Post on 15-Jan-2015
FUNCION CUADRATICA
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
y
O
DE LAS PARABOLAS…
Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura, o en el diario vivir etc.
FUNCION CUADRATICA
Definición. Se llama función cuadrática a una función polinómica de variable real, que tiene grado
dos. La función cuadrática tiene la forma:
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales,
es decir que Df = IR
IRa, b y c
Representación gráfica
La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y.
Esta parábola se abre hacia arriba si a> 0, y se dice que es cóncava hacia arriba.
Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = 2x2 + 3x – 1 es:
Los coeficientes a y c
“a” indica la Concavidad (abertura de la parábola), siendo mas angosta en la gráfica cuando “a” es paulatinamente mayor.
La concavidad de la parábola es hacia arriba cuando “a” es positivo, y hacia abajo cuando “a” es negativo.
“c” indica la intersección de la parábola con el eje Y.
Eje de simetría La curva llamada parábola, que
corresponde a la gráfica de una función cuadrática, es simétrica con respecto a una recta que es paralela al eje y, esta recta recibe el nombre de Eje de Simetría y para determinar su valor reemplazamos las variables en la expresión…
Y
0
Vértice
Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia arriba (a >0) tendremos un punto mínimo llamado vértice.
Si es cóncava hacia abajo (a<0) el vértice será el punto máximo de la gráfica.
El vértice es un par ordenado (x,y) en donde x es el eje de simetría, e y se obtiene evaluando la función con el eje de simetría.
●V
●V
Discriminante El estudio de discriminante Δ =b2-4ac cuyos factores
son de la Ec.Cuadrática nos señalará que: Si Δ>0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 tiene dos
soluciones reales: la gráfica interseca en dos puntos al eje x.
Si Δ=0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 tiene una única solución real: la gráfica interseca en un punto al eje x.
Si Δ<0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 no tiene soluciones reales: la gráfica no interseca el eje x
Raíces de la función cuadrática
Para determinar los puntos de intersección de la función cuadrática (parábola) con el eje X se usa la siguiente fórmula:
O También
2 4
2
b b acx
a
En donde a, b y c son las variables de la función cuadrática.
● ●
X1X2
Estudio de la función
Corte con el eje y La función corta el eje y en el punto y
= f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):
lo que resulta: la función corta el eje y en el punto (0,
c), siendo c el termino independiente de la función.
Corte con el eje x La función corta al eje x cuando y vale 0, dada
la función:
tendremos que:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:
CORTE EJE Y (X=0)
(0,C)
●
● ●
X1X2
Veamos por ejemplo la función:
que cortara el eje x cuando:
a = -1; b= 4 y c = 5
que tendrá por solución general:
que resulta:
operando:
Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la
figura.
Ejemplo: Función cuadrática: y = 2x2 – 5 x + 1
x
y
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-4
-2
0
2
4
6
8
10
F(0)=
¿Nº de soluciones o cortes en eje X? b2 4 a c = 0 1 intersección
¿En dónde corta la curva al eje X?
22 0 5 0 1
1
Corte en eje Y, en (0,1)
Δ=
a=2 b= -5 c= 1 reemplazando
Apliquemos…
2
1
2
2 ( 5) 4 2 1
2 2
2 17
4
2 17
4
2 17
4
x
x
x
x
Estos son los puntos de intersección de la curva con el eje X
Eje de Simetría:
Reemplazando…( 5)
2 25
4
x
x
Vértice: Valorizamos la función para x= 5/4
F(5/4)= 2
5 52 5 14 4
25 252 116 417
8
Luego V(5/4,-17/8)
Por lo tanto en la función y = 2x2 – 5 x + 1
Intersecciones a. eje Y: A(0,1)
b. eje X:
2 17( ,0)
4
2 17( ,0)
4
A
B
c. Vértice de la parábola: V(5/4,-17/8)
x
y
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Intenta analizar las siguientes funciones y grafica cada una de ellas.
1. f(x) = x2- 6x + 9
2. f(x) = x2+6x+8
3. f(x) = -x2+2x+8
4. f(x) = 2x2+x-6
Mientras tanto en el 4º …
¡… ESTOS ALUMNOS SI QUE PIENSAN…!
“Lento pero
seguro…”¿o NO?
Veamos las respuestas…
Función1. a) Intersección eje Y: A(0,9) b) Intersección eje X: B(3,0), B(3,0) c) Eje de simetría: x=3 d) Vértice: V(3,0)
GRACIAS POR TU ATENCION
Lic. Pérez Melo 2010