ในเซต และ μA(x) เปนฟงกชนความเปนสมาชกในเซต A

ฟซซเซต

ฟซซเซต (Fuzzy Set) เปนเซตทมขอบเขตทราบเรยบ ทฤษฎฟซซเซตจะครอบคลมทฤษฎเซตแบบฉบบ โดยฟซซเซตยอมใหมคาความเปนสมาชกของเซตระหวาง 0 และ 1 ในโลกแหงความเปนจรงเซตไมใชมเฉพาะเซตแบบฉบบเทานน จะมเซตแบบฟซซดวย ฟซซเซตจะมขอบเขตแบบฟซซไมใชเปลยนแปลงทนททนใดจากขาวเปนด า ตวอยางเชน เซตของคแตงงานทมความสข จะเหนไดวา

6

สมาชกในเซตนจะไมมเฉพาะคแตงงานทมความสขระดบเดยวกนหมด บางคจะมความสขมาก บางคมความสขนอย แตกตางกนไป การใชเซตแบบดงเดมจงไมเหมาะสม

ยกตวอยางเกยวกบความอวน นยามค าวาคนอวนในเซตทวนยอาจก าหนดเปนคนทมน าหนกตงแต 70 ถง 120 กโลกรม โดยนยามแบบฟซซเซตอาจก าหนดเปนคนทมความอวนประมาณ 80

กโลกรม ซงเปนการใหนยามทไมแสดงถงขอบเขตทแนนอน

นยามของฟซซเซต ก าหนดให X เปนเซตทไมวาง ฟซซเซต A สามารถแสดงลกษณะเฉพาะ

ไดจากฟงกชนความเปนสมาชก

เมอ μAสามารถตความเปนคาของความเปนสมาชกภาพของตวประกอบ x ในฟซซเซต Aส าหรบแตละ (อานวา “x เปนสมาชกของ X”) ฟซซเซต สามารถเขยนเปนเซตของคล าดบ (tuples)

เมอ Aหมายถงฟซซเซต Ax หมายถงสมาชกของเซต (set membership) μA(หมายถง ฟงกชนความเปนสมาชก (membership function) μ (x) บางครงแทนดวยA(x)X หมายถงเอกภพ สมพทธ (universe) หรอประชากร ถา X = {x1,x2,x3,...,xn}เปนเซตจ ากด และ Aเปนฟซซเซตใน X ซงเปนชนดวยต (discrete) และจ ากด สญกรณ (notation) ของฟซซเซต เขยนไดเปน

7

ถาเอกภพสมพทธ X เปนตอเนอง (continuous) สญกรณ (notation) ของฟซซเซต A เขยนไดเปน

.

8

ทฤษฎฟซซเซตสามารถแกปญญาขอจ ากดของเซตแบบดงเดมได โดยฟซซเซตยอมใหมคาหรอดกรของความเปนสมาชก (degree of membership) ซงแสดงดวยคาตวเลขระหวาง 0 และ 1 หรอเขยนเปนสญลกษณ [0, 1], โดย 0 หมายถง ไมเปนสมาชกในเซต 1 หมายถง เปนสมาชกในเซต และคาระหวาง 0 กบ 1 เปนสมาชกบางสวนในเซต การท าเชนน ท าใหเกดความราบเรยบในการเปลยนจากพนทนอกเซตไปอยในเซตของสมาชกตาง ๆ โดยมฟงกชนสมาชก (membership function) เปนฟงกชนจดเทยบ (mapping function) วตถในโดเมนใด ๆ ใหเปนคาความเปนสมาชกในฟซซเซต ความเปนสมาชกส าหรบฟซซเซต มจ านวนระดบความเปนสมาชกเปนอนนต คอคาตอเนองในชวงตงแต 0 ถง 1 ซงครอบคลมการก าหนดสมาชกแบบฉบบ และเซตแบบฉบบหรอเซตทวนย (crisp set)

จะก าหนดตามดงสมการท (2-6)

การด าเนนการทางฟซซเซต การด าเนนการของฟซซเซตมคณสมบตเหมอนกบเซตโดยทวไป มการด าเนนการ (operation)

คอ Union Intersection และ Complement

1. ยเนยน (Union) ของฟซซเซต จะเปน OR operation ในสมการ และ ภาพท 2-8

9

2. อนเตอรเซกชน (Intersection) ของฟซซเซต จะเปน AND operation ในสมการ และภาพท 2-9

3. คอมพลเมนต (Complement) ของฟซซเซต ในสมการและภาพท 2-10

10

คณสมบตของเซตฟซซ เซตฟซซมคณสมบตตามเซตแบบฉบบ ไดแก

ฟงกชนความเปนสมาชก

ฟงกชนความเปนสมาชก (membership function) เปนฟงกชนทมการก าหนดระดบความเปนสมาชกของตวแปรทตองการใชงาน โดยเรมจากการแทนทกบตวแทนทมความไมชดเจน ไมแนนอน และคลมเครอ ดงนนสวนทส าคญตอคณสมบตหรอการด าเนนการของฟซซ เพราะรปรางของฟงกชนความเปนสมาชกมความส าคญตอกระบวนการคดและแกไขปญหา โดยฟงกชนความเปนสมาชกจะไมสมมาตรกนหรอสมมาตรกนทกประการกได ชนดของฟงกชนความเปนสมาชก ชนดของฟงกชนความเปนสมาชกทใชงานทวไปมหลายชนด แตในทนจะกลาวถงเพยงบาง 6 ชนดดงน

1. ฟงกชนสามเหลยม (triangular membership function)

ฟงกชนสามเหลยมมทงหมด 3 พารามเตอรคอ {a, b, c}

11

2. ฟงกชนสเหลยมคางหม (trapezoidal membership function)

ฟงกชนสเหลยมคางหมมทงหมด 4 พารามเตอรคอ {a, b, c, d}

3. ฟงกชนเกาสเซยน (Gaussian membership function)

ฟงกชนเกาสเซยนมทงหมด 2 พารามเตอรคอ {m, σ} ซง m หมายถงคาเฉลย และ σ หมายถง คาเบยงเบนมาตรฐาน

4. ฟงกชนระฆงคว า (Bell-shaped membership function)

ฟงกชนรประฆงคว ามพารามเตอรทงหมด 3 คาคอ {a, b, c}

5. ฟงกชนตวเอส (Smooth Membership Function)

ฟงกชนรปตวเอสมพารามเตอรทงหมด 2 คาคอ {a, b}

12

6. ฟงกชนตวแซด (Z-membership function)

ฟงกชนรปตวเอสมพารามเตอรทงหมด 2 คาคอ {a, b}

การเลอกฟงกชนของความเปนสมาชก จะตองเลอกตามความเหมาะสมความครอบคลมของ

ขอมลทจะรบเขามา โดยสามารถททบซอนกนเพอใหการด าเนนงานราบเรยบ ซงมความเปนสมาชกหลายคาได และฟงกชนความเปนสมาชกเปลยนแปลงแกไขใหเหมาะกบงานทก าลงปฏบตงานหรอตามความตองการ ตวแปรภาษา (linguistic variable)

เซตแบบฟซซสามารถประยกตใชในการอธบายคาของตวแปรเชนเดยวกบเซตแบบดงเดม เชน ประโยค “อณหภมในหองเยน” ค าวา “เยน” เปนค าทใชแสดงปรมาณอณหภม ในทางรปนย สามารถเขยนไดเปน ปรมาณอณหภม ในหอง เยน หรอ TemperatureQuantity is Cold ตวแปร TemperatureQuantity เปนตวแปรภาษา (linguistic variable) ซงเปนแนวคดทส าคญมากในตรรกะแบบฟซซ ตวแปรภาษาชวยก าหนดคาของสงทจะอธบายทงในรปคณภาพ โดยใชพจนภาษา (linguistic term) และในรปปรมาณ โดยใชฟงกชนความเปนสมาชก (membership function) ซงแสดงความของของเซตแบบฟซซ พจนภาษาใชส าหรบการแสดงแนวคดและองคความรในการสอสารของมนษย สวนฟงกชนความเปนสมาชกมประโยชนในการจดการกบอนพตทเปนขอมลเชงตวเลข

13

ตวแปรภาษาเปนการประกอบกน (composition) ของตวแปรสญลกษณ (symbolic

variable) และตวแปรเชงเลข (numerical variable) ตวอยางตวแปรสญลกษณ เชน “รปราง เปน ทรงกระบอก” (Shape = Cylinder) ค าวา “รปราง” เปนตวแปรทบอกถงรปรางของวตถ ตวอยางตวแปรเชงเลข เชน “ความสงเทากบ 4 ฟต” (Height = 4') ตวแปรเชงเลขจะมใชกนในสาขางานดานวทยาศาสตร วศวกรรมศาสตร คณตศาสตร การแพทย และอน ๆ สวนตวแปรสญลกษณมความส าคญในวทยาการเกยวกบปญญาประดษฐและการตดสนใจ การใชตวแปรภาษาเปนการรวมตวแปรเชงเลขกบตวแปรสญลกษณเขาดวยกน ภาพท 2-22 แสดงตวอยางเซตตวแปรภาษาของเซตฟซซ ไดแก Extremely Low, Very Low, Low, Medium, High, Very High และ Extremely High

กฎฟซซ (fuzzy rules)

วทยาการเกยวกบฟซซลอจกมจ านวนมาก แตทนยมและการประยกตใชงานมากทสดเหนจะไดแก กฎฟซซแบบถา-แลว (fuzzy if-then rule) ตวอยางการใชกฎในการแยกกลมดงภาพท 2-18 ในภาพท 2-19 แสดงปรภมรปแบบ (pattern space) การจดกลมดวยกฎฟซซ

14

จากภาพท 2-23 สามารถเขยนเปนกฎในรปประโยคภาษาไดดงน

กฎขอ 1: ถา x1 มคา low และ x

2 มคา low แลว ขอมล (x

1, x

2) เปนกลม C

1

กฎขอ 2: ถา x1 มคา low และ x

2 มคา high แลว ขอมล (x

1, x

2) เปนกลม C

2

กฎขอ 3: ถา x1 มคา high และ x

2 มคา low แลว ขอมล (x

1, x

2) เปนกลม C

3

15

กฎขอ 4: ถา x1 มคา high และ x

2 มคา high แลว ขอมล (x

1, x

2) เปนกลม C

4

เมอ x1 เปนตวแปรภาษาในมตท 1, x

2 เปนตวแปรภาษาในมตท 2, low และ high เปนพจนภาษา

(linguistic terms), ขอมล (x1, x

2) เปนคล าดบของวตถทตองการจดกลม และ C

1, C

2, C

3 และ C

4

เปนกลมขอมล 1, 2, 3 และ 4

สมมตใหกฎขอ l, l = 1, 2, …, L เปนล าดบของกฎ ใหขอมลเปน x = [x1, x

2, …, x

n] เมอ n เปน

จ านวนมตของขอมล ให Ali เปนพจนภาษาในกฎขอท l มตท i และใหกลมขอมลเปน C

k, k = 1, 2,

…, K รปแบบทวไปของกฎฟซซสามารถเขยนไดดงน กฎขอ 1: ถา x

1 มคา A

11 และ x

2 มคา A

12 และ และ x

n มคา A

1n แลว ขอมล x เปนกลม C

1

กฎขอ 2: ถา x1 มคา A

21 และ x

2 มคา A

22 และ และ x

n มคา A

2n แลว ขอมล x เปนกลม C

2

กฎขอ l: ถา x1 มคา A

l1 และ x

2 มคา A

l2 และ และ x

n มคา A

ln แลว ขอมล x เปนกลม C

k

ความสมพนธแบบฟซซ ผลคณคารทเซยน

เลขล าดบแบบจดอนดบมตวประกอบ n คา ทเขยนในรป (a1,a2,…,an) เรยกวา เอน-ทเปลแบบจดอนดบ (an ordered n-tuple) สวนเอน-ทเปลแบบไมจดอนดบมตวประกอบ n คาทไมจดอนดบส าหรบเซตทวนย (crisp set) A1,A2,…,An , เซตของ n-tuple ทงหมด (a1,a2,…,an) เมอ a1 ∈ A1 ,…, และ an ∈ An เราเรยก A1xA2 x,…,xAn วาผลคณคารทเซยน (Cartesian

product)ของ A1,A2,…,An ถา A1,A2,…,An เปนตวเดยวกนทงหมดผลคณคารทเซยนจะเทากบ

Axผลคณคารทเซยนจะแตกตางจากการคณทางคณตศาสตร

ตวอยางท 3-1 ก าหนดใหเ ซต A = {0,1}และ B = {a,b,c} จงหาผลคณคารทเซยนของเซตทงสองในรปแบบตาง ๆ วธท า

A×B={(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)}

B×A={(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1)}

A×A=A2 ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

B×B= B2 ={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}

16

ความสมพนธแบบฉบบ

เซตยอย (supset) ของผลคณคารทเซยน A1xA2 x,…,xAn เราเรยกวาความสมพนธ n-ary

บน A1,A2,…,An ในกรณ n = 2 เราเรยกวาความสมพนธท วภาค (binary relation) จาก A1 ไปยง A2แตถา n = 3 จะเรยกวาความสมพนธไตรภาค (ternary relation) n = 4 จะเรยกวาความสมพนธ

ฐานส(quaternary relation) และ n = 5 จะเรยกวาความสมพนธฐานหา (quinary relation)

ตอไปนเมอกลาวถงความสมพนธจะหมายถงความสมพนธทวภาคผลคณคารทเซยนของสองเอกภพสมพทธ X และ Y หาไดจาก

ผลคณคารทเซยนของสองเอกภพสมพทธ X และ Y หาไดจาก

X ×Y = {(x,y)|x∈X,y∈Y}

ซงเกดเปนคจดอนดบของทก ๆ x ∈ X และ y∈Y ทก ๆ ตวประกอบในเอกภพสมพทธ X ถกท าให

สมพนธกบทกตวประกอบของ Y ความแขงแรงของความสมพนธระหวางคอนดบของตวประกอบใน

แตละเอกภพสมพทธถกวดดวยฟงกชนลกษณะเฉพาะ χ

17

การด าเนนการบนความสมพนธทวภาค

นยามให R และ S เปนความสมพนธสองชดบนเอกภพสมพทธคารทเซยน X ×Y และให

0 เปนเมทรกซทไมมความสมพนธใด ๆ และ E เปนเมทรกซทมความสมพนธเตม การด าเนนการบน

ความสมพนธทวภาค มดงน

การจดองคประกอบแบบทวภาค (composition)

ให R เปนความสมพนธทสมพนธหรอจดเทยบตวประกอบจากเอกภพสมพทธ X ไปยงเอกภพสมพทธ Y และให S เปนความสมพนธทสมพนธหรอจดเทยบตวอประกอบจากเอกภพสมพทธ Y

ไปยงเอกภพสมพทธ Z มการจดองคประกอบ 2 รปแบบทนยมใช ไดแก การจดองคประกอบแบบคาสงสดและต าสด (max-min composition) และ การจดองคประกอบแบบคาสงสดและผลคณ

(maxproductหรอ max-dot composition)

การจดองคประกอบแบบคาสงสดและต าสด

เมอ T เปนความสมพนธระหวางองคประกอบทเหมอนกนในเอกภพสมพทธ X ทมอยใน R ไปยง องคประกอบทเหมอนกนในเอกภพสมพทธ Z ซงมอยใน S

18

การจดองคประกอบแบบคาสงสดและผลคณ

ความสมพนธแบบฟซซ ในท านองเดยวกนดบความสมพนธทวภาค ความสมพนธแบบฟซซเปนการจดเทยบตว

ประกอบของเอกภพสมพทธหนง เชน X ยงเอกภพสมพทธหนง เชน Y ผานผลคณคารทเซยนของสองเอกภพสมพทธนน โดยความเขมระหวางคอนดบของทงสองเอกภพสมพทธวดไดโดยฟงกชนความเปนสมาชกแสดงในรปดกรของความเขมของความสมพนธมคาระหวาง [0, 1] นนคอความสมพนธฟซซR%เปนการจดเทยบจากปรภมคารทเซยน (Cartesian space) ace) X ×Y เปนคาระหวาง [0, 1] เมอความเขมของการจดเทยบ ถกแสดงโดยฟงกชนความเปนสมาชกภาพของความสมพนธส าหรบคอนดบจากสองเอกภพสมพทธ หรอ μR (x,y)

การด าเนนการของความสมพนธฟซซ

การจดองคประกอบแบบฟซซ (fuzzy composition)

ความสมพนธฟซซเปนเซตแบบฟซซอยางหนง เราสามารถนยามผลคณคารทเซยนเปน

ความสมพนธระหวางสองเซตขนไป

สมมตให A เปนเซตแบบฟซซบนเอกภพสมพทธ X และ B เปนเซตแบบฟซซบนเอกภพสมพทธ Y

ผลคณคารทเซยนระหวางเซตแบบฟซซ A และ B จะไดผลเปนความสมพนธฟซซ R ซงถกบรรจภายในปรภมผลคณคารทเซยนเตม นนคอ.

A × B = R ⊂X × Y

19

เมอความสมพนธฟซซ R มฟงกชนความเปนสมาชก

ผลคณคารทเซยนทไดนค านวณคลายวธคณไขวของสองเวกเตอร (cross product) แตผลคณ

คารทเซยนจะแตกตางจากการคณทางคณตศาสตร

การจดองคประกอบแบบฟซซ สามารถท าไดในท านองเดยวกนกบความสมพนธแบบทวภาค สมมตให R เปนความสมพนธแบบฟซซบนปรภมคารทเซยน X Y × S เปนความสมพนธแบบฟซซบนปรภมคารทเซยน Y Z × และ T เปนความสมพนธแบบฟซซบนปรภมคารทเซยน X × Z การจดองคประกอบฟซซแบบคาสงสดและต าสด (max-min composition) นยามดงน

และการจดองคประกอบฟซซแบบคาสงสดและผลคณ สามารถนยามเปน

โปรดสงเกตวา ทงการจดองคประกอบแบบทวภาคและแบบฟซซ ไมสามารถสลบทของ R

และ S ได นนคอ

ทฤษฎของการหาเหตผลอยางประมาณ

ซงทฤษฎนไดน าเสนอโดย Zadeh เมอป ค.ศ. 1979 โดยทฤษฎนเปนรปแบบทส าคญส าหรบการใหเหตผลจากสภาพแวดลอมทเกดจากความคลมเครอและไมแนนอน หวใจหลกของทฤษฎนไดแก การจดองคประกอบของประโยคจากการใชเซตแบบฟซซเปนตวแปร ตรรกศาสตรเชงประพจน

ในตรรกะเชงประพจน (Propositional logic) (1) ขอความทวไปสามารถสรางโดยการแสดงเปนประโยคงาย ๆ เปนหนวยเบองตนเรยกวา ประพจน (proposition) และ (2) การเชอมประพจนกบตวเชอมประโยคทซบซอน ไดแก ¬ “ไม” (not), ∧ “และ” (and), “หรอ” (or), ⇒ “สอความ”

(imply) ตวอยางเชน ประโยค

20

If today is a weekday and the current time is rush hour, then the traffic is

congested.

ถาวนทเปนวนท างานและเวลาปจจบนเปนชวโมงเรงดวนแลวท าใหการจราจรตดขด สามารถแสดงดวยการนยามประพจนสามประพจนเปน P: today is a weekday (วนนเปนวนท างาน) Q: the current time is during rush hour (เวลาปจจบนเปนชวโมงเรงดวน)

R: the traffic is congested (การจราจรตดขด) ทงสามประพจนสามารถเชอมกนดวย “and” (และ) การสอความ (implication) จะเปน

P ∧ Q ⇒ R

การสอความวตถ (material implication)

ก าหนดให p = “x is in A” and q = “y is in B” เปนประพจนทวนย (crisp propositions)

เมอ A และ B เปนเซตทวนย การสอความ p q สามารถตความเปน ¬(p∨¬q)

p ขยายความ q (p entails q) หมายถง จะไมมเหตการณท p เปนจรง และ q ไมเปนจรง ขอความแบบตรรกะดงเดมยอมใหมคาทเปนไปไดสองคา คอ จรง (true) และ เทจ (false)

เนองจากตวเชอมตรรกะถกใชงานเปนสตรยอยหรอคของสตรยอยซงหมายความวา ขอความสามารถใหนยามโดยการแสดงคาจรงของสตรผลลพธทซบซอนส าหรบการจดหม (combination) ของคาทเปนไปไดทงหมดของความจรงทเปนสตรยอย ตารางความจรง (truth table) ซงเปนตวเชอมตรรกะดงแสดงในตารางท 4-1

ตวเชอมการสอความนส าคญมาก เนองจากเปนพนฐานของกฎการสอความแบบฟซซ (fuzzy

implication rule) การสอความม 2 สวน คอ ขอตง (premise) ซงใชค าวา “ถา” (if) เปนสวนท

21

น าหนาค าเชอมการสอความ และขอยต หรอขอสรป (conclusion) ซงใชค าวา “แลว” (then) ตามหลงตวเชอมสอความ

สงหนงทส าคญมากในการสรปความหรอการอนมานในตรรกะเชงประพจน นนคอ โมดสโพเนนส (modus ponens) ก าหนดใหการสอความและขอตงเปนจรง โมดสโพเนนสสามารถท าใหเรา นรมยหรอชกเหตไดวาขอตามหรอพจนหลง (consequent) เปนจรง

การสรปความหรอการอนมานในตรรกะเชงประพจนอกอยาง ไดแก โมดสโทเลนส (modus

tolens) จากการสอความและขอสรปเชงลบ เราสามารถท าการนรมยหรอชกเหตไดขอตาม (พจนหลง)เปนเชงลบไดดงน

แคลคลสภาคแสดงอนดบทหนง

แคลคลสภาคแสดงอนดนทหนง (fist-order predicate calculus: FOPC) ท าใหประโยคเปนเชงภาษาทางการมากกวาตรรกะเชงประพจน โดยยนยอมใหมการใชตวแปรในขอความตรรกะ ตวแปรใน FOPC เปนสงสมพนธกบตวแบงปรมาณหนงในสองตว ไดแก ตวแบงปรมาณส าหรบทกตว (universal quantifier, ∀) และตวแบงปรมาณส าหรบตวทมอย (existential quantifier, ∃) ตวแรกใชส าหรบแสดงขอความเกยวกบวตถทเปนจรงทงหมด สวนตวหลงใชแสดงขอความทเปนจรงส าหรบวตถอยางนอยหนงอยาง

แตกตางจากตรรกะเชงประพจน FOPC ใชภาคแสดง (predicate) เพออธบายประโยคงาย ๆ ภาคแสดงใชแสดงถงเซตของวตถ (เชน ภาคแสดง นกศกษาไอท แสดงถงเซตของนกศกษาไอท) หรอความสมพนธ (ภาคแสดง เพอน แสดงสมพนธภาพระหวางบคคลสองคน) ภาคแสดงมจ านวนอารกวเมนตหลายตวซงอาจเปนตวแปรหรอคางคงทกได ตวอยางตอไปนเปนตวอยางของภาคแสดงพรอมกบอารกวเมนตทเปนคาคงท

22

นกศกษาไอท(สมพงษ): สมพงษเปนนกศกษาไอท ITstudent(Sompong): Sompong is an IT student.

เวลาดวน(5 โมงเยน): หาโมงเยนเปนเวลาดวน RushHour(5 pm): Five o’clock in the afternoon is during rush hour.

เพอน(ญาดา, กตตชย): ญาดาและกตตชยเปนเพอนกน Friend(Yada, Kittichai): Yada and Kittichai are friends.

เชนเดยวกบตรรกะเชงประพจน FOPC รวมนพจนเชงตรรกะงาย ๆ ใหเปนนพจนทซบซอนโดยการใชตวเชอมตรรกะ ตวอยางเชน ขอความ “นกศกษาไอททงหมดชอบศกษาวชาเกยวกบระบบอจฉรยะ” (All IT students like to study subjects involving intelligent systems) สามารถแสดงในระบบตรรกะแบบตรรกะภาคแสดงอนดบทหนง ดงน

∀(x,y) ITstudent(x) ∧ IntelligentClass(y) Like(x, y) ⇒

เมอ x เปนนกศกษาไอท y เปนวชาเกยวฐานขอมล Like เปนภาคแสดง กฎการอนมานทงหมดในตรรกะเชงประพจนสามารถขยายเปน FOPC โดยการหาตวแทนท

เหมาะสมของตวแปรโดยการใชขนตอนวธการสรางเอกภาพ (unification algorithm) เชน ก าหนดใหความจรงตอไปน

ITstudent(Somsak)

IntelligentClass(Fuzzy)

โมดสโพเนนสสามารถประยกตใชโดยการแทนทตวแปร x และ y ดวย Somsak และ Fuzzy

ตามล าดบ เปน (Somsak, Fuzzy)

เมอ f เปนตวแปรทแทนขนใหม ตวแปรทเปนตวแทนนเรยกวาตวสรางเอกภาพ และขนตอนวธส าหรบการหาตวแปรเหลานเรยกวาการสรางเอกภาพ ขอจ ากดของตรรกะแบบฉบบ (limitations of classical

logic) กคอไมสามารถแสดงและใหเหตผลเกยวกบองคความรแบบไมแนนอนได ตรรกะแบบคลมเครอมจดมงหมายในการสรางตรรกะแบบฉบบในการแสดงความไมแนนอน

23

ตรรกะแบบคลมเครอ ขอจ ากดของแคลคลสเชงประพจนแบบฉบบคอเปนตรรกะ 2 คา การประพจนแบบตรรกฟซซ

จะเกยวกบแนวคดตรรกะหลายคาซงมขอบเขตแบบไมชด (unclear defined boundary) ขอความเชงภาษาเปนตวแสดงแนวคดเชงจตพสยซงสามารถแปลความแบบแตกตางไปเลกนอยจากบคคลแตละคน ซงเกยวกบการประพจนเชงคลมเครอ โดยธรรมชาตของภาษาทวไปเปนแบบคลมเครอ นนคอภาษาจะเกยวของกบพจนทไมชดเจน (vague) และไมเทยงตรง (imprecise) ตวอยางเชน ขอความทแสดงเกยวกบความสงหรอน าหนกของบคคล หรอการแสดงเกยวกบอายของแตละบคคล เปนตน

ขอความในตรรกะแบบคลมเครอจะตความใหเปนจรงบางสวนหรอเปนเทจบางสวน ไมใชมเฉพาะ “จรง” หรอ “เทจ” อยางในตรรกะแบบฉบบเทานน คาความเปนจรงเปนคาทอยในระหวาง “0”

ถง “1”

จดมงหมายส าคญของตรรกะแบบฟซซคอการทสามารถใหอนมานเชงเหตผล ถงแมวาเงอนไขของกฎการสอความจะสอดคลองกนเพยงบางสวน ความสามารถนเราเรยกวาการใหเหตผลอยางประมาณ (Approximate reasoning) การใหเหตผลอยางประมาณสามารถท าไดสองทาง ไดแก 1.

การแสดงความหมายของกฎการสอความแบบคลมเครอดวยความสมพนธแบบคลมเครอ (Fuzzy

relation) และ 2. การรบขอสรปอนมานดวยการใชกฎการจดองคประกอบ (Compositional rule)

ของการอนมานไปยงความสมพนธการสอความแบบคลมเครอ (fuzzy implication relation)

การสอความแบบคลมเครอ (fuzzy implication)

สมมตให x และ y เปนตวแปรจ านวนเตม 2 ตวแปร มคาระหวาง [0, 10] หากเราทราบวา “x

เปนคาระหวาง 1 และ 3” แลว “y เปนไดทง 7 หรอ 8” องคความรนสามารถแสดงในอยางนอยสองรปแบบ ไดแก 1. การสอความตรรกะ และ 2. การแสดงขอความเงอนไขในภาษาคอมพวเตอรเชงด าเนนการ ทงสองวธมความแตกตางกน สมมตวาเราทราบวา x มคาเทากบ 5 การแสดงสอควารเชงตรรกะและการแสดงขอความเงอนไขเชงด าเนนการ จะเปนดงน กฎการสอความ (การแสดงเชงตรรกะ)

ก าหนดให: x ∈ [1, 3] y ∈ [7, 8]

x ∈ 5

ลงความเหน: y ไมทราบคา (y ∈ [1, 10])

24

กฎการจดเทยบ (การแสดงเชงด าเนนการ) ขอความ: ถา x ∈ [1, 3] แลว y ∈ [7, 8] (If x ∈ [1, 3] THEN y ∈ [7, 8]) คาของตวแปร: x ∈ 5

ผลการปฏบต: ไมมปฏกรยา การจดองคประกอบแบบคลมเครอ (fuzzy logic composition) เปนขอความทเกยวกบ

แนวคดขอบเขตเชงคลมเครอ โดยใชขอความภาษาเปนตวแสดงแนวคดทเปนอตวสยซงสามารถตความแตกตางกนไปในแตละบคคล และการสอความเชงคลมเครอสามารถสรปความไดจากหลากหลายวธของการจดองคประกอบแบบคลมเครอ

คาความเปนจรง (truth value) ทก าหนดให เปนคาใด ๆ กไดในขวง [0, 1] การก าหนดคาใหประพจน (proposition) เปนการจดเทยบจรงจากคาในชวง [0, 1] เปนคาในเอกภพสมพทธ (universe) U ของคาความเปนจรง T ดงสมการ

ในท านองเดยวกนกบตรรกะแบบฉบบ เราสามารถก าหนดประพจนเชงตรรกะใหกบเซตในเอก

ภพของสรรพสาระ (Universe of discourse) ประพจนแบบคลมเครอเปนการก าหนดใหเปนเซตแบบคลมเครอ (fuzzy set) สมมตใหประพจน ถกก าหนดเปนเซตแบบคลมเครอแลว คาความเปนจรง หาไดจากสมการ

สมการนแสดงใหเหนวาดกรของความเปนจรงส าหรบประพจน P : x ∈Aเทากบระดบคาความเปนสมาชกภาพของ x ในเซตแบบฟซซ A

ตวเชอมเชงตรรกะของการปฏเสธหรอนเสธ (negation) การเลอก (disjunction) การเชอมหรอสนธาน (conjunction) และการสอความหรอความหมายโดยนย (implication) จะเปนนยามของตรรกะเชงคลมเครอ ส าหรบประพจนอยางงายสองประพจน ไดแก ประพจน P นยามบนเซตแบบคลมเครอ A และประพจน Q นยามบนเซตแบบคลมเครอ B ตวเชอมเหลานแสดงไดดงสมการตอไปน

25

ตวเชอมการสอความสามารถจดรปแบบในรปฐานของหลกเกณฑหรอฐานของกฎ (rule based form)

P → Q: if x is A then y is Bจะมความหมายเทยบเคยงกบความสมพนธแบบคลมเครอ

ฟงกชนความเปนสมาชกของ R แสดงไดดวยสมการ

การใหเหตผลอยางประมาณ (Approximate Reasoning)

จดมงหมายสงสดของตรรกะแบบคลมเครอ คอการจดรปแบบพนฐานทฤษฎส าหรบการใหเหตผลเกยวกบประพจนทไมแนนอน การใหเหตผลเชนนเรยกวาการใหเหตผลอยางประมาณ (approximate reasoning) การใหเหตผลอยางประมาณจะคลายกบการใหเหตผลในตรรกะแบบฉบบดวยการประพจนชนดเทยง (precise propositions) ดงนนการใหเหตผลอยางประมาณจงเปนตวขยายของแคลคลสประพจนแบบฉบบ (classical propositional calculus)ทยอมใหมความจรงบางสวนได

26

สมมตเรามรปฐานของกฎเกณฑทจะแสดงขอมลแบบฟซซ กฎเหลานถกแสดงในรปแบบ ขอน า-ขอตาม (antecedent-consequent form) หรอ รปแบบถา-แลว (if-then form) ในรป

ถา x เปน A , แลว y เปน B

เมอ A และ B เปนเซตแบบคลมเครอ ถา x เปน A’, แลว y เปน B’

A’เปนขอน าอนใหม (new antecedent) และ B’ เปนขอตาม (consequent) ทสามารถหาไดจาก “ถา x เปน A’, แลว y เปน B’ ” โดยใชวธด าเนนการจดองคประกอบ B’ = A’Rซงการจดองคประกอบทนยมมากทสด ไดแก การจดองคประกอบแบบคาสงสดและต าสด (max-min

composition) และการจดองคประกอบแบบคาสงสดและผลคณ (max-product composition)

การสอความแบบตาง ๆ

มเทคนคส าหรบการหาความสมพนธฟซซ Rบนฐานของ If A , Then Bหรอ R =A → B

มการด าเนนการสอความแบบคลมเครอ ซงสมเหตสมผลส าหรบคาทงหมดของ x และ y (∀x ∈ X,

y ∈Y) รปแบบตอไปนเปนตวด าเนนการสอความทเปนเทคนคตาง ๆ ส าหรบใชหาคาฟงกชนความเปนสมาชกของความสมพนธฟซซ R ทนยามบนปรภมผลคณคารทเซยน X x Y

27

ฟงกชนการสอความแบบคลมเครอ

ระบบกฎแบบฟซซ ในระบบปญญาประดษฐ (artificial intelligence) หรอเครองจกรอฉรยะ (machine

intelligence) มวธการหลายวธในการทจะแสดงองคความรของมนษยในรปแบบตาง ๆ เชน ตรรกะ (logic) เฟรม (frames) โครงขายความหมาย (semantic nets) ภววทยา (ontology) และกฎ (rules)

ซงแบบหลงสดเปนวธหนงทนยมใชในระบบฟซซ

28

รปแบบกฎฟซซ ในระบบฟซซองคความรสามารถแสดงในรปประโยค

ถา ขอตง (ขอน า) ดงนน ขอยต (ขอตาม) IF premise (antecedent), THEN conclusion (consequent)

ขอความขางตนเปนทรจกกนดในนาม “รปแบบฐานกฎถา-ดงนน” (IF-THEN rule-based

form) หรอ รปแบบนรนย (deductive form) ในรปแบบการแสดงอนมาน หากเราทราบความจรง (ขอตง ขอสมมตฐาน หรอขอน า) แลวเราสามารถอนมาน หรอหาขอสรปความจรงอกอยางหนงทเรยกวาขอยตหรอขอตาม การแสดงรปแบบองคความรน เรยกวา องคความรตน (shallow knowledge) ซงคอนขางมความเหมาะสมในบรบทของภาษา เนองจากเปนการแสดงประสบการณของมนษยและองคความรเชงศกษาส านก (heuristics) ในรปแบบประโยคภาษามนษยทใชในการสอสารทวไป แตไมเปนรปแบบองคความรทลกล า แบบทเปนการรเอง เปนโครงสราง เปนฟงกชน หรอเปนพฤตกรรมของวตถรอบ ๆ ตวเรา อยางทเรยกวา อปนย (inductive)

ระบบกฎฟซซเปนสงทมประโยชนในการจดรปแบบของระบบทซบซอนทสามารถสงเกตไดโดยมนษย เพราะระบบเหลานสามารถแสดงดวยตวแปรภาษาในขอน าและขอตามของกฎได ตวแปรภาษาสามารถน าแสดงเชงธรรมชาตดวยฟซซเซตและตวเชอมตรรกะของเซตเหลานน โครงสรางพนฐานของการประมวลผลแบบฟซซลอจก

โครงสรางพนฐานของการประมวลผลแบบฟซซ ซงประกอบดวยสวนทส าคญ 4 สวนดงน ดงภาพท 5-1

29

สวนทแปลงการอนพตทวไปเปลยนเปนการอนพตแบบตวแปรฟซซ (Fuzzification) หรอในรปแบบเซตฟซซหรอเรยกวาเปนตวแปรภาษา (Linguistic Variable)

ฐานความร (Knowledge base) เปนสวนทจดเกบรวบรวมขอมลในการควบคมประกอบ 2

สวนคอ ฐานกฎ (Rule base) และฐานขอมล (Database)

ฐานกฎ (Rule base) สวนของการก าหนดวธการควบคม ซงไดจากผเชยวชาญในรปแบบของชดขอมลแบบกฎของภาษา (Linguistic rule)

ฐานขอมล (Database) เปนการจดเตรยมสวนทจ าเปนเพอทจะใชในการก าหนดกฎการควบคม และการจดการขอมลของตรรกศาสตรฟซซ

เครองอนมานหรอการตความ (Inference Engine) เปนสวนทท าหนาทตรวจสอบขอเทจจรงและกฎ เพอใชในการตความหาเหตผล เหมอนกลไกส าหรบควบคมการใชความรในการแกไขปญหา รวมทงการก าหนดวธการของการตความเพอหาค าตอบ

สวนทแปลงการเอาตพตใหอยในชวงทเหมาะสม (Defuzzification) เปนการท าการแปลงขอมลทอยในรปแบบฟซซใหเปนคาทสรปผลหรอคาการควบคมระบบ ขนตอนการประมวลผลแบบฟซซลอจก

ขนตอนการประมวลผลแบบฟซซลอจกมรปแบบการท างานเปน 4 สวนจะแสดงดง ภาพท 5-2

ขนตอนท 1 เปนการแปลงการอนพตแบบทวนยเปลยนเปนการอนพตแบบตวแปรฟซซ โดยจะ

สรางฟงกชนความเปนสมาชก โดยไมจ าเปนตองมลกษณะเดยวกน ขนกบคณลกษณะของแตละการอนพต (Input) และความส าคญตอการเอาตพต (Output) ทนาสนใจโดยฟงกชนจะมลกษณะเปนการก าหนดภาษาสามญ เพอใหเปนฟซซการอนพต ดงภาพท 5-3

30

ขนตอนท 2 เปนการสรางความสมพนธระหวางการอนพตทงหมดทเกยวของกบเอาตพตท

อาศยหลกการของการหาเหตและผล อาจจะสรางการเกบขอมล การคาดการณจากการตดสนใจของมนษย หรอคาจากการทดลอง โดยเขยนเปนกฎการควบคมระบบ ซงจะมลกษณะอยในรปแบบ ถา (If) และ (And) หรอ (Or) ซงเปนภาษาสามญ น ากฎทงหมดมาประมวลผลรวมกน เพอการหาตดสนใจทเหมาะสม ดงภาพท 5-4

ขนตอนท 3 เปนการหาฟซซเอาตพต โดยการน ากฎการควบคมทสรางขน ในขนตอนท 2 มา

ประมวลผลกบฟซซอนพต โดยใชวธการทางคณตศาสตร เพอน าคาทไดประมวลผล ดงภาพท 5-5

31

วธการท าเปนคาคลมเครอ (Fuzzification) วธการทนยมใชในการตความหาเหตผลเลอกใช Max-Min method และ Max-Dot method

ขนตอนท 4 เปนขนตอนสดทายหรอขนตอนการสรปเหตผลฟซซ โดยจะเปลยนฟซซเอาตพตใหเปนทวนยเอาตพตตามภาพท 5-9 และดวยวธทางคณตศาสตร เชน วธการหาจดศนยถวง (Central

of Gravity) เพอน าคาทไดมาใชในการตดสนใจเพอควบคมระบบในสถานการณนนๆ

วธการท าคาฟซซใหเปนคาปกต (Defuzzification) วธการทเปนเทคนคการเลอกคาสงสด

หรอสรปหาเหตผลจากหลาย ๆ เซตมาเพยงคาเดยว ซงเปนการใชคาสงสดของคาระดบการเปนสมาชกจากการกระท าหลายๆ แบบ และเลอกกระท าเพยงรปแบบเดยว

วธการหาจดศนยถวง (Central of Gravity: COG) เปนวธการเฉลยผลทไดจากการตความหาเหตทนยมใชในปจจบน คาทไดจะค านวณจดศนยถวงโดยรวมจะหาไดจากการประมาณคาจากสมการ

โดยสมการ ไดก าหนดคาของสมการดงน

32

ชนดของระบบกฎฟซซ

ในการประมาณคาฟงกชน (function approximation) ระบบกฎฟซซทใชม 3 ชนดใหญ ๆ

ไดแก (1) รปแบบ Madani (2) รปแบบ Takagi-Sugeno-Kang (TSK) และ (3) รปแบบ Standard

Additive Model (SAM) รปแบบ Madani รวมผลการอนมาน (inference) ของกฎ โดยวธการซอนทบ (superimposition) จากกฎหลาย ๆ ขอ ซงไมเปนแบบบวกกน จงเรยกระบบแบบนวาเปน nonadditive rule model แตส าหรบ TSK และ SAM มการอนนามแบบรวมคาน าหนก (weighted

sum) จากหลาย ๆ กฎ เพอรวมเปนขอสรปสดทาย จงเรยกระบบแบบนวา additive rule model การจดกลมของระบบกฎแบบฟซซแสดงในภาพท 5-10

ระบบกฎฟซซของแมมดาน (Mamdani)

ระบบกฎฟซซแบบ Mamdani เปนระบบทมความนยมใชมากทสดระบบหนงในทางปฏบต เปนระบบทใชตวแปรภาษาทงในขอตงและขอตามเพอจดเทยบฟงกชนจาก เปน U1 ×U2 × x Un

เปน W

33

เมอ xj, j = 1, …, n, เปนตวประกอบท j ของตวแปรอนพต x, y เปนตวแปรเอาตพต, A

ij เปนพจน

ภาษาของขอตง (consequence linguistic term) หรอเปนฟงกชนความเปนสมาชกของขอตง (antecedent membership function) ในกฎท i, i = 1, …, L, C

i เปนพจนภาษาของขอตามหรอ

ฟงกชนความเปนสมาชกของขอตาม (consequent membership function) ของกฎท i

34

วธการอนมานแบบ Mamdani

ก าหนดให ระบบฟซซแบบ Mamdani ม 2 อนพต x1 และ x

2 (antecedent) และ 1 เอาตพต y

(consequent) ซงมกฎฟซซเปน

ผลรวมเอาตพตหาได โดยการใชวธการจดองคประกอบแบบคาสงสด-ต าสด (max-min

composition) และวธการจดองคประกอบแบบคาสงสด-ผลคณ (max-product composition)

วธการจดองคประกอบแบบคาสงสด-ต าสด

35

วธการจดองคประกอบแบบคาสงสด-ผลคณ

36

ระบบกฎฟซซแบบ TSK (Takagi-Sugeno-Kang)

ระบบกฎฟซซแบบ TSK ซงน าเสนอโดย Takagi และ Sugeno ในปค.ศ. 1984 และตอมา Sugeno

และ Kang ไดวจยตอมา ระบบกฎฟซซแบบ TSK จะอยในรป

37

ระบบฟซซแบบบวกมาตรฐาน (Standard Additive Model: SAM)

ระบบฟซซแบบบวกมาตรฐาน เชน ระบบฟซซแบบซคาโมโต หรอ Tsukamoto’s Fuzzy

System (Tsukamoto, 1979) ในระบบนสวนขอตงและขอตามจะเปนพจนภาษาคลายกบ ระบบฟซซของ Mamdani แตสวนของขอตาม (consequent) ของกฎฟซซจะถกแสดงเปนฟซซเซตซงมฟงกชนสมาชกแบบทางเดยว (monotonic membership function) ดงภาพท 5-17 ฟงกชนความเปนสมาชกแบบทางเดยวบางครงเรยกวา shoulder function เปนคาอนมานเอาตพตของแตละกฎทเปนคาธรรมดาทวไป (crisp value) ผลเอาตพตทงหมด (ดงภาพท 517) สามารถค านวณไดจากคาเฉลยน าหนกของเอาตพตจากแตละกฎ ดงสมการ

เนองจากกฎแตละขอมคาเอาตพตเปนคาใชงานทวไปแลว ระบบจะรวมเอาตพตทงหมดไดอยางรวดเรวไมตองอาศยวธการแปลงคาฟซซเปนคาธรรมดา (defuzzification) ดงนนจงประหยดเวลามากขน

38

กระบวนการหาเหตผลแบบฟซซ การหาเหตผลแบบฟซซทวไป

ก าหนดใหระบบฟซซหนงม n อนพต และ 1 เอาตพต ประกอบดวยกฎดงน

เมอ x = [x

1, x

2, …, x

n]

T

เปนตวแปรอนพต และ y เปนตวแปรเอาตพตของระบบ เปนพจนภาษา (linguistic terms) ของขอตง (antecedent) เมอ i เปนกฎท i, i = 1,…L, และ j เปนมตท j j =

1, …, n, และให เปนพจนภาษา (linguistic terms) ของขอตาม (antecedent) ijAiB

จากรปประโยค IF-THEN สามารถตความโดยแยกเปนสวน ๆ ซงประกอบดวย ตวเชอมตรรกะ “and or ตวอนมาน “then” ตวจดองคประกอบ ◦ อนพตใด ๆ สามารถสรปผลไดจากระบบฟซซดงกลาว ตวอยางเชน ถามอนพตทตองการหาขอสรปผล

จากกฎฟซซขางตน สามารถสรปผลไดวา

y = B กฎขอท i จากระบบฟซซน

มความสมพนธฟซซ Ri ตามสมการ

จากอนพต สามารถสรปหา y = B โดยหาเอาตพตของกฎแตละขอ

39

จากนนรวม Bi′ จากกฎแตขอเขาดวยกน ดวยการยเนยน ดงสมการ

ดงนนฟซซเซตเอาตพต จะหาไดจาก

การหาเหตผลแบบฟซซตามวธ Mamdani

เพอความเขาใจงาย จะยกตวอยางกฎฟซซ IF-THEN สองกฎทอยในรป Rule

1: if x is A

1 and y is B1 then z is C1

Rule2: if x is A

2 and y is B2 then z is C2

ส าหรบอนพตใด ๆ x is x0 and y is y

0 ดงนนผลสรป z is C

การหาผลสรปฟซซในรปแบบ Mamdani เปนการใชตวด าเนนการคาต าสด (minimum

operator) ส าหรบการเชอมประโยคแบบ “and” และใชตวด าเนนการคาสงสดส าหรบการเชอมประโยคแบบ “or”

40

ระดบคาฟซซของกฎแตละขอในสวนขอตง หาไดโดยการค านวณจากสมการ

เอาตพตของกฎแตละขอ สามารถค านวณไดจาก

ผลรวมของเอาตพตฟซซทงหมดหาไดจากการยเนยนผลลพธจากแตละกฎ

สดทาย หากตองการผลเอาตพตทเปนคาทวไป สามารถหาโดยวธการแปลงคาฟซซเปนคา

ทวไป (defuzzification method)

Alaska รวบรวม copy

41

อางองจาก ดร.พยง มสจ คณะเทคโนโลยสารสนเทศ สถาบนเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

http://suanpalm3.kmitnb.ac.th/teacher/phayung/powerpoint.asp?pno=1