Post on 24-Oct-2020
1
Fourierov spektar signala
22/100/100
Fourierov red
Složeni periodički signal :
može se aproksimirati trigonometrijskim polinomom:
odnosno sumom eksponencijala.Za realni kompleksne amplitude su konjugirane.
)(~ tx
),(~)(~ nTtxtx += ZZ∈n
,)(~ 1ntjN
Nneatx
ω
−∑= ZZ∈nsinteza:
33/100/100
Fourierov red (nastavak)
nn jnn
jnnnn eAaeAaaa
ϕ−ϕ− ===
** , ;
Odatle izlazi Fourierov koeficient an
)()(~ 11 ntjjntjjnn eeeeAtx nnω−ϕ−ωϕ +=
)cos(2)(~ 1 nnn ntAtx ϕ+ω=
Koeficijenti an Fourierovog reda obično se određuju tako da se gornji red pomnoži s
i integrira u osnovnom periodu T.tjne 1ω−
][)(~12/
2/
1 nXdtetxT
aT
T
tjnn == ∫
−
ω−analiza:
44/100/100
Svojstva Fourierovog Reda
∑ ω= tjnenXtx 0][)(~
][)(~ nXtx ↔ )()(~ 0ω↔ nXtx Tπ
=ω2
0
)()()(~)(~ 00 ω+ω↔+ nbVnaUtvbtua
][][)(~)(~ nbVnaUtvbtua +↔+0( ) [ ] jnx t X n e ω ττ+ ↔
][)( 0 mnXetx tjm +↔ω
55/100/100
Svojstva Fourierovog Reda (nastavak)
cirkularna konvolucija
][][)(~*)(~1)(~ nGnFtgtfT
ty ⋅↔=
)(~)(~][*][][ tgtfnGnFnY ⋅↔=
vudtvtuT
tyT
T
~*~)(~)(~1)(~2/
2/
↔ττ−⋅= ∫−
)(~)(~][*][][ tvtunVnUnY ⋅↔=
∑∫∞+
−∞=−
==n
T
T
nXdttxT
P 22/
2/
2 ][)(~1
66/100/100
∫−
ω−ω
⎩⎨⎧
≠=
=2/
2/ ,0 ,
11
T
T
tjmtjn
nmnmT
dtee
Napisano općenito za vremenski kontinuirane i diskretne signale / 2
*
/ 2
, ( ) ( )
0,
T
n mT
T m nt t dt
m nϕ ϕ
−
=⎧= ⎨ ≠⎩
∫
Elementarni signali u Fourierovom redu su ekspo-nencijale, koje zadovoljavaju uvjet ortogonalnosti
Poopćenje Fourierovog reda
⎩⎨⎧
≠=
=ϕϕ∑−
nmnmK
kk nK
mn ,0 ,
)()(1
0
*
2
77/100/100
Pri predstavljanju složenih signala linearnom kombinacijom elementarnih signala, često se upotrebljavaju ortogonalne funkcije.
∑=
ϕ=N
nnn tatx
0
)(~)( ∑=
ϕ=N
nnn kakx
0
][~][ili
Koeficijenti an mogu se odrediti na temelju minimalne greške aproksimacije. Pogodna karakterizacija greške je integral ili suma kvadrata greške u danom intervalu.
∑ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∑ ϕ−
−=ε
=
2
1
2
121
][][1k
k
N
nnn kakxkk
Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)88/100/100
Nađimo optimalne koeficijente a1 i a2 traženjem minimuma greške
0 ,021
=∂ε∂=
∂ε∂
aa[ ]{
[ ] }222112211
2
][][
][][][2][
kaka
kakakxkxk
ϕ+ϕ+
+ϕ+ϕ−=ε ∑
Pri kvadriranju sumacije otpadaju miješani članovi zbog ortogonalnosti, tako da izlaze uvjeti ekstrema:
Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)
99/100/100
Odakle izlaze optimalni koeficijenti a1 i a2
2
222
22
1
121
11
][][][
][][][
Kkkkx
a
Kkkkx
a
α=ϕϕ
=
α=
ϕϕ
=
∑∑∑∑
0][2][][2
0][2][][22222
2111
=ϕ+ϕ−
=ϕ+ϕ−
kakkx
kakkx
Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)1010/100/100
Kvadratna greška aproksimacije konačnom sumom do N
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α−+
−=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϕ−ϕ+
−=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϕ−
−=ε
∑∑∑
∑ ∑∑
∑ ∑=
nnn
nnn
k
k
k
k nnn
nnn
k
k
N
nnn
aKakxkk
kaxakxkk
kakxkk
2][1
][2][1
][][1
22
12
222
12
2
112
2
1
2
1
2
1
Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)
1111/100/100
ako nadopunimo desne članove s
n
n
n
nnnn KK
aKa22
22 2 α−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ α+α−
n
n
K
2α+
funkcija kvadrat
n
n
n
nnn KK
Ka22 α
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α−izlazi
Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)1212/100/100
∑∑ α−=εn n
n
k Kkx
22 ][
odnosno zbog
∑∑ −=εN
nn
k
k
Kakx1
222
1
][
kako su sumandi nenegativni može se zaključiti da s većim N greške aproksimacije su sve manje.
Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)
nnnn KaK22 / =α
Budući da za optimalne koeficijente vrijedinajmanja greška je dana snnn Ka /α=
3
1313/100/100
∑k
kx ][2Kad N raste bez granica suma ()
konvergira sumi
∑n
nn Ka2
što predstavlja
U tom slučaju vrijedi
∑∑ ==
N
nn
K
k
Kakx1
2
1
2 ][
što je generalizirani oblik Parsevalove relacije.
Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)
energiju signala.
1414/100/100
Ako vrijedi za neki niz x[k] kaže se da suma
∑ ϕn
nn ka ][ u prosjeku konvergira nizu x[k].
Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)
1515/100/100
Vremenski diskretni Fourierov red (DFT)
Uzmimo periodičan niz za koji vrijedi
Kao kod kontinuiranog periodičnog signala može se razložiti na sumu periodičkih sinusoida ili eksponencijala frekvencija koje su cjelobrojni višekratnici osnovne 2π/N
],[~][~ Nrkxkx += ZZ∈r
2 2 [ ][ ] [ ]
nj kn j k rNN N
n ng k e e g k rNπ π
+= = = +
1616/100/100
Vremenski diskretni Fourierov red (DFT) (nastavak)
Budući da su eksponencijale diskretne najviša frekvencija koja se može jednoznačno predstaviti je s n=N-1. Sve ostale n≥N mogu se naći među onima iz intervala [0, N-1]. Među svim eksponencijalama perioda N mogu se dakle naći samo N različitih
110 ,,, −Nggg K
K ],[][],[][:jer 110 kgkgkgkg NN +==
1717/100/100
Periodičan niz ][~ kx dakle se može predstavitis N diskretnih eksponencijala
∑−
=
π
=1
0
2
][~N
n
nkN
j
neakx
Optimalni koeficijenti koji osiguravaju minimum sume kvadrata greške mogu se dobiti iz općeg izraza za razlaganje signala na ortogonalne nizove.
Vremenski diskretni Fourierov red (DFT) (nastavak)
1818/100/100
Optimalni koeficijenti su:
21 1*
0 01
*
0
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
nkN N jN
n
n N
n n
x n k x k ea X n
Nk k
π
ϕ
ϕ ϕ
− − −
−= = =∑ ∑
∑%
Vremenski diskretni Fourierov red (DFT) (nastavak)
4
1919/100/100
Kako se vidi niz koeficijenata an je također periodičan niz tj.s periodom N:
][~ nXaa Nnn == +2 / 2 / 2 / .j kn N j krN N j kn Ne e eπ π π⋅ =
Vremenski diskretni Fourierov red (DFT) (nastavak)
Koeficijent 1/N se nekad pridružuje izrazu za .
čine par izraza koji se nazivaju diskretnom Fourierovom transformacijom (DFT)
∑−
=
π
=1
0
2
][~][~N
n
nkN
jenXkx
21
0
1[ ] [ ] ;nkN j
NX n x k eN
π− −= ∑% %
DFT povezuje N uzoraka jednog perioda periodičkog signala s N uzoraka periodičkog spektra.
][~ kx
2020/100/100
Suma kvadrata greški VDFR-a ili DTFT-a se može dobiti iz općeg izraza () i
⎩⎨⎧
≠=
=∑−
=
−π
mnmnN
eN
k
mnkN
j
,0 ,1
0
)(2
.0][1
0
21
0
2 ∑∑−
=
−
=
=−=εN
nn
N
kNakx
Vremenski diskretni Fourierov red (DFT) (nastavak)
NKn =
Pogreška aproksimacije
2121/100/100
∑∑−
=
−
=
π−==
1
0
1
0
2
][][][N
k
nkN
k
Nnkj
WkxekxnX
21 1
0 0
[ ] [ ] [ ]nkN Nj nkN
n n
x k X n e X n Wπ− −
−
= =
= =∑ ∑
.2N
jeW
π−=
Vremenski diskretni Fourierov red (DFT) (nastavak)
2222/100/100
Izvan područja n∈[0, N-1] se nizovi signala i spektra ponavljaju.Izraz [k-i]modN znači da [k-i] treba dijeliti s N i sačuvati samo ostatak.Da bi se preko cirkularne konvolucije stiglo na linearnu trebat će nadopuniti impulsima oba niza tako da period bude jednak dužini linearnekonvolucije.Za slučaj dužine sekvencije M i N linearnakonvolucija će biti dužine M+N-1.
Periodičnost niza i periodičnost spektra
2323/100/100
Odziv sustava kao linearna konvolucija traži više multiplikacija nego pretvorba u spektar oba signala pobude i odziva na uzorak množenjem spektara i inverzijom.
Periodičnost niza i periodičnost spektra (nastavak)2424/100/100
Linearnost
Svojstva DTFS (DFT)
Nkij
enXNikxπ−
↔−2
][~}mod][~{Posmak
][~][~]}[~][~{DTFS nVbnUakvbkua +=+
Konvolucija cirkularna
][~][~][~mod][~1
0
nVnUivNikuN
i
⋅↔−∑−
=
∑∑−
=
−
=
=1
0
21
0
2 ][~][~N
n
N
k
nXkx
Parseval
5
2525/100/100
Vremenski diskretna Fourierovatransformacija
Jednostavan prijelaz iz Fourierovih redova u transformaciju može se dobiti prikazom aperiodičkog signala kao graničnog slučaja periodičkog signala kad period ponavljanja teži u beskonačnost.
2626/100/100
Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)
⎩⎨⎧
≥
≤≤=
KkKkKkx
kx ,0
- ],[~][
Pretpostavimo da je aperiodički signal dan jed-nim periodom signala , koji je periodičan s N.
][kx][~ kx
12 += KN
2727/100/100
][~lim][ kxkxK ∞→
=
Kad K raste, razmak između sekcija signala se povećava, te za K→∞ replike se udaljavaju u beskonačnost.
Vremenski Diskretni Fourierov red periodičkog niza je:][~ kx
∑−=
π
=K
Kn
Nknj
enXkx2
][~][~21[ ] [ ]
knK jN
k K
X n x k eN
π−
=−
= ∑% %
Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)
2828/100/100
2
2
1[ ] [ ]
1 [ ]
nkK jN
k K
nkjN
k
X n x k eN
x k eN
π
π
−
=−
∞ −
=−∞
= =
=
∑
∑
Budući da je za iza izlazi
KkK ≤≤−][~][ kxkx =Kk >0][ =kx
je periodičan s N. Spektralni uzorci su s razmakom
][nX0/2 ω=π N
Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)
2929/100/100
Slika prikazuje uzorke spektra i njihovu ovojnicu, koja je periodična s 2π. Za veći N uzorci postaju sve gušći.
Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)
3030/100/100
∑∞
−∞=
ω−ω
ω=ω
ω
=
=
k
kjj
nj
ekxeX
eXN
nX
][)(
)(1][0
Zamislimo da tom nizu uzoraka na slici spektra odredimo normiranu ovojnicu kontinuiranu periodičku funkciju, tako da vrijedi
∑∞
−∞=
ω−
ω=ω
ω =k
kjnn
j ekxeX 00
][)(
Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)
6
3131/100/100
nkjK
Kn
nj
nkjK
Kn
nj
eeXkx
eeXN
kx
00
00
)(2
][
)(1][~
0 ω+
−=
ω
ω+
−=
ω
∑
∑
πω
=
=
Sad se periodički spektar može izraziti s normiranom ovojnicom
Utjecaj graničnog prijelaza N→∞ je da smanjuje razmak ω0 između komponenti spektra
Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)
./20 Nπ=ω
3232/100/100
U sumaciji imamo vrijednosti množene sa širinom . Sumacija je pravokutna aproksimacija integrala.
kjkj eeX 00 )( ωω ⋅N/20 π=ω
∫π
π−
ωω ω⋅π
= deeXkx kjj )(21][
Kad , a suma prelazi u integral
00 ,,, ω=ωω=ω∞→ dkKN
Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)
3333/100/100
∑∞
−∞=
ω−ω ⋅=k
kjj ekxeX ][)(
pa zajedno sa integralom čini par koji se naziva vremenski diskretnom Fourierovom transfor-macijom VDFT (engl. Discrete Time FourierTransform DTFT).
Time smo dobili aperiodički niz kao superpoziciju eksponencijala ili sinusoida. Težinska funkcija je spektar
][kx
Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)
3434/100/100
Uvjet da aperiodički niz ima DTFT je da njegova sumacija apsolutno konvergira
.][ ∞
7
3737/100/100
Fourierova transformacija
Upotrebljava se za predstavljanje aperiodskih signala superpozicijom eksponencijala ili sinusoida.Može se izvesti iz Fourierovog reda, tako da se aperiodski signal dobije kao granični slučaj periodičnog signala, čiji period ide u beskonačnost. Slično kao kod DTFT
⎩⎨⎧
>
≤≤=
2/ ,02/2/- ),(~
)(Tt
TtTtxtx )(~lim)( txtx
T ∞→=
3838/100/100
Fourierova transformacija (nastavak)
Harmonijske komponente postaju guste,pa dobivamo iz sume integral:
∫
∫∞
∞−
ω−
∞
∞−
ω
⋅=ω
ω⋅ωπ
=
dtetxjX
dejXtx
tj
tj
)()(
)(21)(
3939/100/100
Fourierov spektar signalaSpektar signala napisan u pravokutnom obliku sa svojim realnim i imaginarnim dijelom
)()()( ω+ω=ω jjXjXjX ir
napisan u polarnom obliku sa svojim amplitudnim i faznim spektrom
)()()( ωϕω=ω jejXjX
)(sin)()( ,)()()(
)(cos)()( ),()(
ωϕω=ωωω
=ωϕ
ωϕω=ωω=ω
AXXXarctg
AXAjX
ir
i
r
4040/100/100
Da bi signal imao Fourierovu transformaciju mora zadovoljavati neke uvjete:
∞
<=
2/ za ,02/ za ,1
)(TtTt
trC
=ω
=⋅==ω−
ω−
−
ω−∞+
∞−
ω− ∫∫2/
2/
2/
2/
1)()(T
T
tjT
T
tjtjCC j
edtedtetrR
/ 2 / 2 sin( / 2) sinc ( / 2)( / 2)
j T j Te e TT T Tj T
ω ω ω ωω ω
− −= = =
Fourierov spektar signala (nastavak)
8
4343/100/100
Trokutni puls:
⎩⎨⎧
>
≤−=
TtTtTtt
tur za ,0 za ,/
)( )2/( sinc)( 2 TTTR ω=ω
Fourierov spektar signala (nastavak)4444/100/100
Tada je:
Simetrija FT među varijablama t i omogućuju lagano određivanje odnosa između signala i spektra.Ako je:
ω
↔ )()( ωjXtx
↔ )(2)( ω−πxjtX
Dokaz slijedi iz izraza za i zamjenom )(tx −∞→t
Fourierov spektar signala (nastavak)
4545/100/100
Kako smo ranije rekli sustav je skup operacija na ulaznom signalu da bi se dobio izlazni signal.Na temelju dosadašnjeg zaključujemo da se integralno vladanje sustava može odrediti iz njegovog odziva na impuls (KS) ili uzorak (DS) ili pak iz frekvencijske karakteristike.Prema tome za linearne sustave imamo jošdva matematička modela.
Prolaz signala kroz linearan sustav4646/100/100
Za razliku od mjerenja parametara sustava opisanog diferencijalnim jednadžbama, mjerenje impulsnog odziva ili frekvencijske karakteristike je dosta jednostavno.
Odziv na impuls ili na sinus pobudu
4747/100/100
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω=
aX
aatx 1)(
)()( ω↔ Xtx
)(2)( ω−π↔ xtX)()()()( ω+ω↔+ bVaUtbvtau
0)()( 0tjeXttx ω−ω↔−
)()( ω↔ Xtx
)()( ω↔Hth)()(* ω⋅ω↔ HXhx)(*)( ωω↔⋅ HXhx
vrem. domena frekv. domena
linearnost FT
simetrija
kompresija expom
konvolucija u VD
konvolucija u FD
vremenski pomak
Svojstva FT:4848/100/100
)()( ωω↔ Xjdt
xd nn
n
ωω
↔−d
dXtjtx )()(
∫∞+
∞−
ΘΘ↔−
dXjttx )()(
)()( 00 ω−ω↔ω Xetx tj
vrem. domena frekv. domena
frekvencijski pomak
vremenska derivacija
)()0()()( ωδπ+ωω↔ττ∫
∞+
∞−
Xj
Xdxvremenska integracija
frekvencijska derivacija
frekvencijska integracija
)()( ω−↔− Xtxvremenska inverzija
Svojstva FT (nastavak):
9
4949/100/100
)]()([cos 00 ω+ωδ+ω−ωδπ↔ωt
1)( ↔δ tvrem. domena frekv. domenaTransformacije:
)(21 ωπδ↔
)]()([sin 00 ω−ωδ−ω+ωδπ↔ω jt
π↔
jt 2sgn
ω+ωπδ↔
jtu 1)()(
∑∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
ω ω−ωδπ↔=n
nn
tjnn nXeXtx )(2)( 11
5050/100/100vrem. domena frekv. domena
)(2 00 ω−ωπδ↔ω tje
∑∑ ω−ωδω↔−δnk
nkTt )()( 00T/20 π=ω
nn jt )()()( ω↔δ
22ω
−↔t
)(2 )( ωδπ↔ nnn jt
Transformacije
(nastavak):
5151/100/100periodički signal
∑∞
−∞=
ω=n
tjnenXtx 0~
][)(
aperiodički signalFourierov red Fourierova transformacija
∫ ω−= Ttjn dtetx
TnX 0
~)(1][
x(t) ima period T Tπ=ω 2~ 0
VD
FD
Vremenski diskretan Fourierov red Vremenski diskretna Fourierovatransformacija
diskretni spektar kontinuirani spektarVD-vremenska domena FD-frekvencijska domena
Četiri oblika Fourier-ovog predstavljanja signala
kont
inui
rani
sig
nali
disk
retn
i sig
nali
aper
iodičk
ispe
ktar
perio
dičk
i spe
ktar∑
=
ω=Nn
kjnenXkx 0][][
∑=
ω−=Nk
kjnN ekxnX 0][][ 1
x(k) i X[n] imaju period N N
π=ω 20 X(ejω) ima period 2π
∫∞
∞−
ω ωωπ
= ~)~(21)( ~ dejXtx tj
∫∞
∞−
ω−=ω dtetxjX tj~)()~(
∫π
π−
ωω ωπ
= deeXkx kjj )(21][
∑∞
−∞=
ω−ω =k
kjj ekxeX ][)(
VDFD
VDFD
Papoulis
5353/100/100 5454/100/100
10
5555/100/100 5656/100/100
5757/100/100 5858/100/100
5959/100/100 6060/100/100
11
6161/100/100
( )N
H21
1ω
ω+
=
6262/100/100
( ) ( )Na 21log10 ωω +−=
6363/100/100 6464/100/100
6565/100/100
( )N
geH2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= ωω
ω
6666/100/100
( )N
g
a2
43,020 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−=ωωω
12
6767/100/100 6868/100/100
6969/100/100 7070/100/100
7171/100/100 7272/100/100
13
7373/100/100 7474/100/100
7575/100/100 7676/100/100
7777/100/100 7878/100/100
14
7979/100/100 8080/100/100
8181/100/100 8282/100/100
8383/100/100 8484/100/100
-1 -0.5 0 0.5 1-3
-2
-1
0
1
2
3θ
gωω
15
8585/100/100 8686/100/100
8787/100/100 8888/100/100
8989/100/100 9090/100/100
16
9191/100/100 9292/100/100
9393/100/100 9494/100/100
9595/100/100 9696/100/100
17
9797/100/100 9898/100/100
9999/100/100 100100/100/100