Post on 01-May-2015
Fisica II - Informatica
Circuiti RL serieUn circuito che contiene una bobina, tipo un solenoide, ha una autoinduttanza che impedisce alla corrente di aumentare e diminuire istantaneamente .Chiudendo l’interruttore a t=0 la corrente aumenta e la f.e.m. dell’induttore (Vab < 0) sarà:
0
, , 0
,
0
ln
1 1
i
L
x t
ix
Rt L Rt L Rt L ti
dI dIL e appl icando Kirchof f IR Ldt dt
ponendo x R I dx dI
L dI L dx dx RI x dt
R R dt R dt x L
dx R x Rdt t
x L x L
x x e I e I e eR R R R
costante di tempo del circui to RL serie L
R
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Circuiti RL serie
1
max 0
t
t
I t eR
dIderivando si ha e
dt LdI
per tdt R
/ /Rt L tL
dIV L εe εe
dt
La caduta di tensione sull’induttore sarà
L’andamento temporale della corrente è
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• Analogamente ai circuiti RC esiste una costante di tempo che caratterizza il comportamento temporale del circuito
• Perchè RLcresce per L più grandi ?
– L si oppone a variazioni di corrente, e quindi rallenta il tasso di variazione.
• Perchè RLdiminuisce per R più grandi ?
– Grandi R riducono la corrente finale.
– Grandi R dissipano l’energia velocemente, velocizzano la “scarica” dell’induttore (cioè velocizzano la perdita di corrente).
RC RC
R
LRL
Circuiti RL
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Circuiti RL• Dopo che l’interruttore è stato
in posizione a per un tempo lungo, a t=0, viene portato in posizione b.
R
a
b
L
I I
• legge della maglia:
0dt
dILIR
• l’appropriata condizione iniziale è:R
tI
)0(
• La soluzione deve avere la forma:
LRteR
I /
LRtL e
dt
dILV /
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on off
t
0
-
I
t
0
RL/R
t
2L/R
0
R
I
0t
L/R 2L/R
LRteR
I /
LRtL e
dt
dILV /
LRteR
I /1
LRtL e
dt
dILV /
VLVL
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Energia di un induttore•Quanta energia è immagazzinata
in un induttore quandi una corrente fluisce attraverso esso ?
R
a
b
L
I I
•legge della maglia: dt
dILIR
• In questa equazione della conservazione dell’energia (per unità di tempo), identifichiamo PL, il tasso con cui l’energia è immagazzinata nell’induttore:
dt
dILI
dt
dUPL • Integriamo l’equazione per trovare una
espressione per U, l’energia immagazzinata nell’induttore quando la corrente = I :
U I
LIdIdUU0 0
2
2
1LIU
dt
dILIRIεI 2
•moltiplichiamo per I :
potenza erogata batteria potenza
dissipata resistenza
rapidità immagazzinamento energia (potenza) nell’induttanza
dEP
dt
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Dove è immagazzinata l’energia ?• Come nel caso del condensatore (energia immagazzinata
nel campo elettrico) per l’induttore l’energia è immagazzinata nel campo magnetico stesso.
• Per calcolare questa densità di energia, consideriamo il campo uniforme generato da un lungo solenoide:
• l’induttanza L vale:2
2
0 rl
NL
• l’energia U:2 2
2 2 2 20
0
1 1 1
2 2 2
N BU L I r I r l
l
• La densità di energia si ottiene dividendo per il volume in cui è contenuto il campo:
2
20
1
2
U Bu
r l
Il
NB 0 l
r
N avvolg.
Questa relazione, pur essendo stata ricaata nel caso del solenoide, è valida in ogni regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico !
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Applicazione mutua induzione:caricabatteria wireless per spazzolino elettrico
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Consideriamo due induttori in parallelo
Usando la legge di Kirchhoff ai nodi, si ha:
L’induttanza equivalente si trova imponendo che tutti i 3 induttori siano alla stessa differenza di potenziale (in parallelo)
L’induttanza nei circuiti:Induttori in parallelo
L1 L2
i
i1
i2
dt
di
dt
di
dt
diiii 21
21
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Quindi
quindi gli induttori in parallelo si combinano come le resistenze: 1 21 2
1 2
1 2
L equivalente
L L L
equivalente
di didiV L L L
dt dt dtV di di V Vdi
L dt dt dt L L
1 2
11 1
equivalenteL L L
Induttori in parallelo
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Consideriamo due induttori in serie. Entrambi gli induttori saranno attraversati dalla stessa corrente i.
Poichè la corrente è la stessa allora di/dt è la stessa e la caduta di tensione sulla coppia vale:
Quindi gli induttori in serie si combinano come resistenze in serie:
1 2equivalente
di di diV L L L
dt dt dt
1 2equivalenteL L L
L2
i i
L1
Induttori in serie
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x
z
y
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Corrente di spostamento
0d I B s L’integrale di linea è esteso a qualsiasi percorso chiuso concatenato con la corrente di conduzione. Il teorema di Ampere in questa forma è valido solo se la corrente di conduzione è continua nello spazio.
0E
S E
dI con d
dt
E A
•Non è presente una corrente di conduzione tra le due armature !•Le due superfici S1 e S2 , delimitate dallo stesso percorso P, danno due risultati diversi (0I e 0)
•Per risolvere l’incongruenza Maxwell introdusse la
Corrente di spostamento
flusso campo elettrico
Applichiamo il teorema di Ampere nel caso di un condensatore, considerando le sup. S1 ed S2:
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Teorema di Ampere generalizzato
0 0 0 0E
S
dd I I I
dt
B s
I campi magnetici sono generati sia dalle correnti di conduzione sia dai campi elettrici variabili !
Teorema di Ampere-Maxwell
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Le equazioni di Maxwell
0
0 0 0
:
: 0
:
:
B
E
QI d
II d
dIII d
dtd
IV d Idt
E A
B A
E s
B s
Noti i campi elettrico e magnetico, in un punto, la forza agente su una carica elettrica è data da
Questa relazione insieme alle 4 equazioni di Maxwell, fornisce una descrizione completa di tutte le interazioni elettromagnetiche classiche.
Teorema di Gauss (flusso elettrico totale attraverso superficie chiusa = carica netta)
Flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa è nullo (teorema Gauss per il magnetismo)
Legge di Faraday dell’induzione
Teorema di Ampere generalizzato
q q F E v B
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Onde Elettromagnetiche Maxwell dimostrò che i campi
elettrici e magnetici dipendenti dal tempo soddisfano una equazione d’onda.
La più importante conseguenza di questa teoria è la previsione dell’esistenza delle onde elettromagnetiche (campi elettrici e magnetici oscillanti).
La variazione dei campi crea reciprocamente il mantenimento della propagazione dell’onda: un campo elettrico variabile induce un campo magnetico e viceversa.
I vettori E e B sono tra di loro e alla direzione di propagazione.
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Calcolo equazione d’onda
, ,
.
, ,
.
B
B
x cost
Ein una direzione E x dx t E x t dx
xdalla I eq Maxwell
Ed E x dx t E x t dx
xflusso B concatenato B dx
d dB Bderivando rispetto a t dx dx
dt dt tsostituendo nella III eq di Maxwell
E
E s
B E Bdx dx
x t x t
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Calcolo equazione d’onda
.
, ,
. .
E
E
Consideriamo la IV eq MaxwellB
d B x t B x dx t dxx
Il flusso elettrico concatenato vale E dxd E
derivando rispetto al tempo dxdt t
sostituendoinsieme al precedente nella IV eq MaxB
B s
0 0 0 0
2
0 02
2 2 2 2
0 0 0 02 2 2 2,
.
E B Edx dx
x t x tderivando rispetto ad x la e sostituendoE B B E
x x t t x t tE E B B
e analogamentex t x t
eq onda lineare di ve
0
max
max
1
cos 2 2: 2
cos
locità c
E E kx t fe soluzioni con k e f
B B kx t c
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Calcolo equazione d’onda
2 2 2 2
0 0 0 02 2 2 20
max
max
1.
cos 2 2: 2
cos
E E B Be sono eq onda lineare di velocità c
x t x t
E E k x t fcon soluzioni con k e f
B B k x t c
212
0 2
70
8
0 0
8.85418 10
4 10
12.99792 10
C
N m
T msi trova che
Am
cs
velocità luce nel vuoto
La luce è un’onda elettromagnetica !!!
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Calcolo equazione d’onda
max
max
max
max max
max
max
max
cos
cos
sin
sin
2 22 !!!
E E k x t rispetto ad xCalcolando le derivate parziali di
B B k x t rispetto ad t
EkE k x t
E Bx dovendo essere kE BB x t
B k x tt
E Eessendo e k si ha c c
c B B
In ogni istante, in un’onda elettromagnetica, il rapporto tra il modulo del campo elettrico ed il modulo del campo magnetico è uguale alla velocità della luce !!!
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LC
CircuitiLC0
0
t
V
V
C
L
t
t
UB
UE
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Onde HertzianeSi può mettere in evidenza l’esistenza delle onde elettromagnetiche previste dalla teoria di Maxwell ?
Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema oer la generazione e rivelazione delle onde elettromagnetiche (onde radio).
Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema per la generazione e rivelazione delle onde elettromagnetiche (onde radio).
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Oscillazioni Elettromagnetiche
Analogia con la meccanica:Rammentiamo l’oscillatore meccanico massa-molla
k = costante elastica
-A +A
A = ampiezza delle oscillazioni
2
2
. : cos
d xm kx
dtsol x A t
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Oscillazioni di Energia T = periodo di oscillazione
Il condensatore si scarica, la corrente aumenta, l’energia si trasferisce dal campo elettrico a quello magnetico. Poi il ciclo si inverte e proseguirebbe all’infinito in assenza di meccanismi dissipativi.
Consideriamo un circuito LC
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Circuito LC
IdtQV
C C la caduta di tensione è
determinata dall’integrale della corrente sulla capacità
C
I(t)
2
2
dI d QV L L
dt dt la caduta di tensione è
determinata dalla derivata della corrente per l’induttanza
L
I(t)
Consideriamo un semplice circuito LC.
Il condensatore ha una carica iniziale Qmax e l’interruttore viene chiuso al tempo t=0.
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Circuito LC
2 2
2 2
0
1
Q dIL
C dtdQ Q d dQ
essendo I si ha Ldt C dt dt
d Q d x kQ analoga a x
dt LC dt m
Applichiamo la regola delle maglie al circuito LC.
La carica nel circuito oscillerà in modo analogo alla massa con la molla:
2
0
1
1
2
LC
f frequenza di risonanzaLC
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Esperimento di Hertztrasferimento di energia elettromagnetica
Hertz trovò che l’energia viene spedita dal trasmettitore al ricevitore quando la frequenza di risonanza del ricevitore veniva accordata con quella del trasmettitore. L’energia è trasportata da onde elettromagnetiche.
Es.: radio FM, TV, telefonia radiomobile
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Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche
Flusso di energia in un’onda elettromagnetica = vettore di Poynting S
L’intensità di un’onda elettromagnetica è uguale al prodotto della densità di energia media per la velocità della luce.
0 02 2
0 02
2 22 max max max max
0 0 0
1
' cos1
cos2 2 2med
EBpoichè EB si ha S
E cBB E c da cui S valore istantaneo di S
cSe l onda è sinusoidale occorre fare il valore medio temporale di kx t
E B E cBessendo kx t si ha I S
c
In ter
S E B E B
222 2
0 00 0
22
00
22 max
0 max0
1 1
2 2 2 2
,
1 1, inf ,
2 2
E B
E B E B
med med med
E cBmini di densità di energia u E u E
Bquindi u u u u u E
Bmediando su un ciclo u E ed ine I S cu
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Spettro delle onde elettromagnetiche
Le onde elettromagnetiche viaggiano nel vuoto con velocità c, frequenza f e lunghezza d’onda . I vari tipi di onde elettromagnetiche, prodotte tutte da cariche accelerate, sono mostrate in figura.
Es.: onda radio di frequenza f=94.7MHz
= c/f = 3.17 m