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FuvestExerccios dos vestibulares de1980 a 2012
(faltam alguns anos)
80 80
80 80
001) (Fuvest80-SP) O valor de 2
(sen 22 30' + cos 22 30') :002) (Fuvest80-SP) Na figura abaixo o ngulo OCA mede 90, o ngulo COA mede 45 e o segmento OC mede 2 . A equao da reta AB :
003) (Fuvest80-SP) Em um plano dada uma circun-ferncia e um ponto A pertencente a ela. O lugar ge-omtrico dos pontos do plano equidistantes da cir-cunferncia e do ponto A uma:
004) (Fuvest80-SP) So dados cinco pontos no co-planares A, B, C, D e E. Sabe-se que ABCD um retngulo, AE AB e AE AD. Pode-se con-cluir que so perpendiculares as retas:
a) 3/2b) (2 + 3 ) / 2c) (2 + 2 ) / 2d) 1e) 2
a) x + y - 2 = 0b) x + y - 1 = 0c) x - y + 2 = 0d) x - y + 1 = 0e) x - y - 1 = 0
A O
B
C
x
y
a) retab) circunfernciac) elipsed) semirretae) parbola
a) EA e EBb) EC e CAc) EB e BAd) EA e ACe) AC e BE
Jeca 001
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta c)Resposta c)
Resposta d)Resposta d)
80 80
80 80
005) (Fuvest80-SP) Cada um dos cartes abaixo tem de um lado um nmero e do outro lado uma letra.
Algum afirmou que todos os cartes que tm uma vogal numa face tm um nmero par na outra. Para verificar se tal afirmao verdadeira
006) (Fuvest80-SP) Numa circunferncia est inscri-to um tringulo ABC; seu lado BC igual ao raio da circunferncia. O ngulo BAC mede:
007) (Fuvest80-SP) O valor da expresso
a) necessrio virar todos os cartes.b) suficiente virar os dois primeiros cartes.c) suficiente virar os dois ltimos cartes.d) suficiente virar os dois cartes do meio.e) suficiente virar o primeiro e o ltimo carto.
A B 2 3 a) 15b) 30c) 36d) 45e) 60
16
+
1 ( )1316( )12
2+ 32 :
a) 1/2b) 3/4c) 7/6d) 3/5e) - 3/5
008) (Fuvest80-SP) O valor da expresso2 - 2
2 - 1
a) 2b) 1 / 2c) 2d) 1 / 2e) 2 + 1
Jeca 002
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta a)Resposta d)
Resposta b)Resposta e)
(GeoJeca) (GeoJeca)
009) (Fuvest80-SP) A equao do segundo grau2
ax - 4x - 16 = 0 tem uma raiz cujo valor 4. A outra raiz :a) 1b) 2c) 3d) -1e) -2
Jeca 003
(GeoJeca)
Resposta e)
81 81
81 81
010) (Fuvest81-SP) O preo de uma mercadoria so-fre anualmente um acrscimo de 100%. Supondo que o preo atual seja Cr$ 100,00, daqui a trs anos o preo ser:
011) (Fuvest81-SP) Dos nmeros abaixo, o que est mais prximo de
012) (Fuvest81-SP) Na figura; AB = BD = CD . En-to:
013) (Fuvest81-SP) O nmero de solues da equa-4 4o sen x + cos x = 1 satisfazendo a condio
0 < x < 2pi :
a) Cr$ 300,00b) Cr$ 400,00c) Cr$ 600,00d) Cr$ 800,00e) Cr$ 1 000,00
4 3(5,2) x (10,3)2(9,9)
:
a) 0,625b) 6,25c) 62,5d) 625e) 6250
a) y = 3xb) y = 2xc) x + y = 180d) x = ye) 3x = 2y
A B C
D
x
ya) 0b) 1c) 2d) 4e) infinito
Jeca 004
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta e)Resposta d)
Resposta d)Resposta a)
81 81
81
014) (Fuvest81-SP) O segmento AB um dimetro de uma circunferncia e C um ponto dela, distinto de A e de B. A reta VA, V = A, perpendicular ao plano da circunferncia. O nmero de faces do tetra-edro VABC que so tringulos retngulos :
015) (Fuvest81-SP) O lugar geomtrico dos pontos equidistantes da reta y = 0 e da circunferncia
2 2x + (y - 2) = 1 :
016) (Fuvest81-SP) Uma floresta tem 1 000 000 de rvores. Nenhuma rvore tem mais que 300 000 fo-lhas. Pode-se concluir que:a) existem na floresta rvores com nmeros de fo-lhas distintos.b) existem na floresta rvore com uma s folha.c) existem na floresta rvores com o mesmo nmero de folhas.d) o nmero mdio de folhas por rvore 150 000.e) o nmero total de folhas na floresta pode se maior
12que 10 .
a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4
a) uma retab) uma semirretac) uma circunfernciad) uma elipsee) uma parbola
Jeca 005
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta c)
Resposta e)Resposta e)
87 87
87 87
017) (Fuvest87-SP) Um comcio poltico lotou uma praa semicircular de 130 m de raio. Admitindo uma
2ocupao mdia de 4 pessoas por m , qual a me-lhor estimativa do nmero de pessoas presentes ?
018) (Fuvest87-SP) A diferena entre o cubo da so-ma de dois nmeros inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
019) (Fuvest87-SP) A reta de equao 2x + 12y - 3 = 0 , em relao a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um trin-gulo cuja rea :
020) (Fuvest87-SP) Na figura os ngulos assinala-dos so retos. Temos necessariamente:
a) dez milb) cem milc) meio milhod) um milhoe) muito mais do que um milho
a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8
a) 1/3b) 1/4c) 1/15d) 3/8e) 3/16
a)b)c)d)e)
xy
pm=
+
2 2 2 2x + y = p + m
x y pm=
xy p
m=
x y = p m
1 1 1 1+
y
x p
m
Jeca 006
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta c)Resposta b)
Resposta b)Resposta e)
87 87
87 87
021) (Fuvest87-SP) O conjunto soluo da equao 022) (Fuvest87-SP) Qual a distncia entre os cen-tros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4 ?
023) (Fuvest87-SP) Numa populao, a razo do nmero de mulheres para o de homens de 11 para 10. A idade mdia das mulheres 34 e a idade m-dia dos homens 32. Ento a idade mdia da popu-lao aproximadamente:
024) (Fuvest87-SP) Se o ms de dezembro s tiver 4 domingos, o dia de Natal no poder ser:
sen 2xcos 3xsen 4x
0cos xsen x
0sen xcos x
= 0
:
a)b)c)d)e)
{ }
2 k Z
{
{ }{ }{ }
pi2 kpi , k Z+ }pi4 kpi , k Z+kpi , k Zkpi ,
4 k Zkpi ,
a) 2b) 2 2c) 4d) 4 2e) 8
a) 32,90b) 32,95c) 33,00d) 33,05e) 33,10
a) quarta-feira.b) quinta-feira.c) sexta-feira.d) sbado.e) domingo.
Jeca 007
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta a)Resposta d)
Resposta b)Resposta e)
87 87
025) (Fuvest87-SP) Em um plano tem-se um qua-drado de lado a, uma reta r paralela a um lado do quadrado e uma reta t que forma com r um ngulo agudo . Projeta-se o quadrado sobre r paralela-mente a t e obtm-se um segmento de comprimen-to 3a. Determine tg
16 25 n026) (Fuvest87-SP) Se 4 . 5 = . 10 , com1 < < 10, ento n igual a:
a) 1b) 1/2c) 1/3d) 2/3e) 1/6
a) 24b) 25c) 26d) 27e) 28
Jeca 008
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta d)Resposta b)
88 88
88 88
027) (Fuvest88-SP) Qual a altura de uma pirmide quadrangular que tem as oito arestas iguais a 2 ?
028) (Fuvest88-SP)
029) (Fuvest88-SP) Duas garotas realizam um servi-o de datilografia. A mais experiente consegue fa-z-lo em 2 horas, a outra em 3 horas. Se dividirmos esse servio de modo que as duas juntas possam fa-z-lo no menor tempo possvel, esse tempo ser:
030) (Fuvest88-SP) Aumentando-se os lados a e b de um retngulo de 15% e 20% respectivamente, a rea do retngulo aumentada de:
a) 1b) 1,5c) 2d) 2,5e) 3
1 a b cx 3
a b c 4 Acima est representada uma multiplicao, onde os algarismos a, b e c so desconhecidos. Qual o valor da soma a + b + c ?a) 5b) 8c) 11d) 14e) 17
a) 1,5 horas.b) 2,5 horas.c) 72 minutos.d) 1 hora.e) 95 minutos.
a) 35%b) 30%c) 3,5%d) 3,8%e) 38%
Jeca 009
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta d)Resposta a)
Resposta e)Resposta c)
88 88
88 88
031) (Fuvest88-SP) Um tringulo ABC tem ngulos A = 40 e B = 50. Qual o ngulo formado pelas alturas relativas aos vrtices A e B desse trin-gulo ?
032) (Fuvest88-SP) Em um tringulo retngulo OAB, retngulo em O, com OA = a e OB = b, so dados os pontos P em OA e Q em OB de tal ma-neira que AP = PQ = QB =x. Nestas condies o valor de x :
033) (Fuvest88-SP) Os pontos M = (2 , 2 ), N = (-4 , 0) e P = (-2 , 4) so respectivamente, os pontos mdios dos lados AB, BC e CA do tringu-lo ABC. A reta mediatriz do segmento AB tem a equao:
034) (Fuvest88-SP) Os valores de m, para os quais 3 2
a reta y = mx encontra a curva y = x + 6x + 7x em um nico ponto, satisfazem:
a) 30b) 45c) 60d) 90e) 120
a) ab - a - bb) a + b - 2ab
2 2c) a + bd) a + b + 2abe) ab + a + b
A B
Q
O
P
a) x + 2y - 6 = 0b) x - 2y + 2 = 0c) 2x - 2y - 2 = 0d) 2x + y - 6 = 0e) -x + 2y - 6 = 0
a) m < -2b) m = 4c) m = 3d) m > 4e) m > 0
Jeca 010
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta b)Resposta d)
Resposta a)Resposta a)
Igualando, tem-se2mx = x(x + 6x + 7)
Cancelando x, tem-se2x + 6x + 7 - m = 0
Como x j raiz, a equao acima no pode ter raiz ( < 0)Portanto m < -2
88 88
035) (Fuvest88-SP) Dois pontos, A e B esto situ-ados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, est si-tuado de tal modo que o ngulo CAB mede 75 e o ngulo ACB mede 75. Determine a largura do rio.
036) (Fuvest88-SP) Com relao a trs circunfern-cias no plano, com centros no colineares, podemos afirmar que:
a) 40 mb) 20 mc) 20 3 md) 30 me) 25 m
a) sempre existe um ponto comum s trs circunfe-rncias.b) existe no mximo um ponto comum s trs circun-ferncias.c) podem existir dois pontos comuns s trs circun-ferncias.d) nunca existe ponto comum s trs circunfern-cias.e) existem exatamente trs pontos comuns s trs circunferncias.
Jeca 011
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta b)Resposta b)
89 89
89 89
037) (Fuvest89-SP) O segmento AB dimetro da 2 2
circunferncia de equao x + y = 10y . Se A o ponto (3 , 1) , ento B o ponto
038) (Fuvest89-SP) A tangente do ngulo 2x da-da em funo da tangente de x pela seguinte frmu-la:
2039) (Fuvest89-SP) O grfico f(x) = x + bx + c , onde b e c so constantes, passa pelos pontos (0 , 0) e (1 , 2) . Ento f(-2/3) vale
040) (Fuvest89-SP) Um aougue vende dois tipos de carne: de 1 a Cz$ 1 200,00 o quilo e de 2 aCz$ 1 000,00 o quilo. Se um cliente pagou por um quilo de carne Cz$ 1 050,00, ento necessariamente ele comprou
a) (-3 , 9)b) (3 , 9)c) (0 , 10)d) (-3 , 1)e) (1 , 3)
Calcule um valor aproximado da tangente do ngulo 22 30'.
tg 2x = 2 tg x21 - tg x
a) 0,22b) 0,41c) 0,50d) 0,72e) 1,00
a) - 2/9b) 2/9c) - 1/4d) 1/4e) 4
a) 300 g de carne de 1b) 400 g de carne de 1c) 600 g de carne de 1 d) 350 g de carne de 1e) 250 g de carne de 1
Jeca 012
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta b)Resposta a)
Resposta e)Resposta a)
89 89
89 89
041) (Fuvest89-SP) Dois pontos materiais A e B deslocam-se com velocidades constantes sobre uma circunferncia de raio r = 8 m partindo de um mesmo ponto O. Se o ponto A se desloca no senti-do horrio com o triplo da velocidade de B, que se desloca no sentido anti-horrio, ento o comprimen-to da corda que liga o ponto de partida ao ponto do primeiro encontro
042) (Fuvest89-SP) Os lados de um retngulo de 2rea 12 m esto na razo 1:3 . Qual o permetro do
retngulo ?
043) (Fuvest89-SP) Um recipiente cilndrico cujo ra-io da base 6 cm contm gua at uma certa altura. Uma esfera de ao colocada no interior do recipien-te ficando totalmente submersa. Se a altura da gua subiu 1 cm, ento o raio da esfera
044) (Fuvest89-SP) Os pontos A, B e C so vrti-ces consecutivos de um hexgono regular de rea igual a 6. Qual a rea do tringulo ABC ?
a) 1 mb) 2 mc) 3 m d) 4 me) 5 m
a) 8 mb) 12 mc) 16 md) 20 me) 24 m
a) 1 cmb) 2 cmc) 3 cmd) 4 cme) 5 cm
a) 1b) 2c) 3d) 2e) 3
Jeca 013
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta a)Resposta c)
Resposta c)Resposta d)
89 89
045) (Fuvest89-SP) Uma compra de Cz$ 100 000,00 dever ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma vista e a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 20% sobre o saldo devedor, ento o valor de cada parcela, desprezando-se os centavos, ser de
046) (Fuvest89-SP) A rea de um tringulo de lados a, b e c dada pela frmula
a) Cz$ 54 545b) Cz$ 56 438c) Cz$ 55 000d) Cz$ 58 176e) Cz$ 60 000
onde p o semipermetro ( 2p = a + b + c ). Qual a rea de um tringulo de lados 5, 6 e 7 ?a) 15b) 21c) 7 5d) 210e) 6 6
S = p (p - a) (p - b) (p - c)
Jeca 014
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta e)Resposta a)
90 90
90 90
047) (Fuvest90-SP) Se A = (x - y ) / xy , x = 2 /5 e y = 1/2 , ento A igual a:
048) (Fuvest90-SP) O nmero de divisores do nme-ro 40 :
049) (Fuvest90-SP) Um tringulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ngulo de T :
050) (Fuvest90-SP) Os segmentos VA, VB e VC so arestas de um cubo. Um plano , paralelo ao plano ABC, divide esse cubo em duas partes iguais. A interseco do plano com o cubo um:
a) - 0,1b) + 0,2c) - 0,3d) + 0,4e) - 0,5
a) 8b) 6c) 4d) 2e) 20
a) 5/6b) 4/5c) 3/4d) 2/3e) 1/8
a) tringulo.b) quadrado.c) retngulo.d) pentgono.e) hexgono.
Jeca 015
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta e) Resposta e)
Resposta e) Resposta a)
90 90
90
051) (Fuvest90-SP) A reta y = mx (m > 0) tan-2 2gente circunferncia (x - 4) + y = 4 . Determine o
seno do ngulo que a reta forma com o eixo x.
052) (Fuvest90-SP) Um pedao de cartolina possui a forma de um semicrculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um menino constri um chapu cnico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distncia do bico do chapu mesa ?
053) (Fuvest90-SP) Um pas contraiu em 1829 um emprstimo de 1 milho de dlares, para pagar em cem anos, taxa de juros de 9% ao ano. Por proble-mas de balana comercial, nada foi pago at hoje, e a dvida foi sendo "rolada", com capitalizao anual dos juros. Qual dos valores abaixo est mais prxi-mo do valor da dvida em 1989 ?
8Para os clculos adote (1,09) 2 .
a) 1/5b) 1/2c) 3 / 2d) 2 / 2e) 5
a) 10 3 cmb) 3 10 cmc) 20 2 cmd) 20 cme) 10 cm
~
a) 14 milhes de dlaresb) 500 milhes de dlaresc) 1 bilho de dlaresd) 80 bilhes de dlarese) 1 trilho de dlares
Jeca 016
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta b) Resposta a)
Resposta e)
91 91
91 91
054) (Fuvest91-SP) Na figura esto representados geometricamente os nmeros reais 0, x, y e 1. Qual a posio do nmero xy ?
055) (Fuvest91-SP) No alto de uma torre de uma e-missora de televiso duas luzes "piscam" com fre-quncias diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultanea-mente, aps quantos segundos elas voltaro a pis-car simultaneamente ?
056) (Fuvest91-SP) A uma caixa d'gua de forma cbica com 1 metro de lado, est acoplado um cano cilndrico com 4 cm de dimetro e 50 m de compri-mento. Num certo instante, a caixa est cheia de -gua e o cano vazio. Solta-se a gua pelo cano at que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da gua na caixa no instante em que o cano ficou cheio ?
057) (Fuvest91-SP) O retngulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura 3/5 do compri-mento. A parte hachurada representa um jardim re-tangular cuja largura tambm 3/5 do comprimento. Qual a razo entre a rea do jardim e a rea total do terreno ?
0 x y 1
a) esquerda de 0.b) Entre 0 e x.c) Entre x e y.d) Entre y e 1.e) direita de 1.
a) 12b) 10c) 20d) 15e) 30
a) 90 cmb) 92 cmc) 94 cmd) 96 cme) 98 cm
a) 30%b) 36%c) 40%d) 45%e) 50%
A B
CD
Jeca 017
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta c) Resposta b)
Resposta b) Resposta a)
91 91
91
058) (Fuvest91-SP) Os nmeros inteiros positivos so dispostos em "quadrados" da seguinte maneira:
059) (Fuvest91-SP) Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ngulo A mede 40, ento o ngulo XYZ mede:
060) (Fuvest91-SP) A moeda de um pas o "liberal", indicado por L. O imposto de renda r uma funo contnua da renda R, calculada da seguinte maneira: I) Se R < 24 000 L, o contribuinte est isento do im-posto. II) Se R > 24 000 L, calcula-se 15% de R, e do va-lor obtido subtrai-se um valor fixo P, obtendo-se o im-posto a pagar I. Determine o valor fixo P.
147
258
369
101316
111417
121518
19..
..
..
..
..
..
..
..
O nmero 500 se encontra em um desses "qua-drados". A "linha" e a "coluna" em que o nmero 500 se encontra so, respectivamente:a) 2 e 2b) 3 e 3c) 2 e 3d) 3 e 2e) 3 e 1
a) 40b) 50 c) 60d) 70e) 90
A
B
C
X
Y
Z
a) 1 200 Lb) 2 400 Lc) 3 600 Ld) 6 000 Le) 24 000 L
Jeca 018
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta c)
(I = 0,15 R - P)Para I = 0, tem-se que P = 3 600,00 L
Resposta a) Resposta d)
92 92
92 92
061) (Fuvest92-SP) A funo que representa o valor a ser pago aps um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria :
062) (Fuvest92-SP) O retngulo abaixo de dimen-ses a e b est decomposto em quadrados. Qual o valor da razo a/b ?
063) (Fuvest92-SP) Carlos e sua irm Andria fo-ram com seu cachorro Bidu farmcia de seu av. L encontraram uma velha balana com defeito que s indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o co pesam juntos 87 kg; Carlos e Andria pesam 123 kg e Andria e o Bidu pesam 66 kg.
Podemos afirmar que:
064) (Fuvest92-SP) Se -4 < x < -1 e 1 < y < 2 ento xy e 2/x esto no intervalo:
a) f(x) = x - 3b) f(x) = 0,97 xc) f(x) = 1,3 xd) f(x) = -3xe) f(x) = 1,03x
a) 5/3b) 2/3c) 2d) 3/2e) 1/2
a
b
a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.b) Dois deles pesam mais que 60 kg.c) Andria a mais pesada dos trs.d) O peso de Andria a mdia aritmtica dos pe-sos de Carlos e de Bidu.e) Carlos mais pesado que Andria e Bidu juntos.
a) ]-8 , -1[b) ]-2 , -1/2[c) ]-2 , -1[d) ]-8 , -1/2[e) ]-1 , -1/2[
Jeca 019
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta b) Resposta a)
Resposta e) Resposta d)
92 92
065) (Fuvest92-SP) No quadriltero ABCD onde os ngulos B e D so retos e os lados tm as medidas indicadas, o valor de sen A :
066) (Fuvest92-SP) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Quere-mos ench-lo com quantidades iguais de suco e de gua. Para que isso seja possvel, a altura x atingi-da pelo primeiro lqido colocado deve ser:a) 5 / 5
b) 2 5 / 5c) 4 / 5d) 2 / 5e) 1 / 2
A
B
C
D
2x
x
x
2x
x
3 cm
8 cm
a) 8 / 3 cmb) 6 cm c) 4 cmd) 4 3 cme) 4 4 cm3
Observao do Jeca - Para a resoluo, necessrio garantir que o eixo do cone est na vertical.
Jeca 020
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta c) Resposta e)
93 93
93 93
067) (Fuvest93-SP) Os pontos B, P e C pertencem a uma circunferncia e BC lado de um polgono regular inscrito em . Sabendo-se que o ngulo BPC mede 18 podemos concluir que o nmero de lados do polgono igual a
068) (Fuvest93-SP) Uma progresso geomtrica tem primeiro termo igual a 1 e razo igual a 2 . Se
39o produto dos termos dessa progresso 2 , ento o nmero de termos igual a
069) (Fuvest93-SP) Na figura, a reta r passa pelo ponto T = (0 , 1) e paralela ao eixo Ox. A semirre-ta Ot forma um ngulo com o semieixo Ox (0 < < 90) e intercepta a circunferncia trigono-mtrica e a reta r nos pontos A e B, respectiva-mente. A rea do TAB, como funo de dada por
070) (Fuvest93-SP) Escolhe-se ao acaso trs vrti-ces distintos de um cubo. A probabilidade de que estes vrtices pertenam a uma mesma face
a) 5b) 6c) 7d) 10e) 12
a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16
a)b)c)d)e)
1 - sen 2
cos .
1 - cos 2
sen .
1 - sen 2
tg .
1 - sen 2
cotg .
1 - sen 2
sen .
T
A
B r
t
O
y
x
a) 3/14b) 2/7c) 5/14d) 3/7e) 13/18
Jeca 021
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta d) Resposta b)
Resposta d) Resposta d)
93 93
071) (Fuvest93-SP) 95% da massa de uma melan-cia de 10 kg constituda por gua. A fruta sub-metida a um processo de desidratao (que elimina apenas gua) at que a participao da gua na massa da melancia se reduza a 90%. A massa da melancia aps esse processo de desidratao ser igual a
072) (Fuvest93-SP) O valor mximo da funof(x) = 3 cos x + 2 sen x para x real
a) 5/9 kgb) 9/5 kgc) 5 kgd) 9 kge) 9,5 kg
a) 2 / 2b) 3c) 5 2 / 2d) 13e) 5
Jeca 022
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta c) Resposta d)
94 94
94 94
073) (Fuvest94-SP) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condies: vista com 30% de desconto sobre o preo de tabela ou no carto de crdito com 10% de acrscimo sobre o preo de tabela. Um arti-go que vista sai por CR$ 7 000,00 no carto sair por
074) (Fuvest94-SP) Os nmeros x e y so tais que 5 < x < 10 e 20 < y < 30. O maior valor possvel de x/y
075) (Fuvest94-SP) O valor de (tg 10 + cotg 10) sen 20
076) (Fuvest94-SP) O tringulo ABC est inscrito numa circunferncia de raio 5 cm. Sabe-se que A e B so extremidades de um dimetro e que a corda BC mede 6 cm. Ento a rea do tringulo ABC, em
2cm , vale
a) CR$ 13 000,00b) CR$ 11 000,00c) CR$ 10 010,00d) CR$ 9 800,00e) CR$ 7 700,00
a) 1/6b) 1/4c) 1/3d) 1/2e) 1
a) 1/2b) 1c) 2d) 5/2e) 4
a) 24b) 12c) 5 3 / 2d) 6 2e) 2 3
Jeca 023
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta b) Resposta d)
Resposta c) Resposta a)
94 94
077) (Fuvest94-SP) A re ta s passa pelo pon to(0 , 3) e perpendicular reta AB onde A = (0 , 0) e
2 2B o centro da circunferncia x + y - 2x - 4y = 20. Ento a equao de s
078) (Fuvest94-SP) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de al-tura. Para isto, recorta-se, em cartolina, um setor cir-cular para a superfcie lateral e um crculo para a base. A medida do ngulo central do setor circular
a) x - 2y = -6b) x + 2y = 6c) x + y = 3d) y - x = 3e) 2x + y = 6
a) 144b) 192c) 240d) 288e) 336
Jeca 024
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta b) Resposta d)
95 95
95 95
079) (Fuvest95-SP) Dividir um nmero por 0,0125 equivale a multiplic-lo por
080) (Fuvest95-SP) O produto de dois nmeros intei-ros positivos, que no so primos entre si, igual a 825. Ento o mximo divisor comum desses dois nmeros
081) (Fuvest95-SP) Um logista sabe que, para no ter prejuzo, o preo de venda de seus produtos deve ser no mnimo 44% superior ao preo de custo. Po-rm ele prepara a tabela de preos de venda acres-centando 80% ao preo de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da com-pra. Qual o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preo da tabela, de modo a no ter prejuzo ?
082) (Fuvest95-SP)
a) 1/125b) 1/8c) 8d) 12,5e) 80
a) 1b) 3c) 5d) 11e) 15
a) 10%b) 15%c) 20%d) 25%e) 36%
28 302 + 210
3=
a)
b)
c)
d)
e)
82592
582
92
1/3( )58210
Jeca 025
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)Resposta e) Resposta c)
Resposta c) Resposta d)
95 95
95 95
083) (Fuvest95-SP) Uma superfcie esfrica de raio 13 cm cortada por um plano situado a uma distn-cia de 12 cm do centro da superfcie esfrica, deter-minando uma circunferncia. O raio desta circunferncia, em cm,
084) (Fuvest95-SP) Dentre os nmeros abaixo, o mais prximo de sen 50
085) (Fuvest95-SP) Em uma progresso aritmtica de termos positivos, os trs primeiros termos so1 - a , -a , 11 - a . O quarto termo desta P.A.
086) (Fuvest95-SP) O menor valor de 1 / (3 - cos x) , com x real,
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
a) 0,2b) 0,4c) 0,6d) 0,8e) 1,0
a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
a) 1/6b) 1/4c) 1/2d) 1e) 3
Jeca 026
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta b) Resposta b)
Resposta e) Resposta d)
95 95
95 95
087) (Fuvest95-SP) Sejam A = (1 , 2) e B = (3 , 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC obtido do segmento AB por uma rotao de 60 , no sentido antihorrio, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C so
088) (Fuvest95-SP) Uma circunferncia de raio 2, localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equao 4x - 3y = 0. Ento a abscissa do centro dessa circunferncia
089) (Fuvest95-SP) Considere um arco AB de 110 numa circunferncia de raio 10 cm. Considere a se-guir um arco A'B' de 60 numa circunferncia de raio 5 cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B' (ambos medidos em cm), obtm-se
090) (Fuvest95-SP) No quadriltero ABCD abaixo, ABC = 150, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e N, respectivamente, os pontos m-dios de CD e BC.
2 A medida, em cm , da rea do tringulo BCD
a) (2 , 2 + 3 )b) (1 + 3 , 5/2)c) (2 , 1 + 3 )d) (2 , 2 - 3 )e) (1 + 3 , 2 + 3 )
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
a) 11/6b) 2c) 11/3d) 22/3e) 11
a) 10b) 15c) 20d) 30e) 40
Jeca 027
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta a) Resposta d)
Resposta c) Resposta d)
95 95
95 95
091) (Fuvest95-SP) Na figura abaixo, X e Y so, respectivamente, os pontos mdios das arestas AB e CD do cubo. A razo entre o volume do prisma AXFEDYGH e do cubo
092) (Fuvest95-SP) No quadriltero abaixo, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, ADC = 60 e ABC = 90. A medida, em cm, do permetro do quadriltero
093) (Fuvest95-SP) Sabendo que um nmero real e que a parte imaginria do nmero complexo zero, ento
094) (Fuvest95-SP) A , B e C so pontos de uma circunferncia de raio 3 cm, AB = BC e o ngulo ABC mede 30.
a) Calcule, em cm, o comprimento do segmento AC.2b) Calcule, em cm , a rea do tringulo ABC.
A B
CD
E F
GH
X
Y
a) 3/8b) 1/2c) 2/3d) 3/4e) 5/6
a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15
A B
C
D
2 + i + 2i
a) -4b) -2c) 1d) 2e) 4
Jeca 028
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta e)
Resposta d) Resposta b)
Respostasa) AC = 3 cm
2b) S = (9( 3 + 2) / 4) cm
95 95
95
095) (Fuvest95-SP) Considere a funo f(x) = - sen x + sen 5x.a) Determine constantes k, m e n tais quef(x) = k sen (mx) cos(nx).b) Determine os valores de x, 0 < x < pi, tais que f(x) = 0.
096) (Fuvest95-SP) Sejam A = (0 , 0), B = (0 , 5) e C(4 , 3) pontos do plano cartesiano.a) Determine o coeficiente angular da reta BC.b) Determine a equao da mediatriz do segmento BC. O ponto A pertence a esta mediatriz ?c) Considere a circunferncia que passa por A, B e C. Determine a equao da reta tangente a esta cir-cunferncia no ponto A.
097) (Fuvest95-SP) No cubo de aresta a abaixo, X e Y so pontos mdios das arestas AB e GH, res-pectivamente. Considere a pirmide de vrtice F e cuja base o quadriltero XCYE. Calcule, em fun-o de a,
a) o comprimento do segmento XY.b) a rea da base da pirmide.c) o volume da pirmide.
A B
CD
E F
GH
X
Y
Jeca 029
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
Respostasa) k = 2, m = 2, n = 3b) S = {0, pi/6, pi/2, 5pi/6, pi}
Respostasa) m = -1/2b) y = 2x , A pertence mediatrizc) y = -4x/3
Respostasa) XY = a 2
2b) S = a 6 / 23
c) V = a / 3
098) (Fuvest96-SP) As bases de um tronco de cone circular reto so crculos de raios 6 cm e 3 cm. Sa-bendo-se que a rea lateral do tronco igual soma das reas das bases, calcule:
a) a altura do tronco de cone.b) o volume do tronco de cone.
099) (Fuvest96-SP) Considere no plano cartesiano, os pontos P = (0 , -5) e Q = (0 , 5). Seja X = (x , y) um ponto qualquer com x > 0.
a) Quais so os coeficientes angulares das retas PX e QX ?b) Calcule, em funo de x e y, a tangente do ngu-lo PXQ.c) Descreva o lugar geomtrico dos pontos X = (x , y) tais que x > 0 e PXQ = pi/4 radianos.
100) (Fuvest96-SP) Considere a funo f(x) = sen x . cos x + (1/2) (sen x - sen 5x) .a) Resolva a equao f(x) = 0 no intervalo [0 , pi].b) O grfico de f pode interceptar a reta de equao y = 8/5 ? Explique sua resposta.
101) (Fuvest96-SP) Numa classe de um colgio exis-tem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as mdias aritmticas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a 6,2 e 7,0. A mdia aritm-tica das notas de toda a classe foi igual a 6,5 .
a) A maior parte dos estudantes dessa classe com-posta de meninos ou meninas ? Justifique sua res-posta.b) Que porcentagem do total de alunos da classe do sexo masculino ?
96 96
96 96Jeca 030
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Respostasa) H = 4 cm
3b) 84pi cm
Respostasa) qualquer valor pertencente aos nmeros reaisb) tg =
2 2c) (LG) x + y - 10x - 25 = 0
-10x2 2
x + y - 25
Respostasa) S = {0, pi/9, pi/2, pi}b) f(x) = sen x.cos x (1 - 2cos 3x)vmx de sen x. cos x = 1/2vmx de (1 - 2cos 3x) = 3f(x) = 1,5 < 8/5 = 1,6 (no pode interceptar)mx
Respostasa) meninos (h = 5m/3)b) 62,5%
102) (Fuvest96-SP) A figura abaixo mostra parte do grfico da funo
103) (Fuvest96-SP) Qual dos cinco nmeros relacio-15
nados abaixo, no um divisor de 10 ?
104) (Fuvest96-SP) Na figura, as retas r e s so pa-ralelas, o ngulo 1 mede 45 e o ngulo 2 mede 55. A medida, em graus, do ngulo 3
105) (Fuvest96-SP) Na figura abaixo so dadas duas semirretas r e s de mesma origem A e um ponto P.
a) Utilize essa figura para construir, usando rgua e compasso, os pontos B em r e C em s de tal for-ma que o ponto P pertena ao segmento BC e que AB seja igual a AC.b) Descreva e justifique o processo utilizado na cons-truo.
96 96
96 96
a) sen xb) 2 sen (x/2)c) 2 sen xd) 2 sen 2xe) sen 2x
2
-2
2pi4pi
a) 25b) 50c) 64d) 75e) 250
a) 50b) 55c) 60d) 80e) 100
1
2
3
r
s
P
r
sA
Jeca 031
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
P
r
sA
Resposta d)Resposta b)
Resposta e) Resposta
106) (Fuvest96-SP) Considere o tringulo ABC, onde A = (0 , 4) , B = (2 , 3) e C um ponto qualquer
2 2da circunferncia x + y = 5. A abscissa do ponto C que torna a rea do tringulo ABC a menor possvel
107) (Fuvest96-SP) No tringulo ABC, AB = 20 cm, BC = 5 cm e o ngulo ABC obtuso. O quadriltero
2MBNP um losango de rea 8 cm . A medida, em graus, do ngulo BNP
108) (Fuvest96-SP) No tringulo ABC, AC = 5 cm, BC = 20 cm e cos = 3/5 . O maior valor possvel,
2em cm , para a rea do retngulo MNPQ, construdo conforme mostra a figura,
109) (Fuvest96-SP) Os nmeros reais sen (pi/12), sen e sen (5pi/12) formam, nesta ordem, uma pro-gresso aritmtica. Ento o valor de sen :
96 96
96 96
a) -1b) -3/4c) 1d) 3/4e) 2
a) 15b) 30c) 45d) 60e) 75
A
B C
M
N
P
a) 16b) 18c) 20d) 22e) 24
A
B C
M
N P
Q
a) 1/4b) 3 / 4c) 2 / 4d) 6 / 4e) 3 / 2
Jeca 032
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta c) Resposta b)
Resposta c) Resposta d)
110) (Fuvest96-SP) Para cada nmero real m seja P = (x , y ) o ponto de interseco das retas m m mmx + y = 1 e x - my = 1 . Sabendo-se que todos os pontos de P pertencem a uma mesma circunfern-mcia, qual o centro dessa circunferncia ?
111) (Fuvest96-SP) Dado o nmero complexo z = 3 + i , qual o menor valor do inteiro n > 1 para
no qual z um nmero real ?
112) (Fuvest96-SP) Sejam pi' e pi'' as faces de um ngulo diedro de 45 e P um ponto interior a esse diedro. Sejam P' e P'' as projees ortogonais de P sobre pi' e pi'', respectivamente. Ento, a medida em graus, do ngulo P' P P''
113) (Fuvest96-SP) Dois blocos de alumnio, em for-ma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm so levados juntos fuso e em seguida o alumnio lqui-do moldado como um paraleleppedo reto de ares-tas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x
a) (1/2 , 1/2)b) (0 , 0)c) (-1/2 , 1/2)d) (-1/2 , -1/2)e) (1 , 1)
a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10
pi'
pi''
P'P
P''
45a) 30b) 45c) 60d) 90e) 135
a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20
96 96
96 96Jeca 033
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta a) Resposta c)
Resposta e) Resposta d)
97 97
97 97
114) (Fuvest97-SP) Na figura abaixo, A um ponto do plano cartesiano, com coordenadas (x , y). Sa-bendo que A est localizado abaixo da reta r e aci-ma da reta s, tem-se
115) (Fuvest97-SP) a) Dados AB e um segmento de medida r, cons-trua, usando rgua e compasso, um tringulo issce-les sabendo que sua base AB e o raio da circunfe-rncia inscrita nesse tringulo r.b) Descreva as construes feitas.c) Justifique o porqu de cada construo.
116) (Fuvest97-SP) Considere as circunferncias que passam pelos pontos (0 , 0) e (2 , 0) e que so tangentes reta y = x + 2 .
a) Determine as coordenadas dos centros dessas circunferncias.b) Determine os raios dessas circunferncias.
117) (Fuvest97-SP) No paraleleppedo reto-retngulo mostrado na figura, AB = 2 cm e AD = AE = 1 cm.Seja X um ponto de AB e x a medida de AX.a) Para que valor de x, CX = XH ?b) Para que valor de x, CXH reto ?
a) y < x/2 e y < -x + 1b) y < x/2 ou y > -x + 1c) x/2 < y e y > -x + 1d) -x + 1 < y < x/2e) x/2 < y < -x + 1
1
1-2
-1
s
r
x
y
rA B
A X B
CD
E F
GH
Jeca 034
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta e) Resposta (construo)
Respostasa) C (1 , 3 2 - 3)1 C (1 , -3 2 - 3)2b) R = 3 2 - 31 R = 3 2 + 32
Respostasa) x = 3/4 cmb) x = 1 cm
118) (Fuvest97-SP) A, B, C e D so vrtices conse-cutivos de um hexgono regular. A medida, em graus, de um dos ngulos formados pelas diagonais AC e BD
119) (Fuvest97-SP) Sendo sen = 9/10, com0 < < pi/2, tem-se
120) (Fuvest97-SP) Sendo i a unidade imaginria2(i = -1) pergunta-se: quantos nmeros reais a exis-
4tem para os quais (a + i) um nmero real ?
121) (Fuvest97-SP) Um cubo de aresta m est ins-crito em uma semiesfera de raio R de tal modo que os vrtices de uma das faces pertencem ao plano equatorial da semiesfera e os demais vrtices perten-cem superfcie da semiesfera. Ento, m igual a
97 97
97 97
a) 90b) 100c) 110d) 120e) 150
a) sen < sen (pi/3) < sen 2b) sen (pi/3) < sen < sen 2c) sen < sen 2 < sen (pi/3)d) sen 2 < sen (pi/3) < sen e) sen 2 < sen < sen (pi/3)
a) 1b) 2c) 3d) 4e) infinitos
a) R 2 / 3b) R 2 / 2c) R 3 / 3d) Re) R 3 / 2
Jeca 035
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta d) Resposta d)
Resposta b) Resposta a)
122) (Fuvest97-SP) No papel quadriculado da figura abaixo, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado. DE paralelo a BC. Para que a rea do tringulo ADE seja a metade da rea do tringulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada,
123) (Fuvest97-SP) O volume de um paraleleppedo 3
reto retngulo 240 cm . As reas de duas de suas 2 2faces so 30 cm e 48 cm . A rea total do paralele-
2ppedo, em cm ,
124) (Fuvest97-SP) Para que a parbola2y = 2x + mx + 5 no intercepte a reta y = 3,
devemos ter
125) (Fuvest97-SP) Uma formiga resolveu andar de um vrtice a outro do prisma reto de bases triangula-res ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vrtice G, percorreu toda a aresta perpendi-cular base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formi-ga chegou ao vrtice :
97 97
97 97
A BD
C
Ea) 4 2b) 4c) 3 3d) 8 3 / 3e) 7 3 / 2
a) 96b) 118c) 236d) 240e) 472
a) -4 < m < 4b) m < -3 ou m > 4c) m > 5 ou m < -5d) m = -5 ou m = 5e) m = 0 A
B
C
D
E
G
a) Ab) Bc) Cd) De) E
Jeca 036
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta a) Resposta c)
Resposta a) Resposta e)
126) (Fuvest97-SP) Que nmero deve ser somado ao numerador e ao denominador da frao 2/3 para que ela tenha um aumento de 20% ?
127) (Fuvest97-SP) As retas r e s so perpendicu-lares e interceptam-se no ponto (2 , 4). A reta s pas-sa pelo ponto (0 , 5). Uma equao da reta r
128) (Fuvest97-SP) No retngulo abaixo, o valor, em graus, de +
129) (Fuvest97-SP) Na figura abaixo, AD = 2 cm,AB = 3 cm, a medida do ngulo BAC 30 eBD = DC, onde D o ponto do lado AC. A medida do lado BC, em cm,
97 97
97 97
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
a) 2y + x = 10.b) y = x + 2.c) 2y - x = 6d) 2x + y = 8e) y = 2x.
a) 50b) 90c) 120d) 130e) 220
40
a) 3b) 2c) 5d) 6e) 7 A C
B
D
Jeca 037
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta b) Resposta e)
Resposta d) Resposta a)
97 97
130) (Fuvest97-SP) ABC um tringulo retngulo em A e CX bissetriz do ngulo BCA, onde X ponto do lado AB. A medida de CX 4 cm e a de BC, 24 cm. Calcule a medida de AC.
131) (Fuvest97-SP) Considere um tringulo ABC tal que a altura BH seja interna ao tringulo e os n-gulos BAH e HBC sejam congruentes.a) Determine a medida do ngulo ABC.b) Calcule a medida de AC, sabendo que AB = 4 cm e a razo entre as reas dos tringulos ABH e BCH igual a 2.
Jeca 038
(GeoJeca)(GeoJeca)
RespostaAC = 3 cm
Respostasa) 90b) AC = 2 6 cm
Resposta Resposta
132) (Fuvest98-SP) Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2 , 0) e tangente circunferncia inscrita no quadrado de vrtices (1 , 1), (5 , 1), (5 , 5) e (1 , 5). Entoa) 0 < m < 1/3b) m = 1/3c) 1/3 < m < 1d) m = 1e) 1 < m < 5/3
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
y
x
133) (Fuvest98-SP) Qual das afirmaes abaixo verdadeira ?a) sen 210 < cos 210 < tg 210b) cos 210 < sen 210 < tg 210c) tg 210 < sen 210 < cos 210d) tg 210 < cos 210 < sen 210e) sen 210 < tg 210 < cos 210
134) (Fuvest98-SP) Nos tringulos retngulos da fi-gura, AC = 1 cm, BC = 7 cm, AD = BD. Sabendo que sen(a - b) = sen a . cos b - cos a . sen b, o valor de sen x a 2 / 2b) 7 / 50c) 3 / 5d) 4 / 5e) 1 / 50
x
A B
C
D
135) (Fuvest98-SP) A sequncia a uma P.A. es-ntritamente crescente, de termos positivos. Ento a
asequncia b = 3 , n > 1, umana) P.G. crescente.b) P.A. crescente.c) P.G. decrescente.d) P.A. decrescente.e) sequncia que no uma P.A. e no uma P.G.
n
98 98
98 98Jeca 039
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta c) Resposta b)
Resposta c) Resposta a)
136) (Fuvest98-SP) a) Dadas as retas paralelas r e s e um ponto A em r, construa um tringulo equiltero com um vrtice em A, outro vrtice em r e o terceiro vrtice em s.a) Descreva e justifique as construes feitas.
Ar
s
137) (Fuvest98-SP) Numa caixa em forma de parale-leppedo retorretngulo, de dimenses 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve ser tampada, coloca-se a maior es-fera que nela couber. O maior nmero de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa a) 1b) 2c) 4d) 6e) 8
138) (Fuvest98-SP) No quadriltero ABCD, temosAD = BC = 2 e o prolongamento desses lados forma um ngulo de 60.a) Indicando por A, B, C e D, respectivamente, as medidas dos ngulos internos do quadriltero de vr-tices A, B, C e D, calcule A + B e C + D.b) Sejam J o ponto mdio de DC, M o ponto mdio de AC e N o ponto mdio de BD. Calcule JM e JN.c) Calcule a medida do ngulo MJN.
A B
CD
139) (Fuvest98-SP) Considere um ngulo reto de vr-tice V e a bissetriz desse ngulo. Uma circunferncia de raio 1 tem o seu centro C nessa bissetriz tal que VC = x.a) Para que valores de x a circunferncia intercepta os lados do ngulo em exatamente 4 pontos ?b) Para que valores de x a circunferncia intercepta os lados do ngulo em exatamente 2 pontos ?
98 98
98 98Jeca 040
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta (construo) Resposta d)
Respostasa) A + B = 120 e C + D = 240b) JM = JN = 1c) MJN = 60
Respostasa) 1 < x < 2b) 0 < x < 1 ou x = 2
140) (Fuvest98-SP) Um quadrado est inscrito numa circunferncia de centro (1 , 2). Um dos vrtices do quadrado o ponto (-3 , -1). Determine os outros trs vrtices do quadrado.
141) (Fuvest98-SP) a) Expresse sen 3 em funo de sen .b) Resolva a inequao sen 3 > 2 sen , 0 < < pi.
142) (Fuvest99-SP) Uma reta passa pelo pontoP = (3 , 1) e tangente circunferncia de centro C = (1 , 1) e raio 1 num ponto T. Ento a medida do segmento PT :a) 3b) 2c) 5d) 6e) 7
143) (Fuvest99-SP) Na figura abaixo, as distncias dos pontos A e B reta r valem 2 e 4. As proje-es ortogonais de A e B sobre essa reta so os pontos C e D. Se a medida de CD 9, a que dis-tncia de C dever estar o ponto E, do segmento CD, para que CEA = DEB ?a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7 r
A
C
B
D
42
98 98
99 99Jeca 041
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta A(-3 , -1), B(4 , -2), C(5 , 5), D(-2 , 6)
Respostas2
a) sen .(3 - 4.sen )b) S = {0 < < pi/6 ou 5pi/6 < < pi}
Resposta a) Resposta a)
144) (Fuvest99-SP) Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paraleleppedo reto de altura 8 m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base en-contra-se uma pirmide slida reta de altura 8 m e ba-se quadrada com lado 6 m. O espao interior caixa e exterior pirmide preenchido com gua, at uma altura h, a partir da base (h < 8). Determine o volume da gua para um valor arbitrrio de h, sendo 0 < h < 8.
66
8
145) (Fuvest99-SP) Ache todas as solues da equa-o
3 3 sen x . cos x - 3 sen x . cos x = 0
no intervalo [0 , 2pi].
146) (Fuvest99-SP) Seja (a ) uma progresso geo-n2
mtrica de primeiro termo a = 1 e razo q , onde q 1 um nmero inteiro maior que 1. Seja (b ) uma nprogresso geomtrica cuja razo q. Sabe-se que a = b . Neste caso:11 17a) Determine o primeiro termo b em funo de q.1b) Existe algum valor de n para o qual a = b ?n nc) Que condio n e m devem satisfazer para que a = b ?n m
147) (Fuvest99-SP) a) Construa, com rgua e compasso, um trapzio ABCD, onde AB seja paralelo a CD, conhecendo-se os pontos A, M, N e I, que satisfazem as seguintes condies: M o ponto mdio do lado AD, N o ponto mdio de BC e I o ponto de intersec-o do segmento MN com a reta que passa por B e paralela a AD.
b) Descreva e justifique a construo feita.
A
M I N
99 99
99 99Jeca 042
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
RespostaV =gua
RespostaS = {0, pi/3, pi/2, 2pi/3, pi, 4pi/3, 3pi/2, 5pi/3, 2pi}
Respostas4
a) b = q1b) n = 5c) m = 2n - 5 Resposta (construo)
36h +33(8 - h)
16- 96 3( ) m
148) (Fuvest99-SP) Num tringulo retngulo ABC, seja D um ponto da hipotenusa AC tal que os ngu-los DAB e ABD tenham a mesma medida. Ento o valor de AD / DC a) 2b) 1 / 2c) 2d) 1 / 2e) 1
149) (Fuvest99-SP) Dois irmos herdaram um terre-no com a seguinte forma e medidas:
Para dividir o terreno em duas partes de mesma -rea, eles usaram uma reta perpendicular a AB. Para que a diviso seja feita corretamente, a distncia dessa reta ao ponto A, em metros, dever ser:a) 31b) 32c) 33d) 34e) 35
150) (Fuvest99-SP) O nmero de faces triangulares de uma pirmide 11. Pode-se, ento, afirmar que esta pirmide possuia) 33 vrtices e 22 arestas.b) 12 vrtices e 11 arestas.c) 22 vrtices e 11 arestas.d) 11 vrtices e 22 arestas.e) 12 vrtices e 22 arestas.
151) (Fuvest99-SP) Uma reta r determina, no pri-meiro quadrante do plano cartesiano, um tringulo issceles, cujos vrtices so a origem e os pontos on-de a reta intercepta os eixos Ox e Oy. Se a rea desse tringulo 18, a equao de r :a) x - y = 4b) x - y = 16c) x + y = 2d) x + y = 4e) x + y = 6
99 99
99 99
A B C
D EAD = 20 mAB = 60 mBC = 16 m
Jeca 043
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta e) Resposta d)
Resposta e) Resposta e)
152) (Fuvest99-SP) O permetro de um setor circular de raio R e ngulo central medindo radianos igual ao permetro de um quadrado de lado R. Ento igual aa) pi/3b) 2c) 1d) 2pi/3e) pi/2
153) (Fuvest99-SP) Se um ngulo tal que0 < < pi/2 e sen = a, ento tg(pi - ) igual a
2a) -a / 1 - a
2b) a / 1 - a2
c) 1 - a / a2d) - 1 - a / a2
e) - (1 + a ) / a
154) (Fuvest00-SP) Um trapzio retngulo tem ba-ses 5 e 2 e altura 4. O permetro desse trapzio :a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17
155) (Fuvest00-SP) Se (m + 2n , m - 4) e (2 - m , 2n) representam o mesmo ponto do plano
ncartesiano, ento m igual a:a) -2b) 0c) 2d) 1e) 1/2
99 99
00 00Jeca 044
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta c) Resposta b)
Resposta d) Resposta e)
156) (Fuvest00-SP) Na figura abaixo, ABCDE um pentgono regular. A medida, em graus, do ngulo :a) 32b) 34c) 36d) 38e) 40
A
B
C D
E
157) (Fuvest00-SP) Uma circunferncia passa pelos pontos (2 , 0), (2 , 4) e (0 , 4) . Logo, a distncia do centro dessa circunferncia origem :a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
158) (Fuvest00-SP) Sejam a, b, c trs nmeros estritamente positivos em progresso aritmtica. Se a rea do tringulo ABC, cujos vrtices so A = (-a , 0), B = (0 , b) e C = (c , 0) , igual a b, ento o valor de b :a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1
159) (Fuvest00-SP) Na figura seguinte, esto repre-sentados um quadrado de lado 4, uma de suas dia-gonais e uma semicircunferncia de raio 2. Ento a rea da regio hachurada :a) (pi/2) + 2b) pi + 2c) pi + 3d) pi + 4e) 2pi + 1
00 00
00 00Jeca 045
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta c) Resposta d)
Resposta e) Resposta b)
160) (Fuvest00-SP) No paraleleppedo retorretngu-lo da figura abaixo, sabe-se que AB = AD = a, AE = b e que M a interseco das diagonais da face ABFE. Se a medida de MC tambm igual a b, o valor de b ser:a) a 2b) a 3/2c) a 7/5d) a 3e) a 5/3
161) (Fuvest00-SP) Na figura, ABC um tringulo retngulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento DE paralelo a AB, F um ponto de AB e o seg-mento CF intercepta DE no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Assim, a rea do tringulo CDE :a) 16/3b) 35/6c) 39/8d) 40/9e) 70/9
162) (Fuvest00-SP) Na figura abaixo, ABC um tri-ngulo issceles e retngulo em A e PQRS um quadrado de lado 2 2 / 3 . Ento, a medida do lado AB :a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
163) (Fuvest00-SP) Na figura seguinte, E o ponto de interseco das diagonais do quadriltero ABCD e o ngulo agudo BEC. Se EA = 1, EB = 4,EC = 3 e ED = 2, ento a rea do quadriltero ABCD ser:a) 12 sen b) 8 sen c) 6 sen d) 10 cos e) 8 cos
A
B
C
D
E
F
G
H
M
A B
C
D E
F
G
A
B CP Q
RS
A
B
CD
E
00 00
00 00Jeca 046
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta e) Resposta d)
Resposta b) Resposta a)
164) (Fuvest00-SP) Considere os pontos A = ( -2 , 0 ), B = ( 2 , 0 ), C = ( 0 , 3 ) e P = ( 0 , ), com 0 < < 3. Pelo ponto P, traamos as trs retas paralelas aos lados do tringulo ABC.a) Determine, em funo de a, a rea da regio sombreada na figura.b) Para que valor de essa rea mxima ?
166) (Fuvest00-SP) Um setor circular, com ngulo central (0 < < 2pi), recortado de um crculo de papel de raio R (ver figura). Utilizando o restante do papel, construmos a superfcie lateral de um cone circular reto. Determine, em funo de R e ,a) o raio da base do cone.b) o volume do cone.
167) (Fuvest00-SP) No quadriltero ABCD da figu-ra abaixo, E um ponto sobre o lado AD tal que o ngulo ABE mede 60 e os ngulos EBC e BCD so retos. Sabe-se ainda que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD.
165) (Fuvest00-SP) Das regies sombreadas na se-quncia, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x , y), do plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades
:
x > 0y > 0x - y + 1 > 0
2 2x + y < 9 ,
x
y
x
ya) d)
x
y
x
yb) e)
x
yc)
y
x
A B
C
P
R
A
B C
DE
60
1
3
00 00
00 00Jeca 047
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta a)
Respostas
a)b) Resposta AD = 7
Respostas2
a) S = - + 2 + 3b) S para = 1mx
R(2pi - )2pir =
V =3 2R (2pi - ) (4pi - )
224pi
168) (Fuvest00-SP) Determine os nmeros reais x e y, com 0 < x + y < pi e 0 < y < pi , tais que
sen x . sen y = - 1/4
cos (x + y) + cos (x - y) = 3/2
169) (Fuvest00-SP) So dados os pontos A e B. Usando rgua e compasso, construa a circunferncia circunscrita a um polgono regular de 12 lados, que tem o segmento AB como um dos seus lados. Des-creva e justifique as construes utilizadas.
A
B
171) (Fuvest01-SP) O conjunto dos pontos (x , y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a
2 2equao (x + y + 1) (2x + 3y - 1) (3x - 2y + 3) = 0pode ser representado graficamente, por:
x
y
x
ya) d)
x
y
x
yb) e)
x
yc)
170) (Fuvest01-SP) Na figura abaixo, tm-se um cilindro circular reto, onde A e B so os centros das bases e C um ponto da interseco da superfcie lateral com a base inferior do cilindro. Se D o ponto do segmento BC, cujas distncias a AC e AB so ambas iguais a d, obtenha a razo entre o volume do cilindro e sua rea total (rea lateral somada com as reas das bases), em funo de d.
B
A C
00 00
01 01Jeca 048
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Respostasx = -pi/6 e y = pi/6
Resposta(construo)
Resposta
Resposta e)VAT =d2
172) (Fuvest01-SP) Um agricultor irriga uma de suas plantaes utilizando duas mquinas de irrigao. A primeira irriga uma regio retangular, de base 100 m e altura 20 m, e a segunda irriga uma regio compreendida entre duas circunferncias de centro O, e de raios 10 m e 30 m. A posio relativa dessas duas regies dada na figura onde A e B so os pontos mdios das alturas do retngulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O esto alinhados e que BO = 20 m, determine :a) a rea da interseco das regies irrigadas pelas mquinas;b) a rea total irrigada. Utilize as seguintes aproximaes : 2 = 1,41, pi = 3,14 e arcsen 1/3 = 0,340
173) (Fuvest01-SP) Na figura abaixo, os quadrados ABCD e EFGH tm, ambos, lado a e centro O. Se EP = 1, ento a :
a) 2 /( 2 - 1)b) 2 /( 3 - 1)c) 2 / 2d) 2e) 2 /( 2 - 1)
174) (Fuvest01-SP) Os vrtices de um tringulo ABC, no plano cartesiano, so A = (1 , 0) , B = (0 , 1) e C = (0 , 3 ). Ento, o ngulo BAC mede:a) 60b) 45c) 30d) 18e) 15
175) (Fuvest01-SP) No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo conseguir lanar uma bola de raio 8 o mais prximo possvel de uma bola menor, de raio 4. Num lanamento, um jogador con-seguiu fazer com que as duas bolas ficassem encos-tadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distncia entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o cho, :a) 8b) 6 2c) 8 2d) 4 3e) 6 3
A B O
A B
CD
E
F
G
H
P O1
A B
01 01
01 01Jeca 049
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Respostas2
a) 188 m2b) 4 324 m Resposta e)
Resposta e) Resposta c)
176) (Fuvest01-SP) Uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica tm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos so estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progresso aritmtica excede o segundo termo da progresso geomtrica em 2. Ento, o terceiro termo das progresses :a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18
177) (Fuvest01-SP) A elipse e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto mdio do segmento AB :a) (-2/3 , -1/3)b) (2/3 , -7/3)c) (1/3 , -6/3)d) (-1/3 , 1/3)e) (-1/4 , 1/2)
178) (Fuvest01-SP) Se tg = 2, ento o valor de :
a) -3b) -1/3c) 1/3d) 2/3e) 3/4
179) (Fuvest01-SP) Na figura abaixo, a reta r pa-ralela ao segmento AC, sendo E o ponto de inter-seco de r com a reta determinada por D e C. Se as reas dos tringulos ACE e ADC so 4 e 10, respectivamente, e a rea do quadriltero ABED 21, ento a rea do tringulo BCE :a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10
2x +
2y2 =
94
cos 21 + sen 2
A
B
C
D
Er
01 01
01 01Jeca 050
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta d) Resposta d)
Resposta b) Resposta b)
180) (Fuvest01-SP) O quadrado abaixo tem O como centro e M como ponto mdio de um de seus lados. Para cada ponto X pertencente aos lados do quadra-do, seja o ngulo MOX, medido em radianos, no sentido antihorrio. O grfico que melhor representa a distncia de O a X, em funo de , :
181) (Fuvest01-SP) Numa circunferncia, c o 1comprimento do arco de pi/6 radianos e c o com-2primento da secante determinada por este arco, co-mo ilustrado na figura abaixo. Ento, a razo c / c 1 2 igual a pi/6 multiplicado por:
a) 2b) 1 + 2 3c) 2 + 3d) 2 + 2 3e) 3 + 3
182) (Fuvest01-SP) Na figura abaixo, tem-se que AD = AE, CD = CF e BA = BC. Se o ngulo EDF mede 80, ento o ngulo ABC mede:a) 20b) 30c) 50d) 60e) 90
183) (Fuvest01-SP) A hipotenusa de um tringulo retngulo est contida na reta r : y = 5x - 13, e um de seus catetos est contido na reta s : y = x - 1. Se o vrtice onde est o ngulo reto um ponto da forma (k , 5) sobre a reta s, determinea) todos os vrtices do tringulo;b) a rea do tringulo.
a)pi 2pi
b)pi 2pi
c)pi 2pi
d)pi 2pi
e)pi 2pi
X
M
pi/6
c2c1
A C
B
E
F
D
80
01 01
01 01
O
Jeca 051
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta a) Resposta c)
Resposta a)
Respostasa) A(3 , 2), B(4 , 5) e C(11/3 , 16/3)b) S = 2/3
184) (Fuvest01-SP) a) Calcule cos 3 em funo de sen e cos .b) Calcule sen 3 em funo de sen e cos .c) Para 0 < < pi/2, resolva a equao:
185) (Fuvest01-SP) So dados os pontos A e B e um segmento contendo os pontos G, H e I. Sabe-se que A e B pertencem, respectivamente, s dia-gonais CE e DF de um quadrado CDEF, cujo cen-tro O. A distncia de A a O igual a GH e a me-dida do lado do quadrado igual a GI. Construa, u-sando rgual e compasso, um quadrado CDEF, sa-tisfazendo as condies acima. Descreva e justifi-que as construes utilizadas.
186) (Fuvest02-SP) Sejam A = (0 , 0), B = (8 , 0) e C = (-1 , 3) os vrtices de um tringulo e D = (u , v) um ponto do segmento BC. Sejam E o ponto de in-terseco de AB com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos y e F o ponto de interseco de AC com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos x.a) Determine, em funo de u, a rea do quadrilte-ro AEDF.b) Determine o valor de u para o qual a rea do qua-driltero AEDF mxima.
187) (Fuvest02-SP) O tringulo retngulo ABC, cu-jos catetos AC e AB medem 1 e 3, respectiva-mente, dobrado de tal forma que o vrtice C coin-cida com o ponto D do lado AB. Seja MN o seg-mento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que NDB reto, determine:a) o comprimento dos segmentos CN e CM;b) a rea do tringulo CMN.
2 sen + 12 cos + 1
sen 3sen
cos 3cos =
A
B
HG I
A B
C
M
N
D
01 01
02 02Jeca 052
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Respostas2 2
a) cos 3 = (cos - 3.sen ).cos 2 2b) sen 3 = (3.cos - sen ).sen
c) = pi/3Resposta(construo)
Respostasa) Sb) S para umx
Respostasa) x = 2/3b) S = 3 / 9
=
264 + 128u - 17u54
=12834
188) (Fuvest02-SP) Determine as solues da equa-o
2 2 2 (2 cos x + 3 sen x) (cos x - sen x) = 0que esto no intervalo [0 , 2pi].
189) (Fuvest02-SP) Na figura abaixo, as circunfern-cias C e C , de centros O e O , respectivamen-1 2 1 2te, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r tangente a C e C ; a reta s passa por O e O e 1 2 1 2 o ngulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C 4 , o de C 3 e que sen = 1/5, calcule:1 2a) a rea do quadriltero O QO P;1 2b) sen , onde = QO P.2
190) (Fuvest02-SP) So dados abaixo, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A vrtice de um paralelogramo ABCD; o lado AB est na reta s; M o ponto mdio do lado BC e o ngulo CB tem medida 30. Usando rgua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua cons-truo.
191) (Fuvest02-SP) Um bloco retangular (isto , um paraleleppedo retorretngulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura 20 3 cm, com 2/3 de seu volu-me cheio de gua, est inclinado sobre uma das a-restas da base, formando um ngulo de 30 com o solo (ver seo lateral abaixo). Determine a altura h do nvel da gua em relao ao solo.
C1
C2O1
O2
P
Qr
s
M
As
30
h
20
3
4
02 02
02 02Jeca 053
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
RespostaS = {pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4, 7pi/6, 11pi/6}
Respostasa) S = 12b) sen = 24/25
Resposta(construo)
Respostah = (30 + 3 / 2) cm
192) (Fuvest03-SP) Duas retas s e t do plano car-tesiano se interseptam no ponto (2 , 2). O produto de seus coeficientes angulares 1 e a reta s inter-septa o eixo dos y no ponto (0 , 3). A rea do trin-gulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t :a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
193) (Fuvest03-SP) Um telhado tem a forma da su-perfcie lateral de uma pirmide regular, de base qua-drada. O lado da base mede 8 m e a altura da pirmide 3 m. As telhas para cobrir esse telhado so
2vendidas em lotes que cobrem 1 m . Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiadas (que-bras e emendas), o nmero mnimo de lotes de te-lhas a ser comprado :a) 90b) 100c) 110d) 120e) 130
194) (Fuvest03-SP) No segmento AC, toma-se um ponto B de forma que
195) (Fuvest03-SP) No plano cartesiano, os compri-mentos de segmentos consecutivos da poligonal que comea na origem O e termina em B (ver figura), formam uma progresso geomtrica de razo p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos so sempre perpendiculares. Ento, se OA = 1, a abscis-sa x do ponto B = (x , y) vale:a)
b)
c)
d)
e)
ABAC =
2. BCAB
. Ento o valor de :BCAB
a) 1/2b) ( 3 - 1)/2c) 5 - 1d) ( 5 - 1)/2e) ( 5 - 1)/3
201 - p
121 - p41 - p
121 - p21 + p161 - p21 - p161 - p21 + p
41 - p
A
B
x
y
O
03 03
03 03Jeca 054
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta b) Resposta a)
Resposta b) Resposta d)
196) (Fuvest03-SP) O tringulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, est inscrito o retngulo DEFG, cuja base o dobro da altura. Nessas condi-es, a altura do retngulo, em funo de h e b, dada pela frmula:
197) (Fuvest03-SP) a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferncia C passa pelos pontos (1 , 0) e (3 , 0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r tangente a C ?b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a rea do tringulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de interseco de r com C.
198) (Fuvest03-SP) Na figura, M o ponto mdio da corda PQ da circunferncia e PQ = 8. O segmento RM perpendicular a PQ e RM = (4 3 )/3 . Calcule:a) O raio da circunferncia.b) A medida do ngulo POQ, onde O o centro da circunferncia.
199) (Fuvest03-SP) Na figura abaixo, as circunfern-cias tm centros A e B. O raio da maior 5/4 do raio da menor; P um ponto de interseco delas e a reta AQ tangente circunferncia menor no pon-to Q. Calcule:a) cos ABQb) cos ABPc) cos QBP
a)b)c)d)e)
2h + b
h + b
2(h + b)bh
bh
bhh + 2b
2bhh + bbh
A
B C
D
E F
G h
b
P
Q
M
R
B A
QP
03 03
03 03Jeca 055
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta d)
Respostasa) m = 3 / 3b)
Respostasa) R = 8 3 / 3b) PQ = 120
Respostasa) cos ABQ = 4/5b) cos ABP = 2/5c) cos QBP = (8 + 3 21 ) / 25
S =22m 4 - 3(m + 1)
2m + 1
0 < m < 3 / 3,
200) (Fuvest03-SP) No trapzio ABCD, M o pon-to mdio do lado AD ; N est sobre o lado BC e 2.BN = NC. Sabe-se que as reas dos quadrilteros ABNM e CDMN so iguais e que DC = 10. Calcule AB.
201) (Fuvest03-SP) Determine os valores de x no intervalo ]0 , 2pi[ para os quais cos x > 3 . sen x + 3 .
202) (Fuvest03-SP) Um cilindro oblquo tem raio das bases igual a 1, altura 2 3 e est inclinado de um ngulo de 60 (ver figura). O plano perpendicu-lar s bases do cilindro, passando por seus centros. Se P e A so os pontos representados na figura, calcule PA.
203) (Fuvest04-SP) Em uma semicircunferncia de centro C e raio R, inscreve-se um tringulo equil-tero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ngu-lo ACB intercepta a semicircunferncia. O compri-mento da corda AD :
A B
N
CD
M
60A
P
2 3
a)b) c)d) e)
R 2 - 3
R 3 - 2
R 2 - 1
R 3 - 1
R 3 - 2
C
A
D
B
03 03
04 04Jeca 056
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
RespostaAB = 20
RespostaS = {x E R | 3pi/2 < x < 11pi/6}
RespostaAP = 14 Resposta a)
204) (Fuvest04-SP) Um lateral L faz um lanamen-to para um atacante A, situado 32 m a sua frente em uma linha paralela lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetria retilnea, mas no paralela lateral e, quando passa pela linha de meio do campo, est a uma distncia de 12 m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo est mesma distncia dos dois jogadores, a distncia mnima que o atacante ter de percorrer para encontrar a trajetria da bola ser de:
205) (Fuvest04-SP) Duas irms receberam como herana um terreno na forma do quadriltero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordena-das. Elas pretendem divid-lo construindo uma cer-ca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a , 0). O valor de a para que se obtenha dois lotes de mesma rea :
206) (Fuvest04-SP) A pirmide de base retangular ABCD e vrtice E representada na figura tem volume 4. Se M o ponto mdio da aresta AB e V o ponto mdio da aresta EC, ento o volume da pirmide de base AMCD e vrtice V :a) 1b) 1,5c) 2d) 2,5e) 3
a) 18,8 mb) 19,2 mc) 19,6 md) 20,0 me) 20,4 m
L
A
12
32 m
a)b)c)d)e)
5 - 1
5 - 2 2
5 - 2
2 + 5
5 + 2 2
1
1 5A
D
C = (2 , 3)
Bx
y
A B
CD
E
M
V
207) (Fuvest04-SP) Uma metalrgica fabrica barris de dois tipos, A e B, cujas superfcies laterais so modadas a partir de chapas metlicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado abaixo. Se V e V indicam os volumes dos barris do A Btipo A e B, respectivamente, tem-se:a) V = 2 VA B b) V = 2 VB Ac) V = VA Bd) V = 4 VA Be) V = 4 VB A
a
2a
a
2a
tipoA
tipoB
04 04
04 04Jeca 057
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta b) Resposta b)
Resposta b) Resposta a)
208) (Fuvest04-SP) Trs cidades, A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distncia de B a C igual a dois teros da distncia de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e dis-tncia de 210 km de A. Sabendo-se que P est 20 km mais prximo de C do que de B, determinar a distncia que o morador de B dever percorrer at o ponto de encontro.
209) (Fuvest04-SP) Um tringulo ABC tem lados de comprimento AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM a bissetriz relati-va ao ngulo ACB e CN a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.
210) (Fuvest04-SP) A figura abaixo representa duas polias circulares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 1 2 1 2cm, apoiadas em uma superfcie plana em P e P , 1 2respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distncia entre os pon-tos P e P 3 3 cm, determinar o comprimento 1 2da correia.
211) (Fuvest04-SP) Na figura abaixo, os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo retngulo, sendo B o ngulo reto. Sabendo-se que A = (0 , 0) , B per-tence reta x - 2y = 0 e P = (3 , 4) o centro da cir-cunferncia inscrita no tringulo ABC, determinar as coordenadas a) do vrtice B.b) do vrtice C.
P1 P2
R1
R2
3 3 cm
4
3
x
PB
A
C
y
04 04
04 04Jeca 058
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
RespostaBP = 60 km
RespostaMN = 11/30
Respostac = 6 3 + (37pi/6)
Respostaa) B(6 , 3)b) C(2 , 11)
212) (Fuvest04-SP) Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferncias externas tem mesmo raio r e cada uma delas tangente a outras duas e circun-ferncia C. Se o raio de C igual a 2, determinara) o valor de r.b) a rea da regio hachurada.
213) (Fuvest04-SP) No slido S representado na fi-gura abaixo, a base ABCD um retngulo de lados AB = 2 e AD = ; as faces ABEF e DCEF so tra-pzios; as faces ADF e BCE so tringulos equil-teros e o segmento EF tem comprimento .Determinar, em funo de , o volume de S.
214) (Fuvest05-SP) Sabe-se que x = 1 raiz da equao
2 2(cos )x - (4cos . sen ) x + (3/2) sen = 0 , sendo e os ngulos agudos indicados no tringulo re-tngulo da figura abaixo. Pode-se ento afirmar que as medidas de e so, respectivamente,
215) (Fuvest05-SP) Na figura, ABC e CDE so tri-ngulos retngulos, AB = 1, BC = 3 e BE = 2 DE. Logo, a medida de AE
2
r
C
A B
CD
EF
a) pi/8 e 3pi/8b) pi/6 e pi/3c) pi/4 e pi/4d) pi/3 e pi/6e) 3pi/8 e pi/8
a)b)c)d)e)
23
25
27
211
213
A B
C
D
E
04 04
05 05Jeca 059
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Respostar = 2(1 + 2 )
Resposta3V = 2 / 4
Resposta b) Resposta c)
216) (Fuvest05-SP) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas distncia d (ver figura), assuma a forma de uma pa-rbola. Suponha tambm que (I) a altura mnima do fio ao solo seja igual a 2; (II) a altura do fio sobre um ponto do solo que dista d/4 de uma das colunas seja igual a h/2. Se h = 3d/8, ento d valea) 14b) 16c) 18d) 20e) 22
217) (Fuvest05-SP) A soma das distncias de um ponto interior de um tringulo equiltero aos seus la-dos 9. Assim, a medida do lado do tringulo a) 5 3b) 6 3c) 7 3d) 8 3e) 9 3
218) (Fuvest05-SP) A figura abaixo mostra uma pir-mide regular de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1. Sendo G o ponto mdio da altura EF e a medida do ngulo AGB, ento cos valea) 1/2b) 1/3c) 1/4d) 1/5e) 1/6
219) (Fuvest05-SP) Sejam a e b nmeros reais tais que: (I) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;
a b (II) 2 , 16 e 2 formam, nessa ordem, uma PG.Ento o valor de a a) 2/3b) 4/3c) 5/3d) 7/3e) 8/3
hh
d
A B
CD
E
F
G
05 05
05 05Jeca 060
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta b) Resposta b)
Resposta b) Resposta e)
220) (Fuvest05-SP) Na figura, ABCD um quadra-do de lado 1, DEB e CEA so arcos de circunfern-cias de raio 1. Logo, a rea da regio hachurada
221) (Fuvest05-SP) Uma sequncia de nmeros re-ais a , a , a , ... satisfaz lei de formao1 2 3 a = 6 a , se n mparn + 1 n a = a / 3 , se n par.n + 1 n Sabendo-se que a = 2 ,1a) escreva os oito primeiros termos da sequncia.b) determine a e a .37 38
222) (Fuvest05-SP) A figura representa duas circun-ferncias de raios R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamen-te no ponto D. Suponha que: a) As retas t e t so tangentes a ambas as cir-1 2cunferncias e interceptam-se no ponto C. b) A reta t tangente s circunferncias no ponto 2D. Calcule a rea do tringulo ABC, em funo dos raios R e r.
223) (Fuvest05-SP) Na figura abaixo, A, B e D so colineares e o valor da abscissa m do ponto C positivo. Sabendo-se que a rea do tringulo retn-gulo ABC 5/2, determine o valor de m.
a)b)c)d)e)
1 + 346pi
1 + 323pi
1 346
pi
1 + 323pi
1 34
pi3 A B
CD
E
A
B
C
D
t2
t1
y
x
C(m , 0)
B
A(2 , 0)
D(0 , -1)
05 05
05 05Jeca 061
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta c)
Respostasa) ( 2 , 2 / 3 , 2 2 , 2 2 / 3 , 4 2 , 4 2 / 3 , 8 2 , 8 2 / 3 )
18 18b) a = b = 2 2 e a = 2 2 / 337 19 38
RespostaS = (R + r) 2Rr / 4
Respostam = (5 2 + 4 ) / 2
224) (Fuvest05-SP) Na figura abaixo, as 12 circun-ferncias tm todas o mesmo raio r, cada uma tan-gente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do qua-drado tangencia quatro das circunferncias (ver figu-ra), e que o quadrado tem lado 2 7 , determine r.
225) (Fuvest05-SP) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0 , 2pi] que satisfazem a equao
2 2 cos 2x = (1/2) - sen x .
226) (Fuvest05-SP) A base ABCD da pirmide ABCDE um retngulo de lados AB = 4 e BC = 3. As reas dos tringulos ABE e CDE so, respecti-vamente, 4 10 e 2 37. Calcule o volume da pir-mide.
227) (Fuvest06-SP) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O nmero de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de verme-lho a) 24b) 26c) 28d) 30e) 32
A B
CD
E
05 05
05 06Jeca 062
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
RespostaR = 7 ( 2 - 1)
RespostaS = {pi/6, 5pi/6, 7pi/6, 11pi/6, pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4}
Resposta3V = 2 139 uc Resposta a)
228) (Fuvest06-SP) Na figura abaixo, a reta s pas-sa pelo ponto P e pelo centro da circunferncia de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Alm disso, a reta t passa por P, tangente circunferncia e forma um ngulo com a reta s. Se PQ = 2 R, ento cos vale
229) (Fuvest06-SP) Trs nmeros positivos, cuja so-ma 30, esto em progresso aritmtica. Soman-do-se, respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progresso aritm-tica, obtemos trs nmeros em progresso geom-trica. Ento, um dos termos da progresso aritmti-ca a) 9b) 11c) 12d) 13e) 15
230) (Fuvest06-SP) O conjunto dos pontos (x , y) do 2
plano cartesiano que satisfazem t - t - 6 = 0, onde t = x - y , consiste de
a) uma retab) duas retasc) quatro retasd) uma parbolae) duas parbolas
231) (Fuvest06-SP) Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD a) 17 / 12b) 19 / 12c) 23 / 12d) 25 / 12e) 29 / 12
a)b)c)d)e)
2 / 62 / 32 / 2
2 2 / 33 2 / 5
Q P
t
s
A
BC D
06 06
06 06Jeca 063
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta d) Resposta c)
Resposta b) Resposta e)
232) (Fuvest06-SP) Na figura abaixo, o tringulo ABC inscrito na circunferncia tem AB = AC. O n-gulo entre o lado AB e a altura do tringulo ABC em relao a BC . Nestas condies, o quociente entre a rea do tringulo ABC e a rea do crculo da figura dado, em funo de , pela expresso
2a) (2/pi) cos
2b) (2/pi) sen 22
c) (2/pi) sen 2 . cos d) (2/pi) sen . cos 2
2e) (2/pi) sen 2 . cos
233) (Fuvest06-SP) Um cone circular reto est ins-crito em um paraleleppedo retorretngulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razo b/a entre as dimenses do paraleleppedo 3/2 e o volume do cone pi. Ento, o comprimento g da geratriz do cone
234) (Fuvest06-SP) Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de 2 m por 2 m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padro quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado abaixo, ser repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faixa mostarda, de 5 cm de largura, ser bordada em toda a volta do tapete, como na figura.
A
BC
a) 5 b) 6c) 7d) 10e) 11
a
g b
a
Legenda de cores
A - marromB - mostardaC - verdeD - laranja
9
9
6 6 6
A
BCD
A
BCD
6 6 6
9
9
Padro
padro
padro padro
B
B
5
5
a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito acima, que pode ser bordado na tela ? Quantas vezes o padro ser repetido ?
2b) Se com um novelo de l pode-se bordar 400 cm , qual o nmero mnimo de novelos de l mostarda necessrio para confeccionar esse tapete ?
06 06
06Jeca 064
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta e) Resposta d)
Respostas2a) 190 x 190 cm , 100 vezes
b) 23 novelos
235) (Fuvest06-SP) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r perpendicular reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determi-ne o coeficiente angular de s se a rea do tringulo OBC for o triplo da rea do tringulo OAB.
236) (Fuvest06-SP) Na figura abaixo, O o centro da circunferncia de raio 1, a reta AB secante a ela, o ngulo mede 60 e sen = 3 / 4.a) Determine sen OAB em funo de AB.b) Calcule AB.
237) (Fuvest06-SP) Um torneiro mecnico dispe de uma pea de metal macia na forma de um cone cir-cular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele dever furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coin-cide com o eixo do cone. A broca perfurar a pea at atravess-la completamente, abrindo uma cavi-dade cilndrica, de modo a obter-se o slido da Figu-ra 2. Se a rea da base deste novo slido 2/3 da rea de B, determine seu volume.
238) (Fuvest06-SP) No paralelogramo ABCD abai-xo, tem-se que AD = 3 e DAB = 30. Alm disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e bissetriz do ngulo DAB.
a) Calcule AP.b) Determine AB sabendo que a rea do quadrilte-ro ABCP 21.
O A
B
AntesFigura 1
DepoisFigura 2
A B
CPD
06 06
06 06Jeca 065
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Respostam = 2 / 2
Respostasa) sen OAB = 3 / 4.ABb) AB = ( 13 + 1) / 6
Resposta3V = 320pi[(4 6 / 9) - 1] cm
Respostasa) x = 3 2 + 3b) AB = 31/2
239) (Fuvest07-SP) Na figura, OAB um setor cir-cular com centro em O, ABCD um retngulo e o segmento CD tangente em X ao arco de extre-mos A e B do setor circular. Se AB = 2 3 e AD = 1, ento a rea do setor OAB igual a
240) (Fuvest07-SP) A figura representa um retngu-lo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E est no segmento CD de maneira que CE = 1, e F o ponto de interseco da diagonal AC com o segmen-to BE. Ento a rea do tringulo BCF vale
241) (Fuvest07-SP) Uma folha de papel ABCD de formato retangular dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A ocupe a posio G, como mostra a figura. Se AE = 3 e BG = 1, ento a medida do segmento AF igual a
242) (Fuvest07-SP) O cubo de vrtices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M o ponto mdio da aresta AE, ento a distncia do ponto M ao centro do quadrado ABCD igual a
a) pi/3b) 2pi/3c) 4pi/3d) 5pi/3e) 7pi/3
A B
CD X
O
a) 6/5b) 5/4c) 4/3d) 7/5e) 3/2
A B
CD E
F
a)b)c)d)e)
A B
CD
E
F
G
3 52
7 58
3 54
3 55
53
a)b)c)d)e)
a 35
a 33
a 32
a 3
2a 3 A B
CD
E F
GH
M
07 07
07 07Jeca 066
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta c) Resposta b)
Resposta d) Resposta c)
243) (Fuvest07-SP) Uma empresa de construo dis-pe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo Y. Esses blocos tm as seguintes caractersticas: to-dos so cilindros retos, o bloco X tem 120 cm de al-tura e o bloco Y tem 150 cm de altura. A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as seguintes condies: cada coluna deve ser construda sobre-pondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem ter a mesma altura. Com o material disponvel, o n-mero mximo de colunas que podem ser construdas de
244) (Fuvest07-SP) Na figura abaixo, os segmentos AB e CD so paralelos, o ngulo OAB mede 120, AO = 3 e AB = 2. Sabendo-se ainda que a rea do tringulo OCD vale 600 3,
a) calcule a rea do tringulo OAB.b) determine OC e CD.
245) (Fuvest07-SP) Em uma progresso aritmticaa , a , ... , a , ... a soma dos n primeiros termos 1 2 n
2dada por S = bn + n , sendo b um nmero real. nSabendo-se que a = 7 , determine3
a) o valor de b e a razo da progresso aritmtica.b) o 20 termo da progresso.c) a soma dos 20 primeiros termos da progresso.
246) (Fuvest07-SP) A figura representa um trapzio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circun-ferncia cujo centro O est no interior do trapzio. Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3 2.
a) Determine a altura do trapzio.b) Calcule o raio da circunferncia na qual ele est inscrito.c) Calcule a rea da regio exterior ao trapzio e de-limitada pela circunferncia.
a) 55b) 56c) 57d) 58e) 59
tipo Ytipo X
A
B
C
D
O
A B
CD
O
07 07
07 07Jeca 067
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Resposta e)
Respostas2
a) S = 3 3 / 2 ucAOBb) OC = 60 uc e CD = 40 uc
Respostasa) b = 6/5b) a = 239/520c) S = 50020
Respostasa) h = 3 ucb) R = 5 uc
2c) S = (5pi - 9) uc
247) (Fuvest07-SP) Um arco x est no terceiro qua-drante do crculo trigonomtrico e verifica a equao
5 cos 2x + 3 sen x = 4 .
Determine os valores de sen x e cos x.
248) (Fuvest07-SP) Na figura abaixo, os pontos A , 1A , A , A , A e A so vrtices de um hexgono 2 3 4 5 6regular de lado 3 com centro na origem O de um sistema de coordenadas no plano. Os vrtices A e 1A pertencem ao eixo x. So dados tambm os 4pontos B = (2 , 0) e C = (0 , 1). Considere a reta que passa pela origem O e inter-secta o segmento BC no ponto P, de modo que os tringulos OPB e OPC tenham a mesma rea. Nessas condies, determinea) a equao da reta OP.b) os pontos de interseo da reta OP com o hex-gono.
249) (Fuvest07-SP) Um castelo est cercado por uma vala cujas bordas so dois crculos concntricos de raios 41 m e 45 m. A profundidade da vala cons-tante e igual a 3 m.
250) (Fuvest07-SP) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M est na ares-ta AE e AM = 3.ME . Calcule:
a) O volume do tetraedro BCGM.b) A rea do tringulo BCM.c) A distncia do ponto B reta suporte do segmen-to CM.
A1
A2A3
A4
A5 A6
y
x
3
B
C P
O
3 m
O proprietrio decidiu ench-la com gua e, para este fim, contratou caminhes-pipa, cujos reservat-rios so cilindros circulares retos com raio da base 1,5 m e altura igual a 8 m. Determine o nmero mnimo de caminhes-pipa necessrio para encher completa-mente a vala.
castelo
4 mSeo transversal da vala
A B
CD
E F
GH
M
07 07
07 07Jeca 068
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Respostasen x = -1/5 , cos x = -2 6 / 5
Respostasa) y = x/2b)
Resposta20 caminhes
Respostas3
a) V = a /62b) S = 5a /8
c) d = 5a 41 / 41
I ( , ) 1 6(6 - 3 )
116(6 - 3 )
22I ( , )
2 6(6 - 3 )11
6(6 - 3 )22
251) (Fuvest08-SP) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezvel) foi co-locado no solo, a uma certa distncia da torre, e emi-tiu um raio em direo ao ponto mais alto da torre. O ngulo determinado entre o raio e o solo foi de = pi/3 radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direo torre e o ngulo ento obtido foi de radianos, com tg = 3 3. correto afirmar que a altura da torre, em metros,
252) (Fuvest08-SP) A circunferncia dada pela equa-2 2o x + y - 4x - 4y + 4 = 0 tangente aos eixos
coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. O segmento MN paralelo ao segmento AB e contm o centro C da circunferncia. correto afirmar que a rea da regio hachurada vale
253) (Fuvest08-SP) Sabe-se que a progresso geo-mtrica a , a , a , ... que a > 0 e a = - 9 3 . 1 2 3 1 6Alm disso, a progresso geomtrica a , a , a , ... 1 5 9tem razo igual a 9. Nessas condies, o produto a . a vale2 7
254) (Fuvest08-SP) No retngulo ABCD da figura tem-se CD = l e AD = 2l. Alm disso, o ponto E pertence diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF perpendicular a BD. Sabendo que a rea do retngulo ABCD cinco vezes a rea do tringulo BEF, ento BF mede
a) 4 3b) 5 3c) 6 3d) 7 3e) 8 3
a) pi - 2b) pi + 2c) pi + 4d) pi + 6e) pi + 8
y
x
B
A
N
M
C
a) -27 3b) -3 3c) - 3d) 3 3e) 27 3
a) l 2 / 8b) l 2 / 4c) l 2 / 2d) 3l 2 / 4e) l 2
A
B C
D
E
F
2l
l
08 08
08 08Jeca 069
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Resposta c) Resposta b)
Resposta a) Resposta e)
255) (Fuvest08-SP) O tringulo ACD issceles de base CD e o segmento OA perpendicular ao pla-no que contm o tringulo OCD, conforme a figura. Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e sen OCD = 1/3, ento a rea do tringulo OCD vale
256) (Fuvest08-SP) No tringulo ABC, tem-se que A