Post on 10-Feb-2015
Física I.UTP
FIM
AA
S
Sesión Nº 1: Vector unitario. Ángulos y cosenos directores. Operaciones vectoriales con vectores unitarios: Adición, sustracción. Productos vectoriales: producto escalar, producto vectorial, triple producto escalar, triple producto vectorial.
VECTORES
CAPÍTULO 2
FÍSICA I
FACULTAD DE CIENCIAS
UNI
ARTURO TALLEDO(DOCTOR EN FÍSICA)
VECTORES.• 1) Cantidades escalares, vectoriales y tensoriales.• 2) Operaciones con vectores.• 2.1) Suma y resta. • 2.2) Producto por un escalar.• 2.3) Producto escalar de dos vectores.• 2.4) Producto vectorial de dos vectores.• 3) Otros conceptos importantes relativos a vectores.• 3.1) Vector Unitario.• 3.2) Componentes de un vector.• 4) Componentes cartesianas de un vector.• Operaciones de vectores usando componentes cartesianas.
Cantidades escalares, vectoriales y tensoriales.
• En Física necesitamos definir diferentes tipos de conceptos, siendo tal vez los más importantes, aquellos susceptibles de medida como posición, tiempo, fuerza, velocidad, masa, permitividad eléctrica, etc.
• Las cantidades escalares son aquellas que quedan bien definidas por un número real.
• Las cantidades vectoriales necesitan que se especifique dirección y sentido.
• Las cantidades tensoriales se refieren a propiedades de los cuerpos que varían al cambiar la dirección.
Definición de vector.
Así como los números reales son entes abstractos sobre los cuales se definen varias operaciones y en Física son usados para describir a las magnitudes escalares, los vectores también son entes abstractos que los usaremos en Física para describir Las magnitudes vectoriales tales como desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.
Representación geométrica de vector.
2d
1F
1d
Los vectores son representados por segmentos orientados
2F
Nótese que los mismos segmentos pueden ser usados para representarmagnitudes físicas diferentes
Desplazamientosexperimentados por una hormiga
Fuerzas sobre una argolla.
Representación gráfica de los vectores
O
A
B
d
F
V
a
Así como los números reales se representan en la recta numérica y junto con las operaciones suma y producto constituyen el sistema de los números reales, los vectores bidimensionales pueden considerarse como infinitas flechas (o segmentos orientados) saliendo de un punto O llamado origen y llenando todo un plano; junto con las operaciones suma, resta, producto por escalar y producto escalar constituyen el espacio vectorial bidimensional. Los segmentos orientados que salen de O y llenan todo el espacio tridimensional junto con las operaciones mencionadas constituyen el espacio vectorial 3D.La idea se extiende a espacios n -dimensionales (n > 3) pero ya la representación gráfica no es posible.
Suma de dos vectores.
Planteamiento del problema: Dados los vectores A y B, que hacen un ángulo θ entre sí, hallar la suma o vector resultante R.
θ
Suma de dos vectores.
θ
Procedimiento: Se traslada el origen del vector B a la punta de la flecha del vector A. El vector resultante R es el que une el origen de A con la punta de la flecha de B.
Suma de dos vectores.
θ
La suma de vectores es conmutativa.
A + B = B + A
Suma de dos vectores
donde θ es el ángulo entre A y B a partir del mismo origen y:
cos222 ABBA REl módulo de la suma es
cosB
senB
22 )()cos( senBBA R
θ
AA vector del módulo A
BB vector del módulo B
Este resultado se obtiene por el teorema de Pitágoras.
Suma de varios vectores.
A
B
C
R = A + B + C
El vector resultante R es el que une el origen de A con la punta de la flecha de C.
A + (B+ C) = (A + B)+ C = A + B+ C
Producto de un vector por un escalar
A2A
πA
1/3 A
-1,3 A
Al multiplicar un vector por un escalar (un número real) se obtiene un vector en la misma dirección con un móduloaumentado o disminuido según sea el valor del número real.
Si el número real es negativo, el vector producto tiene sentido opuesto.
Suma de varios vectores.(ejemplo)
A
B
C
.
2A + B+ C
Suma de varios vectores. (ejemplo)
A
B
C
A + B + 2C
Resta de vectores.
θ A
BHallar D = A - B
θ A
B
- B
Π - θ
D
Procedimiento: Se multiplica B por -1 y se procede a sumar A + ( -B)
Resta de vectores.
Hallar el módulo de D = A - B
θ A
B
- B
Π - θ
D cos222 ABBAD
cos222 ABBA D
Resta de vectores.
θ A
BHallar D = A - B
θ A
B
- B
Π - θ
D
Procedimiento: Se multiplica B por -1 y se procede a sumar A + ( -B).
Nótese que es más práctico obtener A – B trazando un segmento desde la punta de la flecha de B hasta la punta de la flecha de A.
A - B
Operaciones combinadas.
A
BC
V1
V2
Ejercicio: Escriba los signos y coeficientes correctos en las expresiones: V1 = A – 2B + C
y
V2 = 2A – B + C
Producto escalar de dos vectores.
ABBA
2AAA
A
B
BABA0B0A 0, y
cosABBA
El producto escalar es conmutativo
El Producto escalar es distributivo
ObCBACBAC cos
C
B
A
A + B
BCACBAC )(
O a b
OaCACAC cos
abCBCBC cos
ObCBCAC
Por un lado:
Por otro lado:
Sumando, se tiene
Producto Vectorial.
A
B
A X B
Producto vectorial de A por B es el vector perpendicular a A y perpendicular a B cuyo sentido se obtiene por la regla de la mano derecha y cuyo módulo está dado por:
senABBA
El producto vectorial es anticonmutativo.
A
B
A X B
B X A
B X A = - A x B
Interpretación geométrica del producto vectorial.
A
B
A X B
El módulo producto vectorial de A por B coincide con el área del paralelogramo definido por los vectores A y B.
senABArea BA
senB
El producto vectorial es distributivo.
Obsen CBACBAC
C
B
A
A + B
BCACBAC )(
O
a
b
Oasen CACAC
absen CBCBC
ObCBCAC
Por un lado:
Por otro lado:
Sumando, se tiene
Triple producto escalar.
CBA
A
B
CA X B
Llamamos triple producto escalar
Al número real que se obtiene delproducto escalar del vector ( A x B )por el vector C.
cosCsenAB CBA
Triple producto escalar.
CBA
A
B
CA X B
El valor absoluto del triple producto escalar de tres segmentos orientados
CBA Volumen
senB
cosC
coincide con el volumen del paralepípedo definido por estos segmentos.
Si dos de los vectores son paralelos o si los tres vectores son coplanares, entonces, el triple producto escalar es cero
Vector unitario.
uAuA ˆˆ AuuAA
u
A
A
Au
Un vector unitario es un vector sin unidades cuyo módulo es uno y sólo se usa para especificar una dirección
Dado un vector A, entonces, el vector
es un vector unitario en la dirección y sentido de A
Vector unitario.
AAAA uAuA ˆˆ AuuAA
uA
A
BuB BBBB uBuB ˆˆ BuuBB
Cualquier vector puede ser expresado como el producto de un número realpor un vector unitario
A
BC
V = A + B + 2C
Componentes de un vector (en general).
B
En general, podemos decir que s i un vector V es la suma de varias vectores, cada vector sumandoes una componente del vector V. Así por ejemploA, B y 2C son componentes del vector V.
Componentes de un vector.
Nos interesa estudiar el concepto de componentes de un vector en dos situaciones:
Situación 1: Dados dos vectores A y V, expresar el vector A como la suma de dos vectores: uno paralelo a V y otro perpendicular a V.
Situación 2: Definir tres (dos) vectores mutuamente perpendiculares: i, j, k y expresar cualquier vector A como la suma de tres (dos) vectores paralelos a i, j y k ( i y j).
Componentes de un vector (situación 1).
cos1 AA
senAA 2 V
VA2A
V
A
A2
A1 es la componente de A en la dirección de V
A2 es la componente de A en la dirección perpendicular a V
A1
θ
V
VA 1A
V
V
V
VA
V
VA
11 A
21 AAA
12 AAA
Componentes de un vector (situación 1).
cos1 AA
senAA 2V
VA2A
V
A
A2
A1 es la componente de A en la dirección de V
A2 es la componente de A en la dirección perpendicular a V
A1
θ
V
VA 1A
V
V
V
VA
V
VA
11 A
21 AAA
12 AAA
número real negativo
Componentes de un vector (situación 1).
V
A
A2
A1
θ
21 AAA
AAA VV CompComp
V
V
V
V
V
VAA 1ACompV
Sistemas de coordenadas cartesianas (situación 2).
X
Y
Z
A
i j
k
kAjAiA zyxˆˆˆ A
kjiA zyx AAA
kji ,, son tres vectores unitarios Y mutuamente perpendiculares.
Sistemas de coordenadas cartesianas.
X
Y
Z
A
i j
k
1 kkjjii
0 ikkjji
jikikjkji ;;
0kkjjii
jkiijkkij ;;
Sistemas de coordenadas cartesianas.
X
Y
Z
A
Ax
Ay
Az
kAjAiA zyxˆˆˆ A
kAjAiA ˆcosˆcosˆcos A
cosˆ
cosˆ
cosˆ
AkA
AjA
AiA
z
y
x
A
A
A
kkAjjAiiA ˆˆˆˆˆˆ A
Sistemas de coordenadas cartesianas.
X
Y
Z
A
Ax
Ay
Az
kAjAiA ˆcosˆcosˆcos A
2222222coscoscos AAA A
. vector del
directores cosenos losllaman se cos cos,cos
A
y
1coscoscos 222
Suma de vectores en coordenadas cartesianas.
X
Y
Z A
BAR
B
xxx BAR
yyy BAR
zzz BAR
RkAjAiA zyxˆˆˆ A
kBjBiB zyxˆˆˆ B
kRjRiR zyxˆˆˆ R
Suma de vectores en coordenadas cartesianas
X
Y
Z
C
... CBAR
B
... xxxx CBAR
... yyyy CBAR
... zzzz CBAR
BA
A
kAjAiA zyxˆˆˆ A
kBjBiB zyxˆˆˆ B
kCjCiC zyxˆˆˆ C
kRjRiR zyxˆˆˆ R
Producto escalar en coordenadas cartesianas.
X
Y
Z
A
kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ BA
B
kBjBiBkA
kBjBiBjA
kBjBiBiA
zyxz
zyxy
zyxx
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
BA
Usando la propiedad distributiva:
zzyyxx BABABA BA
Producto vectorial en coordenadas cartesianas.
X
Y
ZA
B
kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ BA
kBjBiBkA
kBjBiBjA
kBjBiBiA
zyxz
zyxy
zyxx
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
BA
kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ BA
Usando la propiedad distributiva
Producto vectorial en coordenadas cartesianas.
X
Y
ZA
B
kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ BA
kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ BA
Una fórmula sencilla de recordar:
zyx
zyx
BBB
AAA
kji ˆˆˆ
BA
Triple Producto escalar en coordenadas cartesianas.
X
Y
ZA
zxyyxyzxxzxyzzy CBABACBABACBABA CBA
B
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
CCC
BAC
Puede verse que:
C
ABCACBCBABAC )(
BCACABABC )(
Fuente:INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MATEMÁTICA. Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.
Triple producto vectorial A x (B X C).
Triple producto vectorial A x (B X C).
El triple producto vectorial A x (B X C), es un vector
FIN