Fisica dei biliardi e caos

Il battito d’ ali di una farfalla puo’ scatenare un uragano ?

Studio della dinamica caotica:una storia recente (XX sec - oggi)

La meccanica classica e il determinismo

• a = F/m ; posizione e velocita’ iniziale

• "Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell'universo come l'effetto del suo stato precedente e come la causa di quello che seguirà. Ammesso per un istante che una mente possa tener conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale mente fosse sufficientemente vasta da poter sottoporre questi dati ad analisi, essa abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell'universo assieme a quelli degli atomi più leggeri. Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi.”

• Pierre Simon de Laplace (1749-1827) "Essai philosophique sur les probabilites",

Sistemi dinamici caotici• L’ evoluzione temporale, anche se

governata da equazioni deterministiche, dipende in modo sensibilissimo dalle condizioni iniziali.

Semplificare la complessita’:biliardi ideali come prototipo di sistemi caotici

• Dai biliardi reali…

… a quelli ideali

Il modello

• boccia puntiforme (nessuna rotazione)

• tavolo e bordi lisci (zero attrito)

• urti perfettamente elastici

Fisica degli urti

Urto elastico <=> conservazione dell’ energia

|v’| = |v|

Zero attriti <=> forze perpendicolari ai bordiv’// = v //

=> v’ = - v

Fisica degli urti

Fisica degli urti

L’ algoritmo

dati x,y,vx,vy al tempo t

calcolare :– tempo per la prossima collisione– punto di impatto– velocita’ dopo l’urto (riflessione)

Iterare N volte (N collisioni)

Tempo per la prossima collisione

x(t) = x0 + vx t

y(t) = y0 + vy t

parete: f(x,y)=0

al tempo di collisione tc:

f(x(tc),y(tc))=f(x0 + vx tc, y0 + vy tc)=0

Esempio (parete rettilinea)x0=-0.5, y0=0.5, vx=2, vy=2

quando avverra’ l’ urto con l’ asse y=0 ?

equazione: y0 + vy tc =0

da cui

tc = - y0/vy => tc = - 0.25

Esempio (parete circolare)equazione: [x( tc) - xc]2 + [y ( tc) - yc]2 = 1

ovvero(x0 + vx tc - xc)2 + (y0 + vy tc - yc)2 = 1

=> 0, 1 o 2 soluzioni:• (0 sol.) non urta• (1 sol.) urto tangente• (2 sol.) urto (prendere tc maggiore)i

Nuova velocita’ dopo l’ urto

Parete circolare

(x - xc )2 + y2 = 1

v’x = (y2 - (x-xc)2) vx - 2 (x - xc)y vy

v’y = - 2 (x-xc) y vx + ((x - xc)2 - y2) vy

(valida se vx2 + vy

2 = 1 )