Post on 05-Aug-2015
FUNGSI ELEMENTER
28. FUNGSI EKSPONENESIAL
Sebelum mengetahui lebih lanjut ( bagian 13 ), disini kita definisikn fungsi
eksponensial ez dapat ditulis
( 1 ) ex=ex e iy ( z=x+iy )
Dimana rumus sebslumnya ( lihat bagian 6 )
( 2 ) e iy=cos y+i sin y
Dan gunakan y untuk mendapatkan radians. Dari sini didapat definisi bahwa ez mengurangi
ke fungsi eksponensial yang biasa dalam kalkulus dimana y=0; dan beberapa penjelasan di
kalkulus, sering ditulis exp z untuk ez.
Catatan bahwa pada saat suku ke – n positif akar n√e dari e adalah untuk menentukan
ez dimana x=1n
(n=2 ,3 , … ), pernyataan ( 1 ) menceritakan bahwa fungsi eksponensial
komplek ez adalah juga. n√e dimana x=1n
(n=2 ,3 , … ). Kecuali untuk penjelasan ( bagian 8 )
bahwa biasanya mengharuskan untuk menggantikan e1n seperti kumpulan dari suku ke – n
akar dari e.
Sesuai dengan definisi ( 1 ), ex e iy=ex+iy ; dan titik – titik keluar di bagian 13, definisi
ini mengingatkan dari penyebab sifat
ex1 e
x2=ex1+x2
ex adalah merupakan perluasan dari sifat di kalkulus,
( 3 ) z1=x1+ iy1 dan z2=x2+ iy2
Maka
ez 1ez 2=(ex1 eiy 1 ) ( ex2 eiy 2)=(e x1 ex2 ) (e iy1 eiy 2 )
Tetapi x1 dan x2 keduanya real, dan kita mengetahuinya dari bagian 7, bahwa
e iy1 e iy2=ei ( y1+ y2)
Dari sini
ez 1ez 2=e ( x1+x2) ei ( y1+ y2) ;
Dan didapat
( x1+x2)+ i ( y1+ y2 )=( x1+i y1)+ ( x1+iy 2 )=z1+ z2
The right – hand terakhir karena dari pernyataan ez 1+z 2 . sifat ( 3 ) tidak dapat di tegakkan.
Bagaimana melihat sifat ( 3 ) memungkinkan untuk menulis ez 1−z2 ez2=ez1 , atau
( 4 ) ez1
ez2=ez1−z2
Dari sini dinyatakan fakta bahwa e0=1 , ini mengikuti bahwa 1
ez=e− z
.
Ada suatu bilangan dari sifat sebelumnya bahwa ez yang diharapkan. Sesuai dengan
contoh 1 bagian 21, untuk contoh,
( 5 ) ddz
ez=ez
Masing – masing dimana pada bidang z. Catatan bahwa perbedaan dari ez untuk semua z
menceritakan bahwa ez adalah seluruhnya ( bagian 23 ). Itu benar juga bahwa
( 6 ) ez ≠ 0 untuk sembarang bilangan komplek z
Ini jelas ditulis pada definisi ( 1 ) di bentuk
ez=0 e i∅ dimana 0=ex dan ∅= y
Yang mana menceritakan bahwa
( 7 ) |ez|=ex dan arg (e z )= y+2 nπ (n=0 , ±1 , ± 2, . . . )
Pernyataan ( 6 ) maka mengikuti pengamatan dari bagian |ez| adalah selalu positif.
Sementara sifat dari ez ini, bagaimanapun, tidak diharapkan. Untuk contoh, dimisalkan
ez+2πi=ez e2 πi dan e2πi=1
Kita tentukan bahwa ez adalah berkala, dengan teory periode imajiner 2 πi :
( 8 ) ez+2πi=ez
Menurut contoh illustrasi lainnya sifat dari ez bahwa ex tidak mempunyai . yaitu , saat
ex tidak pernah negative, maka nilai dari ez ada.
Contoh. Nilai di z ada, dari contoh, tunjukkan bahwa
( 9 ) ez=−1
Untuk menentukan , kita tulis persamaan ( 9 ) ex e iy=1e iπ. Maka , pandanglah dari pernyataan
dalam yang bercetak miring diawal bagian 8 mengenai persamaan dua bilangan komplek
nonzero dalam bilangan eksponensial ,
ex=1 dan y=π+2 nπ (n=0 , ±1 , ± 2, . . . )
Jadi ¿0 , dan kita tentukan bahwa
( 10 ) z=(2 n+1 ) πi (n=0 , ±1 , ± 2, … ).
29. FUNGSI LOGARITMA
Alasan untuk definisi dari fungsi logaritma adalah dasar memecahkan persamaan
ew=z (1)
Untuk w , dimana z adalah bilangan kompleks tidak nol, dengan ini dicatat dimana z dan w
dapat ditulis z=r e iθ (−π<θ ≤ π ) dan w=u+iv , persamaan (1) menjadi :
eu eiv=r e iθ
Pada pernyataan Italy di bagian 8 memiliki persamaan pada dua bilangan kompleks yang tepat
pada bentuk eksponen :
eu=r dan v=θ+2nπ
Dimana n adalah integer, dari persamaan ru=r adalah sama pada u=ln r, itu mengikuti
persamaan (1) adalah sesuai jika hanya jika w bernilai 1.
w=lnr+ (θ+2nπ ) n=(0 , ±1 , ± 2, … )
Sehingga dapat ditulis
log z=lnr+ (θ+2 nπ ) n=(0 , ±1 , ± 2, … ) (2)
Memiliki hubungan sederhana,
e log z=z z≠ 0 (3)
Dengan alasan yang sesuai pada persamaan (2) pada definisi (multiple-value) fungsi logaritma
dari bilangan kompleks tidak nol z=r e iθ.
Contoh 1.
Jika z=−1−√3 i , makar=2 danθ=−2π3
oleh karena itu,
log (−1−√3 i )=ln 2+ i(−2 π3
+2nπ )
¿ ln 2+2(n−13 ) πi n=(0 , ±1 , ± 2, … )
Jika diperjelas lebih lanjut hal itu adalah tidak benar pada ruas kanan dari persamaan (3)
dengan urutan dari eksponen dan fungsi logaritma mereduksi z, sangat jelas dipersamaan (2)
bisa ditulis :
log z=ln|z|+ iarg z
Dari bagian 28
|ez|=ex dan arg (e z )= y+2nπ n=(0 , ±1 , ± 2, … )
Dimana z=x+iy diketahui bahwa
log ( ez ) ln|ez|+ iarg (ez )=ln ( ex)+ i ( y+2 nπ )= (x+iy )+2 nπi
[n=(0 , ±1 , ±2 , … ) ]
Lalu,
log ( ez )=z+2nπi n=(0 , ±1 , ± 2, … ) (4)
Dengan nilai utama dari log z adalah nilai yang diperoleh dari persaman (2) saat n=0
ada dan ditandai dengan log z. Sehingga
log z , lalu,log z= lnr+ iθ (5)
Dengan catatan log z terdefinisi dengan baik dan single – value (nilai tunggal) dimana z≠ 0
dan kemudian,
log z=log z+2 nπi n=(0 , ±1 , ± 2, … ) (6)
Hal ini mengulang kembali sifat logaritma pada kalkulus dimana z adalah bilangan real positif
z=r dapat dilihat ini satu – satunya yang ditulis z=r e iθ yang mana dari persamaan (5)
menjadi
log z=lnr , kemudian log r=ln r
Contoh 2.
Dari pernyataan (2), ditemukan
log 1=ln 1+ i (0+2nπ )
¿2 nπi n=(0 , ±1 , ± 2, … )
Yng mana, log 1=0
Pada contoh terakhir ini mengingatkan kembali, walaupun tidak digunakan untuk
menemukan logaritma bilangan real negative pada kalkulus, kita dapat menggunakannya saat
ini.
Contoh 3
Diamati bahwa,
log (−1 )=ln 1+ i ( π+2nπ )
¿ (2 n+1 ) πi n=(0 , ±1 , ± 2, … )
Dan
log (−1 )=πi
31. Beberapa Ciri-Ciri Logaritma
Seperti hubungan dari persamaan (3) dan (4) dari subbab 29, seperti pada Latihan 3,
4, dan 5 pada subbab 30, beberapa identitas dari logaritma pada kalkulus kepada analisis
komplek dan beberapa lainnya yang bukan. Pada bab ini, akan kita turunkan beberapa
diantaranya. Pada subbab 32 dapat mengacu kepada hasil yang dibutuhkan.
Jika z1 dan z2 merupakan sembarang nilai komplek yang tidak nol, secara tidak
langsung menunjukkan bahwa
log ( z1 z2 )=log z1+ log z2
Pernyataan ini meliputi sebuah fungsi perkalian nilai, dengan jalan yang sama dengan
menggunakan pernyataan
arg ( z1 z2 )=arg z1+arg z2
Pada subbab. 7. Jika dua nilai pada tiga logaritma yang spesifik, maka ada nilai ke-tiga
logaritma sedemikian sehingga persamaan (1) dapat dijadikan acuan.
Pembuktian dari persamaan (1) dapat menjadi dasar persamaan (2). Karena
|z1 z2|=|z1|∨z2∨¿ dan karena moduli adalah semua nilai real positif, kita ketahui sebelumnya
dengan logaritma pada nilai-nilai dalam kalkulus
ln|z1 z2|=ln|z1|+ln∨z2∨¿
Persamaan diatas mengikuti dari persamaan (2), sehingga diperoleh
ln|z1 z2|+i arg ( z1 z2 )=( ln|z1|+iarg z1 )+¿
Akhirnya, karena dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (3) seperti persamaan (1).
Contoh.
Gambarkan persamaan (1), tulis z1=z2=−1 dan catat bahwa z1 z2=1. jika nilai
lo g z1=πi dan log z2=−πi, persamaan (1) memenuhi ketika nilai log ( z1 z2 )=0.
Amati bahwa, untuk nilai yang sama z1 dan z2,
(1)
(2)
(3)
log ( z1 z2 )=0 dan log z1+ log z2=2 πi
Verifikasi persamaan
log( z1
z2)=log z1−log z2 ,
Yang ditunjukkan pada persamaan (1).
Meliputi dua kelengkapan lainnya untuk log z pada Subbab. 32. Jika z adalah nilai komplek
tidak nol, maka
zn=en log z(n=0 , ± 1 ,± 2 , …)
Untuk sembarang nilai log z. Ketika n=1, berkurang, tentu, hubungan (3), subbab. 29.
Persamaan (5) dapat ditulis z=r e iθ dan masing-masing sisi menjadi rn e inθ.
Hal ini juga berlaku ketika z≠ 0
z1/n=exp ( 1n
log z) (n=1 ,2 , …) .
Dan nilai akar ke-n pada z. kita tulis z=r exp (iΘ), dimana Θ adalah nilai principal untuk arg
z. maka
exp ( 1n
log z)=exp[ 1n
ln r+i(Θ+2kπ )
n ] ,Dimana k=0 , ±1 , ± 2,… maka
exp ( 1n
log z)=n√r exp[ i(Θn
+ 2kπn )] (k=0 , ±1 , ±2 ,…) .
Karena exp ( i 2 kπn
) diperoleh nilai berbeda ketika k=0 ,1 ,... , n−1, pada persamaan (7) hanya
nilai n. sebuah gambaran untuk akar ke-n pada z, dan dapat ditulis z1/n. Dibangunnya
kelengkapan persamaan (6), benar-benar sah ketika n adalah negative integer juga.
(4)
(5)
(6)
(7)
32. Eksponen kompleks
Ketika zc ≠ 0 dan eksponen c adalah beberapa bilangan kompleks, fungsi zcdigambarkan dengan persamaan
zc¿ec log z
Ketika log z dinotasikan hasil perkalian fungsi logaritma. Persamaan (1) melengkapi definisi yang bersesusaian darizc di dalam pengertian bahwa hal ini telah diketahui menjadi benar.
(lihat bagian 31) ketika c=n(n=0 , ±1 , ±2 , …) dan c=1n
(n=± 1 , ±2 , …) definisi (1) ada, pada
kenyataannya mengusulkan dengan keterangan pilihan c
Contoh 1 . kuasa z ada, secara umum,hasil kalil, sebagai ilustrasi dengan menulis
i−21=exp ¿
Dan
log i=ln1+i( π2+2 nπ )=i(2n+ 1
2 ) π (n=0 , ±1 , ± 2, …)
Ini menunjukkan bahwa
i−21=exp ( 4n+1 ) π (n=0 ,± 1 , ±2 , …)
Perhatiakn bahwa hasil dari adalah semua bilangan real. Karena fungsi eksponensialnya mempunyai sifat, sekali lagi kita dapat memperlihatkan bahwa
1
zc= 1
exp¿¿¿
Dan , dalm kenyataan ini bahwa 1
i2 i=i−2 i
berdasarkan persamaan (2) , kemudian
1
i2 i=exp ( 4n+1 ) π (n=0 ,± 1 , ±2 ,…)
Jika z=r e iθdan αadalah bilangan real, cabang
log z=lnr+ iθr>0 , α <θ<α+2π
Dari fungsi logaritma adalah hasil satu-satunya dan analitik di daerah asal ditunjukkan (bagian 30). Ketika cabang itu digunakan, hal ini manunjukkan bahwa fungsi z=exp ( c log z )adalah satu-satunya hasil dan analitik di beberapa daerah asal yang sama. Turunan seperti cabang dari zc didirikan dengann terlebih dahulu menggunakan aturan rantai untuk menuliskan
ddz
zc= ddz
exp ¿
Dan kemudian memanggil kembali (bagian 29) identitasz=exp ( log z ). Hasil iut mengakibatkan
ddz
zc= ddz
exp ¿
Atau
ddz
zc=czc−1(|z|>0 , α <arg z<α+2 π )
Hasil utama dari zc terjadi ketika diganti dengan log zpada definisi (1)
P .V . zc¿ec log z
Persamaan (5) juga dapat mendefinisikan cabang utama dari funngsi zc di daerah asal .
Contoh 2. Hasil utama dari (−i)iadalah
exp¿¿
Itu adalah
P .V .(−i)i=expπ2
Contoh 3. Cabang utama dari dapat ditulis
exp¿¿
Lalu
P .V . z23=
3√r2 cos23+ 3√r2
sin23
Fungsi ini adalah analitik di daerah asal r>0 ,−π<¿ π dapat dilihat secara langsung dari teorema di bagian 22.
Berdasarkan definisi (1) fungsi eksponensial dengan pusat c, dimana c adalah bilangan bukan non konstanta kompleks, ditulis
P .V . z23=
3√r2 cos23+ 3√r2
sin23
Harus diperhatikan bahwa meskipun ezada, secara umum hasil kali berdasarkan definsi (8),
penafsiran secara umum dariez terjadi ketika hasil utama dari logaritma taken. Untuk hasil utama dari kesatuan
Ketiak hasil dari log c zseluruh fungsi z pada kenyataannya
ddz
c z= ddz
e z logc ¿ez log c log c
Dan ini menunjukan bahwa
ddz
c z=c z log c
33. Fungsi Trigonometri
Persamaan (sec.6) menjelaskan bahwa
e ix=cos x+i sin x dan e−ix=cos x−isin x
Pada setiap bilangan rill x, dan diikuti dari pertanyaan bahwa
e ix−e−ix=2i sin x dan e ix+e−ix=2cos x
Sehingga,
sin x= e ix−e−ix
2 i dancos x= e ix+e−ix
2
Oleh karena itu, secara alamiah untuk menetapkan sinus itu dan fugsi cosinus dari suatu
variabel kompleks z seperti berikut :
(1) sin z= e iz−e−iz
2i , cos z= e iz−e−iz
2
Fungsi itu adalah keseluruhan saat menggabungkan garis-garis lurus (latihan 3, bagian.24)
dari keseluruhan fungsi eiz
dan e−iz
. Diketahui turunannya dari fugsi eksponensial itu,
ditemukan dari pertanyaan (1) bahwa
(2)
ddz
sin z=cos z ,
ddz
cos z=−sin z .
Itu adalah mudah dengan melihat dari defenisi (1) bahwa
(3) −sin(−z )=−sin z dan cos (−z )=cos z
Dan suatu variasi identitas yang lain dari trigonometri adalah benar pada variabel kompleks.
Contoh. Tunjukkan bahwa
(4) 2 sin z1 cos z2=sin ( z1+z2)+sin ( z1+z2) ,
Gunakan defenisi (1) dan baik dari fungsi ekspoesial, pertama ditulis
2 sin z1 cos z2=2( e iz1−e−iz 1
2 i)( eiz 2−e−iz2
2)
Kemudian dilakukan perkalian untuk menghilangkan di sebelah kanan
( ei( z 1+z 2)−e−i( z 1+z 2)
2 i+ ei( z 1−z 2)−e−i( z1−iz2 )
2 i
Atau
sin( z1+z2 )+sin( z1+z2 );
Dan identik (4) yang tidak bisa dipungkiri
Idetik (4) dipelajari pada identitas (lihat latihan 3 dan 4)
(5) sin( z1+z2 )=sin z1cos z2+cos z1sin z2 ,
(6) cos ( z1+z2)=cos z1cos z2−sin z1sin z2 ,
Dan dari persamaan diatas ditujukkan bahwa
(7) sin2 z+cos2 z=1 ,
(8)sin 2 z=2sin z cos z , cos2 z=cos2 z−sin2 z ,
(9) sin( z+ π
2)=cos z , sin( z− π
2)=−cos z .
Ketika y adalah suatu bilangan rill, pertama dapat digiakan defenisi (1) dan fungsi hiperbola
sinh y= e y−e− y
2 dan cosh y= e y−e− y
2
Pada kalkulus dituliskan
(10) sin( iy )=i sinh y dan cos ( iy )=cosh y
Merupakan rill dan bagian imajiner dari sin z dan cos z kemudian diperlihatkan dengan mudah
degan menulis z1=x dan z2=iy pada identitas (5) dan (6):
(11) sin z=sin x cosh y+i cos x sinh y ,
(12) cos z=cos xcosh y−i sin x sinh y ,
Dimana z=x+iy .
Suatu bilangan dibutuhkan benar dari sin z dan cos z dengan mendekati dari ekspresi (11) dan
(12).sifat berkala dari fungsi itu, sebagai contoh, adalah jelas :
(13) sin( z+2 π )=sin z , sin( z+π )=−sin z ,
(14) cos ( z+2 π )=cos z , cos ( z+π )=−cos z .
Juga (lihat latihan 9)
(15) |sin z|2=sin2 x+sinh2 y ,
(16) |cos z|2=cos2 x+sinh2 y
Karena sinh y tak terbatas, ini benar dari dua persamaan sin z dan cos z adalah tidak
berbatas pada bidang kompleks, di mana nilai mutlak dari sin x dan cos x adalah kecil atau
sama dengan semua nilai pada x.(lihat definisi dari batas pada akhir bagian 17).
Nilai nol pada sebuah fungsi f ( z )merupakan nilai dari z0 sedemikian sehingga
f ( z0 )=0.karen a sin z merupakan fungsi sinus biasa dalam kalkulus di mana z adalah real,
diketahui bahwa nilai real z=nπ (n=0 ,± 1 , ±2 ,…) semuaqnya bernilai nol pada sin z. Untuk
menunjukkan bahwa tidak ada nilai nol yang lain, diasumsikan bahwa sin z=0 dan caranya
mengikuti dari persamaan (15) bahwa
sin2 x+sinh2 y=0
Jadi,
sin x=0dan sinh y=0
Dengan jelas, dimana x=nπ (n=0 ,± 1 , ±2 , …) dan y=0, sehingga
(17) sin z=0 jika dan hanya jika z=nπ (n=0 ,± 1 , ±2 ,…)
Karena
cos z=−sin(z− π2 )
Berdasarkan identitas (9) yang ke 2
(18) cos z=0 jika dan hanya jika z=π2+nπ (n=0 ,± 1 , ±2 ,…)
Jadi, ini merupakan keadaan yang sebenarnya dengan sin z, nilai nol pada cos z
semuanya real.
Empat fungsi trigonometri lainnya menegaskan hubungan dari fungsi sinus dan
cosinus dengan hubungan-hubungan:
(19) tan z= sin zcos z
,cot z=¿ cos zsin z
¿
(20) sec z= 1cos z
, csc z= 1sin z
Selidiki bahwa persamaan tan z dan sec z adalah analitik di mana-mana kecuali pada
keistimewaan (bagian 23)
z=π2+nπ (n=0 ,± 1 , ±2 ,…)
Di mana nilai nol pada cos z. Demikian juga, cot z dan csc z mempunyai
keistimewaan pada nol dari sin z, yakni
z=nπ (n=0 , ±1 , ± 2 ,… )
Dengan menurunkan persamaan sebelah kanan (19) dan (20), didapatkan rumus
turunan
(21) ddz
tan z=sec2 z ,ddz
cot z=−csc 2 z
(22) ddz
sec z=sec z tan z ,ddz
csc z=−csc zcot z
Kadangkala tiap fungsi trigonometri ditegaskan dengan persamaan (19) dan (20) ikut
dijelaskan dari persamaan (13) dan (14). Untuk contoh:
(23) tan (z+π )=tan z
Pemetaan properties dari transformasi w=sin z adalah sangat penting untuk aplikasi
selanjutnya. Saat belajar memilih properties cukup dengan membaca bagian 89 (chap 8), di
mana pemetaan tersebut didiskusikan.
34. Fungsi Hiperboliks
Fungsi hiperbolik sinus dan hiperbolik kosinus dari suatu variabel kompleks didifinisikan
sebagai dengan suatu variabel riil ; yaitu
(1)sinh z= ez−e−z
2, cosh z= ez+e−z
2
Karena ez dan e− zadalah fungsi lengkap, berdasarkan dari definisi ( 1) sinh z dan cosh z
adalah fungsi lengkap. Sedemikian sehingga,
(2) ddz
=sinh z=cosh z ,ddz
cosh z=sinh z
Karena cara yang digunakan oleh fungsi eksponensial ada pada definisi ( 1) dan dari definisi
( Bagian 33), maka
sin z= e iz−e−iz
2 i, cos z= e iz+e−iz
2
Dari sin z dan cos z, fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus saling berhubungan dengan
fungsi trigonometri, sehingga
(3)
(4)
−i sinh (iz )=sin z , cosh ( iz )=cos z ,
−i sin (iz )=sinh z , cos (iz )=cosh z .
Beberapa dari persamaan yang sering digunakan yang selalu menyertakan fungsi
hiperbolik sinus dan fungsi kosinus yaitu
(5) sinh (−z )=−sinh z , cosh (−z )=cosh z ,
(6) cosh2 z−sinh2 z=1 ,
(7) sinh ( z1+z2)=sinh z1cosh z2+cosh z1 sinh z2 ,
(8) cosh ( z1+z2 )=cosh z1 cosh z2+sinh z1sinh z2 ,
dan
(9) sinh z=sinh x cos y+i cosh x sin y ,
(10) cosh z=cosh xcos y+i sinh x sin y ,
(11) |sinh z|2=sinh2 x+sin2 y ,
(12) |cosh z|2=sinh2 x+cos2 y ,
dimana z=x+iy. Ketika persamaan ini mengikuti secara langsung dari definisi ( 1), dengan
mudah diperoleh dari hubungan persamaan trigonometri, dengan bantuan dari persamaan (3)
dan (4).
contoh
Untuk menggambarkan cara dari pembuktian yang tepat, misalkan dengan menggunakan
persamaan (11). Berdasarkan persamaan (4), |sinh z|2=|sin ( iz )|2. Yaitu
(13) |sinh z|2=|sin (− y+ix )|2 ,
Dimana z=x+iy. Dari persamaan (15), pada bagian 33, kita ketahui bahwa
|sin ( x+iy )|2=sin2 x+sinh2 y ;
dan ini memungkinkan kita untuk menuliskan persamaan (13) ke dalam bentuk persamaan
(11).
Maksud dari sin z dan cos z , mengikuti hubungan persamaan (4) bahwa sinh z dan
cosh z adalah periodik dengan periode 2 πi. Persamaan (4) juga menyatakan bahwa
(14) sinh z=0 jika dan hanya jika z=nπi (n=0 ,± 1 , ±2 ,⋯ ) .
dan
(15)cosh z=0 jika dan hanya jika z=( π
2+nπ ) i (n=0 , ±1 , ±2 ,⋯ ) .
Fungsi hiperbolik tangen dari z didefinisikan oleh persamaan
(16) tanh z= sinh zcosh z
dan analitik di setiap daerah di mana cosh z≠ 0. Fungsi coth z , sech z , dan csch z adalah
kebalikan dari tanh z , cosh z , dan sinh z. Secara langsung mengikuti rumus turunan, yang
mana sama dengan yang ditetapkan pada Kalkulus dari fungsi yang bersesuaian dengan
variabel riil :
(17) ddz
tanh z=sech2 z ,ddz
coth z=−csch2 z ,
(18) ddz
sech z=−sech z tan z ,ddz
csch z=−csch z coth z .