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8/18/2019 FUNÇÃO CARACTERÍSTICA-Aula08
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FUNÇÃO CARACTERÍSTICA
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Função Característica
A função característica de uma !a! X "
de#nida como$
Assim %ara todo
&ara ari'eis a(eat)rias discretas a funçãocaracterística da !a! X " dada %or$
( ) ∫ +∞
∞−==Φ .)()( dx x f ee E X
jx jX
X
ω ω
ω
,1)0( =Φ X 1)( ≤Φ ω X .ω
∑ ==Φk
jk
X k X P e ).()( ω ω
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.2
1 )(
2
1
) que tal (fazendo
2
1
2
1
)(fazendo 2
1)(
)2/(
2/
2
2/
2/))((
2
22
)2(2/
2
2/
2
2/)(
2
222222
222
2222
22
ω σ µω σ ω σ µω
σ ω σ ω σ µω
ω σ σ µω σ ω µω
σ µ ω
πσ ω
πσ
ω σ ω σ
πσ πσ
µ πσ
ω
−∞+
∞−
−−
∞+
∞−
−+−
∞+
∞−
−−∞+
∞−
−
∞+
∞−
−−
==Φ
=
+==−
==
=−=Φ
∫ ∫
∫ ∫
∫
ju j X
ju ju j
j y y j y y j j
x x j X
edueee
duee
ju yu j y
dyeedyeee
y xdxee
Se X " uma ari'e( a(eat)ria -aussiana comm"dia .ero e ari/ncia a funçãocaracterística " dada %or$
,2
1)(
22 2/
2
σ
πσ
x
X
e x f −=.)( 2/22ω σ
ω −=Φ e X
ão característica de uma !a! 0aussiana 1 ),,( 2σ µ N X
,σ 2
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a(eat)ria " tam,"m c2amada de função0eradora de momentos! &ara i(ustrar esta%ro%riedade3 considere a re%resentação em
s"rie de
Tomando4se a %rimeira deriada com re(ação aω 3 no %onto
Simi(armente3 %ara a se0unda deriada
( )
.!
)(
!2
)(
)(1
!
)(
!
)()(
22
2
00
+++++=
=
==Φ ∑∑
∞
=
∞
=
k k
k
k
k k
k
k
k jX
X
k
X E
j
X E
j X jE
k
X E j
k
X j E e E
ω ω ω
ω ω
ω ω
.)(1
)(or)()(
00 == ∂
Φ∂
==∂
Φ∂
ω ω ω
ω
ω
ω X X
j X E X jE
,)(1
)(0
2
2
2
2
=∂
Φ∂
= ω ω
ω X
j X E
)(ωΦ X
0=ω
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Re%etindo este %rocedimento k e.es o,t"m4seo k-ésimo momento de X, ou se5a$
C'(cu(o da m"dia e da ari/ncia de uma !a! X com distri,uição de &oisson! ∼
.1 ,)(1
)(
0
≥∂
Φ∂=
=
k
j
X E k
X
k
k
k
ω ω
ω
,)( ω λ λ λ ω ω ω je X jeee j−=∂Φ∂
).( λ P X )1()( −=Φ ω λ ω
je
X e
λ ω ω
ω =∂Φ∂= =0
)(1)( X j
X E
( ) ,)()( 222
2ω λ ω λ λ λ λ
ω
ω ω ω je je X e je jeee j j
+=∂Φ∂ −
λ λ λ λ ω
ω
ω
+=+=∂Φ∂
==
2222
2
0
2
2
2
2 )(1)(1
)( j j j j
X E X
λ λ λ λ E(X) ) E(X σ =−+=−= 222226as3
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+ari'e( a(eat)ria com distri,uição ,inomia(
Função característica$
1)()( −+=
∂Φ∂ n j j X q pe jnpe ω ω ω
ω
n j
X q pe )()( +=Φ ω ω
np j
X E X =∂
Φ∂==0
)(1)(
ω ω ω
( )22122
2
)()1()()( −− +−++=
∂
Φ∂ n j jn j j X q pe penq peenp j ω ω ω ω
ω
ω
( ) .)1(1)(1
)( 22
0
2
2
2
2 npq pn pnnp j
X E X +=−+=∂Φ∂
==ω
ω
ω
.)()(
2222222
npq pnnpq pn X E X E X =−+=−=σ
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Em a(0uns casos3 a m"dia e a ari/ncia %odenão e*istir! &or e*em%(o3 considere uma !a! deCauc27$
,)/(
)(22 x
x f X +
=α
π α
∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞− ∞=
+−=+=
22
2
22
22
,1)( dx xdx x
x
X E α
α
π
α
α π
α
.)(
22∫ ∞+
∞− += dx
x
x X E
α π
α Aa(iando o (ado direito da inte0r
.
0 22
∫
∞+
+ dx x
x
α θ α tan= xfa.endo
,
2
coslogcoslog
cos
)(cos
cos
sinsec
sec
tan
2/
0
2/
0
2/
0
2
0
2/
0 2222
−∞=−=−=−=
==+
∫
∫ ∫ ∫ ∞+
π θ
θ
θ
θ θ
θ θ θ α
θ α
θ α
α
π π
π π
d
d d dx x
x
Como as inte0rais não coner0em a m"dia e aari/ncia são inde#nidas!Ser' isto em se0uida um (imitante 8ue estima a
dis%ersão da !a! centrado em torno da m"dia!
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Desigualdade de Chebychev
Considere um intera(o de (ar0ura 9ε
simetricamente centrado em torno da m"dia µ com mostrado na #0ura! :ua( " a %ro,a,i(idadede X ser encontrado fora deste intera(o;
Ou se5a
Tomando4se a de#nição de ari/ncia
( ) ? || ε µ ≥− X P µ ε 2
ε µ − ε µ + X
X
[ ]
( ) .||)()(
)()()()()(
2
||
2
||
2
||
2
222
ε µ ε ε ε
µ µ µ σ
ε µ ε µ
ε µ
≥−≥≥≥
−≥−=−=
∫ ∫
∫ ∫
≥−≥−
≥−
∞+
∞−
X P dx x f dx x f
dx x f xdx x f x X E
x X
x X
x
X X
nto$
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O,sere 8ue3 %ara ca(cu(ar a %ro,a,i(idade3não 2' necessidade de se con2ecer
f X (x)! > necess'rio con2ecer somente a
ari/ncia da !a! X. Em %articu(ar3 seentão$
( ) ,||2
2
ε
σ ε µ ≤≥− X P
,2σ
( ) .1
||2k
k X P ≤≥− σ µ
,kσ ε =
Se k=3, a %ro,a,i(idade da !a! X serencontrada fora do intera(o ?σ em torno desua m"dia " de @3 %ara 8ua(8uer !a!O,iamente 8ue este (imite não dee ser
ri0oroso 8uando se inc(ui todas as !a!Bs ! &ore*em%(o %ara uma !a! 0aussiana com
tem4se$
)1,0( == σ µ
( ) .0027.03|| =≥ σ X P