Fleksija i torzija - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...

Fleksija i torzija

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Fleksija i torzija 1 / 41

Fleksija i torzija

Uocimo da zakrivljenost osim smjera ima i intenzitet (manja i vecazakrivljenost) koji se moze mjeriti brojem!

Pitanje. Kako matematicki modelirati intenzitet zakrivljenosti?

Fleksija i torzija

Uocimo da zakrivljenost osim smjera ima i intenzitet

(manja i vecazakrivljenost) koji se moze mjeriti brojem!

Fleksija i torzija

Uocimo da zakrivljenost osim smjera ima i intenzitet (manja i vecazakrivljenost)

koji se moze mjeriti brojem!

Fleksija i torzija

Pitanje.

Kako matematicki modelirati intenzitet zakrivljenosti?

Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja.

Uocimo da vektor ∆t(t)daje i smjer zakrivljenosti i intenzitet.

Napomena. Da bi mjerenje bilo valjano, potrebno je da duljina luka ∆snakon koje se mjeri zakrivljenost bude jednaka.

Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Uocimo da vektor ∆t(t)daje

i smjer zakrivljenosti i intenzitet.

Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Uocimo da vektor ∆t(t)daje i smjer zakrivljenosti

i intenzitet.

Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Uocimo da vektor ∆t(t)daje i smjer zakrivljenosti i intenzitet.

Fleksija i torzija

Napomena.

Da bi mjerenje bilo valjano, potrebno je da duljina luka ∆snakon koje se mjeri zakrivljenost bude jednaka.

Fleksija i torzija

Napomena. Da bi mjerenje bilo valjano,

potrebno je da duljina luka ∆snakon koje se mjeri zakrivljenost bude jednaka.

Fleksija i torzija

Uz oznaku v(t) = |r(t)| za skalarnu brzinu,

zakrivljenost dobivamoformulom

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

Ovime smo pokazali geometrijsku motivaciju za sljedecu definiciju.

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina. Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)

naziva se fleksija ili zakrivljenost krivulje r.

Napomena. Zakrivljenost u svakoj tocki je pozitivna po definiciji.

Fleksija i torzija

Uz oznaku v(t) = |r(t)| za skalarnu brzinu, zakrivljenost dobivamoformulom

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

Definicija.

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina. Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja

i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina. Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina.

Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina. Funkcija κ : I → R

definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Napomena.

Zakrivljenost u svakoj tocki je pozitivna po definiciji.

Fleksija i torzija

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

κ(t) = |t(t)|v(t)

Fleksija i torzija

Definicija.

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),

ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} =

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja

iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina.

Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r

je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R

definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t)

⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) =

t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) =

{t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} =

= t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|

∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} == ±

∣∣b(t)∣∣ ,pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) =

{n(t)⊥n(t)} = λn(t),ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|

∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} == ±

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} =

λn(t),ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|

∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} == ±

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒

n(t) · b(t) = |n(t)|∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} =

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) =

|n(t)|∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} =

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|∣∣b(t)∣∣ cos ϕ =

{ϕ = 0 ili π} == ±

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =

∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =

∣∣n(t) · b(t)∣∣v(t)

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

Uocimo da vrijedi:

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

∣∣b(t)∣∣v(t)

Fleksija i torzija

Dakle, torzija mjeri zakretanje vektora binormale

(tj. oskulacijske ravnine)na slican nacin kao što fleksija mjeri zakretanje tangente.

Neformalnije izreceno, mozemo zakljuciti da:

fleksija mjeri odstupanje krivulje od pravca,torzija mjeri odstupanje krivulje od ravnine.

Fleksija i torzija

Dakle, torzija mjeri zakretanje vektora binormale (tj. oskulacijske ravnine)

na slican nacin kao što fleksija mjeri zakretanje tangente.

Fleksija i torzija

Dakle, torzija mjeri zakretanje vektora binormale (tj. oskulacijske ravnine)na slican nacin kao što fleksija mjeri zakretanje tangente.

Fleksija i torzija

fleksija mjeri odstupanje krivulje od pravca,

torzija mjeri odstupanje krivulje od ravnine.

Fleksija i torzija

Propozicija.

Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r reparametrizacija od r. Vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒ | ˙r(t)| = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)

~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)

Sada iz ϕ(t) > 0 slijedi

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

v(ϕ(t))ϕ(t)= τ(ϕ(t)). QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.

Dokaz. Neka je~r reparametrizacija od r. Vrijedi

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

Propozicija. Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.Dokaz.

Neka je~r reparametrizacija od r. Vrijedi

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

Propozicija. Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r reparametrizacija od r.

Vrijedi

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

Propozicija. Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r reparametrizacija od r. Vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒

˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒ | ˙r(t)| = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒

| ˙r(t)| = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒ | ˙r(t)| = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒

⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒

˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)

~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒

˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

− n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

= τ(ϕ(t)). QED

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

v(ϕ(t))ϕ(t)=

τ(ϕ(t)). QED

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

v(ϕ(t))ϕ(t)= τ(ϕ(t)).

Fleksija i torzija

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

neprakticne: one iz definicije κ(t) = |t(t)|v (t) i τ(t) = −n(t)·b(t)v (t) ,

prakticne: ovise samo o r (i o derivacijama od r)!Cilj nam je izvesti prakticne formule za fleksiju i torziju.

Propozicija. Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivuljaparametrizirana prirodnim parametrom s. Tada je

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

neprakticne:

one iz definicije κ(t) = |t(t)|v (t) i τ(t) = −n(t)·b(t)v (t) ,

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

prakticne:

ovise samo o r (i o derivacijama od r)!Cilj nam je izvesti prakticne formule za fleksiju i torziju.

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

prakticne: ovise samo o r (i o derivacijama od r)!

Cilj nam je izvesti prakticne formule za fleksiju i torziju.

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

Propozicija.

Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivuljaparametrizirana prirodnim parametrom s. Tada je

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

Propozicija. Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivulja

parametrizirana prirodnim parametrom s. Tada je

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

Propozicija. Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivuljaparametrizirana prirodnim parametrom s.

Tada je

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz.

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

{v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} =

|t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =

∣∣r′′(s)∣∣ ,τ(s) = −n(s) · b(s)

v(s)= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

{v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} =

− n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s).

Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED

Fleksija i torzija

Propozicija.

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

Dokaz. Iz t(t) = r(t)|r(t)| =

r(t)v (t) slijedi

r(t) = v(t)t(t),r(t) = v ′(t)t(t) + v(t)t(t) = v ′(t)t(t) + v(t) |t(t)| n(t) =

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja

parametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom.

Tada vrijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

Dokaz.

Iz t(t) = r(t)|r(t)| =

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t)

slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

r(t) = v(t)t(t),

r(t) = v ′(t)t(t) + v(t)t(t) = v ′(t)t(t) + v(t) |t(t)| n(t) == v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),

r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

r(t) = v(t)t(t),r(t) =

v ′(t)t(t) + v(t)t(t) = v ′(t)t(t) + v(t) |t(t)| n(t) == v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

r(t) = v(t)t(t),r(t) = v ′(t)t(t) + v(t)t(t) =

v ′(t)t(t) + v(t) |t(t)| n(t) == v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) =

v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) =

v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),

|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| =

v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| =

v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).

Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

r(t)v (t) slijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

Fleksija i torzija

Propozicija.

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Dokaz. Imali smo vec r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)b(t) i

r(t) = v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t)...r (t) = v ′′(t)t(t) + v ′(t)t(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) =

= v ′′(t)t(t) + v ′(t) |t(t)| n(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja

parametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom.

Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Dokaz.

Imali smo vec r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)b(t) i

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Dokaz. Imali smo vec r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)b(t)

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

r(t) = v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t)

...r (t) = v ′′(t)t(t) + v ′(t)t(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) =

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

r(t) = v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t)...r (t) =

v ′′(t)t(t) + v ′(t)t(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) == v ′′(t)t(t) + v ′(t) |t(t)| n(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

r(t) = v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t)...r (t) = v ′′(t)t(t) + v ′(t)t(t) +

(v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) == v ′′(t)t(t) + v ′(t) |t(t)| n(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

= v ′′(t)t(t) + v ′(t) |t(t)| n(t) +

(v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) =

v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) =

{b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} =

= −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) =

v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) =

= |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)|r(t)×r(t)|2

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)

⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)|r(t)×r(t)|2

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) =

(r(t)×r(t))·...r (t)|r(t)×r(t)|2

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

|r(t)×r(t)|2.

Fleksija i torzija

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

Sada je

|r(t)×r(t)|2. QED

Fleksija i torzija

Zelimo pokazati kako kruznica aproksimira zakrivljenost krivulje!

Podsjetimo se: neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s razapeta vektorima r1 i r2.

Fleksija i torzija

Podsjetimo se:

neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa

Fleksija i torzija

Podsjetimo se: neka je s ∈ R3,

neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa

Fleksija i torzija

Podsjetimo se: neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,

te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa

Fleksija i torzija

Podsjetimo se: neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0.

Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa

Fleksija i torzija

Podsjetimo se: neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3

definirana sa

Fleksija i torzija

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2

kruznica radijusa a sa središtem u s razapeta vektorima r1 i r2.

Fleksija i torzija

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a

sa središtem u s razapeta vektorima r1 i r2.

Fleksija i torzija

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s

razapeta vektorima r1 i r2.

Fleksija i torzija

Propozicija.

Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.Dokaz. Jednadzba kruznice je

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 ⇒{r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2r(t) = − a cos t · r1 − a sin t · r2

Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,

|r(t)|2 = r(t) · r(t) == a2 sin t |r1|2 − 2a2 sin t cos t(r1 · r2) + a2 cos2 t · |r2|2 = a2.

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna

i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.Dokaz. Jednadzba kruznice je

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.

Dokaz. Jednadzba kruznice je

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.Dokaz.

Jednadzba kruznice je

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.Dokaz. Jednadzba kruznice je

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2

⇒{r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2r(t) = − a cos t · r1 − a sin t · r2

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 ⇒{r(t) =

− a sin t · r1 + a cos t · r2r(t) = − a cos t · r1 − a sin t · r2

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 ⇒{r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2

r(t) = − a cos t · r1 − a sin t · r2Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 ⇒{r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2r(t) =

− a cos t · r1 − a sin t · r2Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) =

a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) =

a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),

|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,|r(t)|2 = r(t) · r(t) =

= a2 sin t |r1|2 − 2a2 sin t cos t(r1 · r2) + a2 cos2 t · |r2|2 = a2.Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| =

a2 · |r1 × r2| = a2,|r(t)|2 = r(t) · r(t) =

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| =

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

|r(t)|2 = r(t) · r(t) =

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

|r(t)|2 = r(t) · r(t) == a2 sin t |r1|2 − 2a2 sin t cos t(r1 · r2) + a2 cos2 t · |r2|2 =

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

1a. QED

Fleksija i torzija

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a.

Fleksija i torzija

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

a3=1a. QED

Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.

Fleksija i torzija

Definicija.

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja.

Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0

onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti,

as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti

krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .

Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena.

Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.

Fleksija i torzija

Definicija.

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

Za fiksni t ∈ I , jednadzba oskulacijske kruznice je

rt (p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t),rt (p) = ρ(t) sin p · n(t) + ρ(t) cos p · t(t),

pa imamo

rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja

i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan.

Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti,

a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t.

Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t),

razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t),

radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t)

naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Za fiksni t ∈ I ,

jednadzba oskulacijske kruznice je

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

rt (p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t),

rt (p) = ρ(t) sin p · n(t) + ρ(t) cos p · t(t),

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

rt (p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t),rt (p) =

ρ(t) sin p · n(t) + ρ(t) cos p · t(t),

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) =

s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) =

r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) =

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) =

ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) =

1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

pa imamo

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).

Fleksija i torzija

Oskulacijska kruznica rt (p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t)

lezi u oskulacijskoj ravnini,prolazi tockom r(t), jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),tangira krivulju r u tocki r(t), jer je rt (0) = 1

κ(t)t(t),

ima zakrivljenost κ(t), jer je κt (t) = 1ρ(t) = κ(t).

Fleksija i torzija

κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

lezi u oskulacijskoj ravnini,

prolazi tockom r(t), jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),tangira krivulju r u tocki r(t), jer je rt (0) = 1

κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

lezi u oskulacijskoj ravnini,prolazi tockom r(t),

jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),tangira krivulju r u tocki r(t), jer je rt (0) = 1

κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

lezi u oskulacijskoj ravnini,prolazi tockom r(t), jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

tangira krivulju r u tocki r(t), jer je rt (0) = 1κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

lezi u oskulacijskoj ravnini,prolazi tockom r(t), jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),tangira krivulju r u tocki r(t),

jer je rt (0) = 1κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

κ(t)t(t),

ima zakrivljenost κ(t),

jer je κt (t) = 1ρ(t) = κ(t).

Fleksija i torzija

κ(t)t(t),

Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

t(t),n(t),b(t) ortonormirani ⇒ {t(t),n(t),b(t)} je baza prostora V 3

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Formule koje daju prikaz vektora t(t), n(t) i b(t) u bazi {t(t),n(t),b(t)}zovu se Frenetove formule.

Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

t(t),n(t),b(t) ortonormirani ⇒

{t(t),n(t),b(t)} je baza prostora V 3

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Formule koje daju prikaz vektora t(t), n(t) i b(t) u bazi {t(t),n(t),b(t)}

zovu se Frenetove formule.

Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Fleksija i torzija

Teorem (Frenetove formule).

Neka je r : I → R3 biregularna prostornakrivulja i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Tada vrijedi

t(t) = v(t)κ(t)n(t), n(t) = −v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t),b(t) = −v(t)τ(t)n(t).

Dokaz. Dokazimo najprije tvrdnju za t(t). Uocimo da vrijedi

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

Teorem (Frenetove formule). Neka je r : I → R3 biregularna prostornakrivulja

i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Tada vrijedi

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

Teorem (Frenetove formule). Neka je r : I → R3 biregularna prostornakrivulja i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina.

Tada vrijedi

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

Teorem (Frenetove formule). Neka je r : I → R3 biregularna prostornakrivulja i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Tada vrijedi

t(t) = v(t)κ(t)n(t),

n(t) = −v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t),b(t) = −v(t)τ(t)n(t).

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

t(t) = v(t)κ(t)n(t), n(t) = −v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t),

b(t) = −v(t)τ(t)n(t).

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

Dokaz.

Dokazimo najprije tvrdnju za t(t). Uocimo da vrijedi

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

Dokaz. Dokazimo najprije tvrdnju za t(t).

Uocimo da vrijedi

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

n(t) =t(t)|t(t)|

⇒ t(t) = |t(t)| n(t) ={κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) =

|t(t)| n(t) ={κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

}= v(t)κ(t)n(t).

Fleksija i torzija

Dokaz. Dokazimo sada tvrdnju za n(t).

Vrijedi

{t(t),n(t),b(t)} baza ⇒ n(t) = αt(t) + βn(t) + γb(t) / · t,n,b

n(t) · t(t) = αn(t) · n(t) = βn(t) · b(t) = γ

α = n(t) · t(t) = {n(t) · t(t) = 0/ ddt } = − n(t) · t(t) = −

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

Dokaz. Dokazimo sada tvrdnju za n(t). Vrijedi

{t(t),n(t),b(t)} baza ⇒ n(t) = αt(t) + βn(t) + γb(t)

/ · t,n,b

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

n(t) · t(t) = α

n(t) · n(t) = βn(t) · b(t) = γ

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

n(t) · t(t) = αn(t) · n(t) = β

n(t) · b(t) = γ

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

α = n(t) · t(t) =

{n(t) · t(t) = 0/ ddt } = − n(t) · t(t) = −

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

α = n(t) · t(t) = {n(t) · t(t) = 0/ ddt } =

− n(t) · t(t) = − t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

α = n(t) · t(t) = {n(t) · t(t) = 0/ ddt } = − n(t) · t(t) =

− t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| =

− v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),

Fleksija i torzija

β = n(t) · n(t) =

{n(t) · n(t) = 1/ ddt } = 0,

Fleksija i torzija

β = n(t) · n(t) = {n(t) · n(t) = 1/ ddt } =

Fleksija i torzija

β = n(t) · n(t) = {n(t) · n(t) = 1/ ddt } = 0,

Fleksija i torzija

γ = n(t) · b(t) =

{n(t) · b(t) = 0/ ddt } = − n(t) · b(t) =

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}= v(t)τ(t).

Fleksija i torzija

γ = n(t) · b(t) = {n(t) · b(t) = 0/ ddt } =

− n(t) · b(t) =

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}= v(t)τ(t).

Fleksija i torzija

γ = n(t) · b(t) = {n(t) · b(t) = 0/ ddt } = − n(t) · b(t) =

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}= v(t)τ(t).

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

v(t)τ(t).

Fleksija i torzija

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}= v(t)τ(t).

Fleksija i torzija

Dokaz. Dokazimo konacno i tvrdnju za b(t).

Iz b(t) = t(t)× n(t) slijedi

b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t) = t(t)|t(t)|} =

= t(t)× n(t) == t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) == v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = − v(t)τ(t)n(t). QED

Fleksija i torzija

Dokaz. Dokazimo konacno i tvrdnju za b(t). Iz b(t) = t(t)× n(t)

slijedi

Fleksija i torzija

Dokaz. Dokazimo konacno i tvrdnju za b(t). Iz b(t) = t(t)× n(t) slijedi

b(t) =

t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t) = t(t)|t(t)|} =

Fleksija i torzija

b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) =

{t(t)‖n(t) = t(t)|t(t)|} =

Fleksija i torzija

= t(t)× n(t) =

= t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) == v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = − v(t)τ(t)n(t). QED

Fleksija i torzija

= t(t)× n(t) == t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) =

= v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = − v(t)τ(t)n(t). QED

Fleksija i torzija

= t(t)× n(t) == t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) == v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) =

− v(t)τ(t)n(t). QED

Fleksija i torzija

= t(t)× n(t) == t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) == v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = − v(t)τ(t)n(t).

Fleksija i torzija

Napomena.

Uocimo da se Frenetove formule mogu matricno zapisati kao t(t)n(t)b(t)

= 0 v(t)κ(t) 0−v(t)κ(t) 0 v(t)τ(t)

0 −v(t)τ(t) 0

t(t)n(t)b(t)

Fleksija i torzija

Napomena. Uocimo da se Frenetove formule mogu matricno zapisati kao t(t)n(t)b(t)

= 0 v(t)κ(t) 0−v(t)κ(t) 0 v(t)τ(t)

0 −v(t)τ(t) 0

t(t)n(t)b(t)

Fundamentalni teorem teorije krivulja

Podsjetimo se:

Pitanje. Moze li se krivulja rekonstruirati iz poznate fleksije i torzije (dona polozaj u prostoru)?

Podsjetimo se:

Pitanje.

Moze li se krivulja rekonstruirati iz poznate fleksije i torzije (dona polozaj u prostoru)?

Podsjetimo se:

Pitanje. Moze li se krivulja rekonstruirati iz poznate fleksije i torzije

(dona polozaj u prostoru)?

Podsjetimo se:

Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0 ⇒ pravackruznica ⇒ const 0 ⇒ kruznica

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒

0 0 ⇒ pravackruznica ⇒ const 0 ⇒ kruznica

Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0

⇒ pravackruznica ⇒ const 0 ⇒ kruznica

Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0 ⇒ pravac

kruznica ⇒ const 0 ⇒ kruznicaravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivulja

kruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0 ⇒ pravackruznica ⇒

const 0 ⇒ kruznicaravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivulja

Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0 ⇒ pravackruznica ⇒ const 0

⇒ kruznicaravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivulja

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒

κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0

⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivulja

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒

const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const

⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnica

opca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒

κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t)

⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnica

krivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒

κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t)

⇒ krivulja r = r(t)

Pokazat cemo:κ τ

Fundamentalni teorem teorije krivuljaPravac

Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

⇐ Neka je κ = 0. Sada imamo

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

Teorem.

Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja.

Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz.⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.

⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒

Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je r pravac.

Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3)

⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0

⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

Neka je κ = 0. Sada imamo

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

⇐ Neka je κ = 0.

Sada imamo

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0

⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3)

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED

Fundamentalni teorem teorije krivuljaRavninska krivulja

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,

(r(s)− p) · q = 0 ⇒ r′(s) · q = 0 i r′′(s) · q = 0⇒ b(s) je kolinearan vektoru q

⇒ b(s) = ± q|q| (konstanta)

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

Teorem.

Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja.

Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.

⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒

Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini

(ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3).

Dakle,

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

(r(s)− p) · q = 0

⇒ r′(s) · q = 0 i r′′(s) · q = 0⇒ b(s) je kolinearan vektoru q

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

(r(s)− p) · q = 0 ⇒ r′(s) · q = 0 i r′′(s) · q = 0

⇒ b(s) je kolinearan vektoru q

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

⇒ b′(s) = 0

⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐

Neka je τ = 0. Sada imamo

b′(s) = −τ(s)n(s)τ(s)=0= 0⇒ b(s) = const ozn= b

Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b = 0⇒ funkcija f mora biti konstantna

{f (s0) = 0} ⇒ f (s) = 0 za svaki s ∈ I⇒ (r(s)− r(s0)) · b = 0 za svaki s ∈ I

Dakle, krivulja r lezi u ravnini kroz tocku r(s0), s vektorom normale b(dakle, u oskulacijskoj ravnini). QED

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je τ = 0.

Sada imamo

Promotrimo funkciju

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je τ = 0. Sada imamo

b′(s) = −τ(s)n(s)

τ(s)=0= 0⇒ b(s) = const ozn= b

Promotrimo funkciju

b′(s) = −τ(s)n(s)τ(s)=0=

0⇒ b(s) = const ozn= b

Promotrimo funkciju

b′(s) = −τ(s)n(s)τ(s)=0= 0

⇒ b(s) = const ozn= b

Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b

⇒ f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b = 0⇒ funkcija f mora biti konstantna

Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) =

r′(s) · b = t(s) · b = 0⇒ funkcija f mora biti konstantna

Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) = r′(s) · b =

t(s) · b = 0⇒ funkcija f mora biti konstantna

Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b =

⇒ funkcija f mora biti konstantna

Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b = 0

⇒ funkcija f mora biti konstantna

Promotrimo funkciju

{f (s0) = 0} ⇒

f (s) = 0 za svaki s ∈ I⇒ (r(s)− r(s0)) · b = 0 za svaki s ∈ I

Promotrimo funkciju

{f (s0) = 0} ⇒ f (s) = 0 za svaki s ∈ I

⇒ (r(s)− r(s0)) · b = 0 za svaki s ∈ I

Promotrimo funkciju

Dakle, krivulja r lezi u ravnini

kroz tocku r(s0), s vektorom normale b(dakle, u oskulacijskoj ravnini). QED

Promotrimo funkciju

Dakle, krivulja r lezi u ravnini kroz tocku r(s0),

s vektorom normale b(dakle, u oskulacijskoj ravnini). QED

Promotrimo funkciju

Dakle, krivulja r lezi u ravnini kroz tocku r(s0), s vektorom normale b

(dakle, u oskulacijskoj ravnini). QED

Promotrimo funkciju

Dakle, krivulja r lezi u ravnini kroz tocku r(s0), s vektorom normale b(dakle, u oskulacijskoj ravnini).

Promotrimo funkciju

Teorem.

Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je krivulja r kruznica.

r kruznica radijusa a ⇒ κ(t) = 1a6= 0

kruznica r ravninska ⇒ τ(t) = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz.⇒ Neka je krivulja r kruznica.

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.

⇒ Neka je krivulja r kruznica.

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒

Neka je krivulja r kruznica.

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je krivulja r kruznica.

r kruznica radijusa a

⇒ κ(t) = 1a6= 0

r kruznica radijusa a ⇒ κ(t) =

1a6= 0

r kruznica radijusa a ⇒ κ(t) = 1a

6= 0kruznica r ravninska ⇒ τ(t) = 0

kruznica r ravninska

⇒ τ(t) = 0

kruznica r ravninska ⇒ τ(t) =

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐

Neka je κ 6= 0 konstantna i τ ≡ 0. Definiramoa(s) = r(s) + n(s)/κ. Vrijedi

a′(s) = r′(s) + n′(s)/κ = t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ = 0.

To znaci da je vektor a(s) konstantan, pa mozemo pisati a(s) = s ∈ R3.Dakle,

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

Dakle, sve tocke r(s) na krivulji r jednako su udaljene od fiksne tocke s.To znaci da krivulja r lezi na sferi sa središtem u s radijusa 1/κ.

No, obzirom da je τ = 0 slijedi da krivulja r mora biti ravninska, pa r morabiti kruznica ili dio kruznice (presjek ravnine i sfere). QED

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je κ 6= 0 konstantna i τ ≡ 0.

Definiramoa(s) = r(s) + n(s)/κ. Vrijedi

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je κ 6= 0 konstantna i τ ≡ 0. Definiramoa(s) = r(s) + n(s)/κ.

Vrijedi

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je κ 6= 0 konstantna i τ ≡ 0. Definiramoa(s) = r(s) + n(s)/κ. Vrijedi

a′(s) =

r′(s) + n′(s)/κ = t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ = 0.

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

a′(s) = r′(s) + n′(s)/κ =

t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ = 0.

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

a′(s) = r′(s) + n′(s)/κ = t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ =

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

To znaci da je vektor a(s) konstantan,

pa mozemo pisati a(s) = s ∈ R3.Dakle,

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

To znaci da je vektor a(s) konstantan, pa mozemo pisati a(s) = s ∈ R3.

Dakle,|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

|r(s)− s| =

|r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| =

|n(s)/κ| = 1/κ.

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| =

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

Dakle, sve tocke r(s) na krivulji r jednako su udaljene od fiksne tocke s.

To znaci da krivulja r lezi na sferi sa središtem u s radijusa 1/κ.

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

No, obzirom da je τ = 0 slijedi da krivulja r mora biti ravninska,

pa r morabiti kruznica ili dio kruznice (presjek ravnine i sfere). QED

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

No, obzirom da je τ = 0 slijedi da krivulja r mora biti ravninska, pa r morabiti kruznica ili dio kruznice (presjek ravnine i sfere).

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

Fundamentalni teorem teorije krivuljaKruzna cilindricna spirala

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED

Teorem.

Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I .

Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .

Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.

Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi.

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED

Fundamentalni teorem teorije krivuljaOpca cilindricna spirala

Definicija. Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna spiralaako postoji vektor a ∈ R3 (a 6= 0) takav da vektori t(t) i a zatvarajukonstantan kut.

Uocimo da vrijedi:

cos](t(t), a) = t(t) · a|t(t)| |a| = const ⇒

{|t(t)| = 1|a| = const

}⇒ t(t) ·a = const

Definicija.

Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna spiralaako postoji vektor a ∈ R3 (a 6= 0) takav da vektori t(t) i a zatvarajukonstantan kut.

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

Definicija. Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna spirala

ako postoji vektor a ∈ R3 (a 6= 0) takav da vektori t(t) i a zatvarajukonstantan kut.

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

Definicija. Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna spiralaako postoji vektor a ∈ R3 (a 6= 0)

takav da vektori t(t) i a zatvarajukonstantan kut.

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

Uocimo da vrijedi:

cos](t(t), a) =

t(t) · a|t(t)| |a| = const ⇒

{|t(t)| = 1|a| = const

Uocimo da vrijedi:

cos](t(t), a) = t(t) · a|t(t)| |a| =

const ⇒{|t(t)| = 1|a| = const

Uocimo da vrijedi:

cos](t(t), a) = t(t) · a|t(t)| |a| = const

⇒{|t(t)| = 1|a| = const

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1

|a| = const

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

t(t) ·a = const

Uocimo da vrijedi:

{|t(t)| = 1|a| = const

Geometrijska interpretacija:

Definicija.

Kazemo da je opca cilindricna spirala izogonalna trajektorijaizvodnica cilindricne plohe. Posebno, ako opca cilindricna spirala sijeceizvodnice cilindricne plohe pod pravim kutem, onda je nazivamoortogonalnom trajektorijom.

Definicija. Kazemo da je opca cilindricna spirala izogonalna trajektorijaizvodnica cilindricne plohe.

Posebno, ako opca cilindricna spirala sijeceizvodnice cilindricne plohe pod pravim kutem, onda je nazivamoortogonalnom trajektorijom.

Definicija. Kazemo da je opca cilindricna spirala izogonalna trajektorijaizvodnica cilindricne plohe. Posebno, ako opca cilindricna spirala sijeceizvodnice cilindricne plohe pod pravim kutem, onda je nazivamoortogonalnom trajektorijom.

Primjer.

Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati

ϕ = ](t(t), r3) = ](r(t), r3) = const.Imamo

r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3

pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R,

s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,

te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori

je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.

Dokaz. Dovoljno je pokazati

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz.

Dovoljno je pokazati

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati

ϕ = ](t(t), r3) =

](r(t), r3) = const.Imamo

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

ϕ = ](t(t), r3) = ](r(t), r3) =

const.

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

ϕ = ](t(t), r3) = ](r(t), r3) = const.

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

r(t) =

− a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

r(t) = − a sin t · r1 +

a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 +

b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,

r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 =

b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) =

b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 =

|r(t)| =√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,

|r(t)| =√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

b√a2 + b2

= const. QED

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2=

const. QED

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const.

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

a2 + b2= const. QED

Teorem.

Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je τ(t)

κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .Dokaz. ⇒ Neka je r opca cilindricna spirala. Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.

−κ(s)t(s)+ τ(s)b(s) = n′(s) /·a⇒ −κ(s)t(s) ·a+ τ(s)b(s) ·a = n′(s) ·a

Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒ t′(s) · a = 0 Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja

sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je τ(t)

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I .

Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je τ(t)

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio

ako i samo ako je τ(t)κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz. ⇒ Neka je r opca cilindricna spirala. Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je τ(t)

κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz. ⇒ Neka je r opca cilindricna spirala. Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.

⇒ Neka je r opca cilindricna spirala. Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .Dokaz. ⇒ Neka je r opca cilindricna spirala.

Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

−κ(s)t(s)+ τ(s)b(s) = n′(s) /·a⇒

−κ(s)t(s) ·a+ τ(s)b(s) ·a = n′(s) ·a

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

t(s) · a = const

/′ ⇒ t′(s) · a = 0 Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒

t′(s) · a = 0 Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒ t′(s) · a = 0

Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒ t′(s) · a = 0 Fr .⇒

κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒ t′(s) · a = 0 Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0

κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0

Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒

− 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0

∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒

b(s) · a = constn(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0

/′ ⇒ n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒

n′(s) · a = 0

Sada imamo:

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0

−κ(s)t(s)+ τ(s)b(s) = n′(s) /·a⇒ −κ(s)t(s) · a︸︷︷︸=const

+ τ(s)b(s) · a︸︷︷︸=const

= n′(s) · a︸︷︷︸=0

Sada je

τ(s)b(s) · a︸︷︷︸=const

= κ(s)t(s) · a︸︷︷︸=const

⇒ τ(s)κ(s) =

t(s) · ab(s) · a = const.

= n′(s) · a︸︷︷︸=0

Sada je

⇒ τ(s)κ(s) =

= n′(s) · a︸︷︷︸=0

Sada je

⇒ τ(s)κ(s) =

κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .Dokaz. ⇐ Neka je τ

κ konstanta.

Sada imamo

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

κ(s)t(s) + b(s) = constozn.= a / · t(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

}⇒ a · t(s) = const. QED

κ konstanta. Sada imamo

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

1κ(s)t

′(s) +1

τ(s)b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0

/ · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

τ(s)κ(s)t(s) + b(s) = const

ozn.= a / · t(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

κ(s)t(s) + b(s) = const

ozn.= a / · t(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

κ(s)t(s) + b(s) = constozn.= a

/ · t(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s)

{τ(s)κ(s) = const

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

a · t(s) = const. QED

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

}⇒ a · t(s) = const.

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

Fundamentalni teorem teorije krivuljaOpcenita krivulja

Definicija. Preslikavanje f : R3 → R3 koje je kompozicija translacije irotacije naziva se izometrija.

Preslikavanje prostora f : R3 → R3 ne mijenja udaljenost tocaka ako je

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

translacija ne mijenja udaljenost tocaka,

rotacija ne mijenja udaljenost tocaka.

Zakljucujemo da vrijedi:

izometrija ne mijenja udaljenost tocaka.

Definicija.

Preslikavanje f : R3 → R3 koje je kompozicija translacije irotacije naziva se izometrija.

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

Preslikavanje prostora f : R3 → R3 ne mijenja udaljenost tocaka

ako je

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

translacija

ne mijenja udaljenost tocaka,

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

rotacija

ne mijenja udaljenost tocaka.

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

Definicija.

Kazemo da su krivulje r1, r2 : I → R3 kongruentne ako postojiizometrija f : R3 → R3 takva da je f (r1(t)) = r2(t) za svaki t ∈ I .

Definicija. Kazemo da su krivulje r1, r2 : I → R3 kongruentne

ako postojiizometrija f : R3 → R3 takva da je f (r1(t)) = r2(t) za svaki t ∈ I .

Definicija. Kazemo da su krivulje r1, r2 : I → R3 kongruentne ako postojiizometrija f : R3 → R3 takva da je f (r1(t)) = r2(t) za svaki t ∈ I .

Teorem (Fundamentalni teorem teorije krivulja).

1) Neka su r1, r2 : I → R3 dvije regularne prostorne krivulje. Akokrivulje r1 i r2 imaju istu fleksiju i torziju u svakoj tocki, onda su onekongruentne.

2) Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije, pri cemu je κ(t) > 0 za svakit ∈ I , onda postoji krivulja r : I → R3 parametrizirana duljinom luka,takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.

Dokaz.Dokaz je slozen, pa ga izostavljamo. QED

Definicija. Neka je r biregularna prostorna krivulja parametriziranaprirodnim parametrom s. Jednadzbe κ = κ(s) i τ = τ(s) nazivaju seprirodnim jednadzbama krivulje r.

1) Neka su r1, r2 : I → R3 dvije regularne prostorne krivulje.

Akokrivulje r1 i r2 imaju istu fleksiju i torziju u svakoj tocki, onda su onekongruentne.

1) Neka su r1, r2 : I → R3 dvije regularne prostorne krivulje. Akokrivulje r1 i r2 imaju istu fleksiju i torziju u svakoj tocki,

onda su onekongruentne.

2) Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije,

pri cemu je κ(t) > 0 za svakit ∈ I , onda postoji krivulja r : I → R3 parametrizirana duljinom luka,takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.

2) Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije, pri cemu je κ(t) > 0 za svakit ∈ I ,

onda postoji krivulja r : I → R3 parametrizirana duljinom luka,takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.

2) Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije, pri cemu je κ(t) > 0 za svakit ∈ I , onda postoji krivulja r : I → R3 parametrizirana duljinom luka,

takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.

Dokaz.

Dokaz je slozen, pa ga izostavljamo. QED

Dokaz.Dokaz je slozen, pa ga izostavljamo.

Definicija.

Neka je r biregularna prostorna krivulja parametriziranaprirodnim parametrom s. Jednadzbe κ = κ(s) i τ = τ(s) nazivaju seprirodnim jednadzbama krivulje r.

Definicija. Neka je r biregularna prostorna krivulja parametriziranaprirodnim parametrom s.

Jednadzbe κ = κ(s) i τ = τ(s) nazivaju seprirodnim jednadzbama krivulje r.

Fleksija i torzija - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...

Documents

Transcript of Fleksija i torzija - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...

Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo

· središta masa CM i krutosti CK, pri djelovanju seizmiökih sila nastaje u gradevini torzija (zaokret) koji se dogada Oko središta krutosti (CK), te svaki zid dobiva odredeni

Utjecaj faktora rasta aktiviranih trombocita na uraštanje ...medlib.mef.hr/829/1/Matjaz_Vogrin.pdf · trauma (fleksija – valgus - vanjska rotacija, fleksija – varus - unutranja

Krivulje i plohe drugog reda - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Jelena Sedlar (FGAG) Krivulje i plohe drugog reda 2 / 63 Kvadratna forma Podsjetimo

X-potpornik - Sheet1repozitorij.fsb.hr/2961/1/18_09_2014_Denis_Trivic-Zavrsni_Rad.pdf · stopala je planarna fleksija stopala iz koje generiramo potrebnu silu kako bi uzdigli masu

Seminar o nujnih stanjih v urologiji - ukc-mb.si · šestih urah, je namreč možna nekroza testisa. Najpogostejša vzroka akutnega skrotuma sta torzija testisa in torzija apendiksa

MASTER RAD - Prirodno matematicki fakultet · Freneove formule,krivina i torzija 9 2. POVRŠI 24 2.1. Regularne i ... Diferencijalna geometrija se razvila mnogo kasnije nakon što

Torzija i nateg kod usmjerenog bušenja

2.67: Izboˇcitvena funkcija Φ ter lega torzijskega ...km.fgg.uni-lj.si/predmeti/trdnost-uni-b/data/ucbenik/trdnost10.pdf · 266 2 Enakomerna torzija vrednost I ΦPz pa z integriranjem

s M êÌ -ªrqÃ - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Geodezija i geoinformatika/PSG... · Title: s_M êÌ -ªrqÃ Author: TXZ Created Date: d ßÚX»ÕP þ;' M¾® 4ÿ§v

STROJEVI ZA NABIJANJE - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Organizacija... · • Eduard Slunjski, STROJEVI U GRAĐEVINARSTVU, HDGI, 1995. • Gorazd Bučar, NORMATIVI

· koso savijanje, smiðna naprezanja, naprezanja i deformacije brodskog trupa uzrokovane promjenom temperature, torzija brodskog trupa te dinamiðki utjecaji na optereéenje konstrukcije

Nina Šaban Zdenko Kosinac - hrks.hr · dio stopala (prste) nije moguće, dok je u ležećem položaju na leđima moguća plantarna fleksija protiv blagog otpora. Uz sve rečeno,

enter 3 radno copy4 - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/Referada/Upisi/PSSA... · 19. Autor zgrade IBM u Rochesteru na slici (gore) je:$ a) Alvar Aalto$ b) Eero Saarinen$ c)

Iskorištenje vodnih snaga - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Privredna hidrotehnika/DSG... · 3 Snaga vode Izgubljena potencijalna energija mo že se pretvoriti u snagu

torzija - FTN Novi Sad

ZAVRŠNI RAD4.2. Biomehanika koljenskog zgloba Fleksija koljena je pokret s najvećim opsegom i iznosi 130º , pasivna je moguća i do 160º, ekstenzija iznosi oko 0º, a pasivno je

KUSTĪBU UN BALSTA APARĀTA FUNKCIONĀLĀ ......FL fleksija GC gaitas cikls GL gūžas locītava GT gaitas traucējumi EVER eversija EXT ekstensija IER iekšējā rotācija IGA trīs

2.67: Izboˇcitvena funkcija Φ ter lega torzijskega ...km.fgg.uni-lj.si/PREDMETI/Trdnost-UNI/data/ucbenik/trdnost10.pdf · 266 2 Enakomerna torzija vrednost I ΦPz pa z integriranjem

MIŠICE - kegljaska-zveza.si · •pliometrija. DELOVANJE MIŠIC - MOBILIZATORJEV MIŠIČNA SKUPINA LOKACIJA DELOVANJE Biceps Nadlaket spredaj Fleksija (upogib) komolca Triceps Nadlaket