MHD’15 - FTJ: 0 J. Bautista, G. López

Joaquín Bautista, Guillermo López

Fundamentos de Teoría de Juegos - Parte I

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA – BARCELONATECH

Modelos y Herramientas de Decisión – Máster Universitario de Ingeniería de Organización - ETSEIB

OPE – ORGANIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y DE EMPRESA (ASPECTOS TÉCNICOS, JURÍDICOS Y ECONÓMICOS EN PRODUCCIÓN )

OPE-PROTHIUS – OPE-MSc.2015/04 (20150301) - http://futur.upc.edu/OPE - www.prothius.com - Departamento de Organización de Empresas – UPC

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§  Definición de juego

§  Componentes de un juego

§  Formas de representación

§  Tipos de juegos

§  Juegos de suma nula

§  Definición

§  Formas extendida y normal

§  Utilidades del Jugador

§  Estrategias y Dominancias

§  Valor del Juego

Contenido

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Introducción

§ Definición de juego:

Se entiende por juego como cualquier situación de conflicto o de negociación.

La Teoría de Juegos trata de dar soluciones a dichas situaciones

Aplicaciones:

•  Juegos de ocio: ajedrez, póquer, damas, dominó, …

•  Situación político-social: convenios colectivos, pactos, …

•  Decisión de negocio: competencia, fusiones, coaliciones, …

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Componentes de un juego

§ Elementos que forman parte de un juego:

•  Dos o más jugadores: Sólo veremos juegos de dos jugadores. Normalmente, a largo plazo, la mayoría de juegos se acaban transformando en juegos de dos jugadores cuando aparecen alianzas.

•  Acciones o movimientos: Llegados a un punto en que hay que escoger, la acción es la decisión que se toma.

•  Estrategias: Representa la acción que se va a tomar en todos los casos posibles que nos podamos encontrar en un juego. Existe una estrategia para cada jugador.

•  Pagos: A cada situación terminal se le asocia una utilidad para cada uno de los jugadores. Si existe el azar, puede incluir la esperanza matemática.

•  Conjuntos de información: Es un estado en el que hay que tomar una decisión, una acción, partiendo todos con la misma información. Si existe azar o no existe información completa, existen los conjuntos de información.

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Ejemplo 1. Enunciado

§ Ejemplo 1: Juego de pares o nones

Dos jugadores, J1 y J2. Cada jugador saca ‘x’ dedos y se suma el número total de dedos enseñado por los dos jugadores.

-  Si la suma es par, gana el J1.

-  Si la suma es impar, gana el J2.

Utilidad del ganador: 1 um.

Utilidad del perdedor: -1 um.

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Representación en forma extendida del juego

§ Ejemplo 1: Juego de pares o nones

•  Forma extendida del juego:

IIII

J1

IP

(1,-1)(-1,1) (-1,1)(1,-1)

IPIP

I

J2

Decide J1

Decide J2

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Representación en forma normal del juego

§ Ejemplo 1: Juego de pares o nones

•  Forma normal del juego*:

*Nota: Preferible en juegos de pequeño tamaño, con pocas estrategias.

J2

P I

J1 P (1,-1) (-1,1)

I (-1,1) (1,-1)

Estrategias J2 Es

trat

egia

s J1

Pagos

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Tipos de juegos (1)

§ Según el número de jugadores:

Todo análisis con 2 jugadores es diferente al análisis con ‘n’ jugadores.

§ Según los pagos:

•  Suma nula: Juegos en los que uno gana lo que el otro pierde.

•  Suma constante: Juegos en que hay una cantidad a repartir; todos pueden ganar.

•  Suma no nula (Cooperativos): Juegos en los que lo que gana un jugador no es lo que pierde el otro.

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Tipos de juegos (2)

§ Según la información:

•  Juegos de información completa: Juegos en los que todos los jugadores lo saben todo (Ajedrez).

•  Juegos de información incompleta: Juegos en los que no todos los jugadores lo saben todo (Pares y nones).

§ Según el azar: •  Juegos con azar: Póker.

•  Juegos sin azar: Ajedrez, pares y nones, …

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Ejemplo 2. Enunciado

§ Ejemplo 2: Póker simplificado (Juego de dos personas de suma nula)

Dos jugadores, J1 y J2. Juegan con una baraja con infinitas cartas, de las cuales la mitad son ases (A) y la otra mitad son reyes (K).

Los jugadores ponen 1 $ como apuesta cada uno. El crupier extiende una carta a cada jugador y ambos la miran. J1 puede apostar 2 $ o pasar. Si J1 decide pasar, J2 se queda con el bote. Pero si J1 decide apostar, J2 puede apostar 2 $ o pasar. Si J2 pasa, J1 se queda el dinero. Si los dos deciden apostar, gana el que tenga la carta más alta y en caso de empate se reparten el bote.

Estrategias de los jugadores: - Apostar siempre (AA) “Apostar/Apostar” - No apostar nunca (PP) “Pasar/Pasar” - Apostar con A y no con K (AP) “Apostar/Pasar” - No apostar con A y sí con K (PA) “Pasar/Apostar”

/ (Apostar con AS / Pasar con K)

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II

A/KA/A

IIII

K/KK/A

Apostar Pasar Apostar Pasar Apostar Pasar Apostar Pasar

Cartas repartida a J1 / Carta repartida a jugador 2

Juegos de suma nula. Forma extendida (1)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Forma extendida del juego: Vértice de azar. Nos dan

una carta al azar.

ACCIONES DE J1

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Juegos de suma nula. Forma extendida (2)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Forma extendida del juego:

II

(-1,1)(-1,1)

2$2$

IIII

(-1,1)(-1,1)

2$2$

III IIIIV IV

A/KA/A K/KK/A

Apostar Pasar Apostar Pasar Apostar Pasar Apostar Pasar

Vértice de azar. Nos dan una carta al azar.

Jugador 1 apuesta 2 $

Jugador 1 pasa

ACCIONES DE J2

Resultado si Jugador 1 pasa (J1 pierde 1, J2 gana 1)

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Juegos de suma nula. Forma extendida (3)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Forma extendida del juego:

II

(-1,1)(-1,1)

2$2$

IIII

(-1,1)(-1,1)

2$2$

III IIIIV IV

(1,-1)(0,0)

2$

(1,-1)(3,-3)

2$

(1,-1)(-3,3)

2$

(1,-1)(0,0)

2$

A/KA/A K/KK/A

Vértice de azar. Nos dan una carta al azar.

Jugador 2 apuesta 2 $

Jugador 2 pasa

ACCIONES DE J1

ACCIONES DE J2

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Juegos de suma nula. Forma extendida (4)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Forma extendida del juego:

II

(-1,1)(-1,1)

2$2$

IIII

(-1,1)(-1,1)

2$2$

III IIIIV IV

(1,-1)(0,0)

2$

(1,-1)(3,-3)

2$

(1,-1)(-3,3)

2$

(1,-1)(0,0)

2$

A/KA/A K/KK/A

Ex aequo J1 gana 3, J2 pierde 3

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Juegos de suma nula. Forma normal

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Forma normal del juego:

Tabla con utilidades de J1

J2 A/A A/P P/A P/P

J1

A/A 0 -1/4 5/4 1

A/P 1/4 -1/4 2/4 0

P/A -5/4 -1 -1/4 0

P/P -1 -1 -1 -1

II

(-1,1)(-1,1)

2$2$

IIII

(-1,1)(-1,1)

2$2$

III IIIIV IV

(1,-1)(0,0)

2$

(1,-1)(3,-3)

2$

(1,-1)(-3,3)

2$

(1,-1)(0,0)

2$

A/KA/A K/KK/A

En caso de AS / En caso de K Utilidad = 0.25·(-1) + 0.25·(-1) + 0.25·(-3) + 0.25·0 = -5/4

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Juegos de suma nula. Utilidades

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Forma normal del juego:

Tabla con utilidades de J1

J2 A/A A/P P/A P/P

J1

A/A 0 -1/4 5/4 1

A/P 1/4 -1/4 2/4 0

P/A -5/4 -1 -1/4 0

P/P -1 -1 -1 -1

II

(-1,1)(-1,1)

2$2$

IIII

(-1,1)(-1,1)

2$2$

III IIIIV IV

(1,-1)(0,0)

2$

(1,-1)(3,-3)

2$

(1,-1)(-3,3)

2$

(1,-1)(0,0)

2$

A/KA/A K/KK/A

En caso de AS / En caso de K Utilidad = 0.25·1 + 0.25·3 + 0.25·(-1) + 0.25·(-1) = 2/4

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Juegos de suma nula. Dominancia entre estrategias (1)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Dominancias Jugador J2 en tabla de utilidades Jugador J1:

J2

AA AP PA PP

J1

AA 0 -1/4 5/4 1

AP 1/4 -1/4 2/4 0

PA -5/4 -1 -1/4 0

PP -1 -1 -1 -1

Dominancias: Estrategias de J2. 3 domina a 1

Todas las utilidades en AP son menores o iguales que en PP, por tanto, se elimina columna PP

3 1

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Juegos de suma nula. Dominancia entre estrategias (2)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Dominancias Jugador J2 en tabla de utilidades Jugador J1:

J2

AA AP PA PP

J1

AA 0 -1/4 5/4 1

AP 1/4 -1/4 2/4 0

PA -5/4 -1 -1/4 0

PP -1 -1 -1 -1

Dominancias: 3 domina a 2

Todas las utilidades en AP son menores o iguales que en PA, por tanto, se elimina columna PA

3 2 1

MHD’15 - FTJ: 18 J. Bautista, G. López

Juegos de suma nula. Dominancia entre estrategias (3)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Dominancias Jugador J2 en tabla de utilidades Jugador J1:

J2

AA AP PA PP

J1

AA 0 -1/4 5/4 1

AP 1/4 -1/4 2/4 0

PA -5/4 -1 -1/4 0

PP -1 -1 -1 -1

Dominancias: 3 no domina a 4 4 no domina a 3 No todas las utilidades en AP son menores o iguales que en AA y viceversa.

4 3 2 1

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Juegos de suma nula. Dominancia entre estrategias (4)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Dominancias Jugador J1 en tabla de utilidades Jugador J1:

J2

AA AP PA PP

J1

AA 0 -1/4 5/4 1

AP 1/4 -1/4 2/4 0

PA -5/4 -1 -1/4 0

PP -1 -1 -1 -1

Dominancias: Estrategias de J1 7 domina a 5 Todas las utilidades en AP de J1 son mayores o iguales que en PP, por tanto, se elimina fila PP

2 1

5

7

3 4

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Juegos de suma nula. Dominancia entre estrategias (5)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Dominancias:

J2

AA AP PA PP

J1

AA 0 -1/4 5/4 1

AP 1/4 -1/4 2/4 0

PA -5/4 -1 -1/4 0

PP -1 -1 -1 -1

Dominancias: Estrategias de J1. 7 domina a 6 Todas las utilidades en AP son mayores o iguales que en PA, por tanto, se elimina fila PA

4 3 2

5

6

7

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Juegos de suma nula. Dominancia entre estrategias (6)

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Dominancias:

J2

AA AP PA PP

J1

AA 0 -1/4 5/4 1

AP 1/4 -1/4 2/4 0

PA -5/4 -1 -1/4 0

PP -1 -1 -1 -1

Dominancias: Estrategias de J1 7 domina a 8 en las estrategias de J2: AA y AP. Si sólo se considera la estrategia ganadora de J2 (AP), las estrategias AA y AP de J1 son igualmente efectivas.

2 1

5 6

7

8

3 4

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Juegos de suma nula. Valor del Juego

§ Ejemplo 2: Póker simplificado

•  Dominancias:

Dominancias J2: 3 domina a 1 y 2

Dominancias J1: 7 domina a 5 y 6

Dominancias parciales de J2:

AP domina a AA

Dominancias parciales de J1:

AP domina a AA Valor del juego: -1/4

J1 perderá en promedio 1/4 $

J2

AA AP PA PP

J1

AA 0 -1/4 5/4 1

AP 1/4 -1/4 2/4 0

PA -5/4 -1 -1/4 0

PP -1 -1 -1 -1

2 1

5 6

7

8

3 4

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Juegos de suma nula. Punto de silla

§ Punto de silla:

En el caso de que no existan más dominancias y las estrategias no conformen un solo valor, se debe buscar el punto de silla.

Diremos que se da un punto de silla cuando existe una pareja de estrategias tal que si cualquiera de los jugadores abandona esa estrategia sale perdiendo. Si esta situación se da, se dice que el punto de silla se ha alcanzado a través de la racionalidad de los jugadores.